少學(xué)時《線性代數(shù)》課程教學(xué)的研究與實踐

趙偉舟+王惠珍

【摘 要】文科學(xué)員和專科學(xué)員開設(shè)《線性代數(shù)》課程，常因授課學(xué)時較少和學(xué)員基礎(chǔ)薄弱導(dǎo)致課堂教學(xué)的諸多問題。為解決這些問題，本文從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)法和教學(xué)手段、教學(xué)模式和實驗教學(xué)等四個方面，進(jìn)行了整合內(nèi)容、創(chuàng)新教學(xué)法、改革傳統(tǒng)教學(xué)模式以及組織實驗教學(xué)的思考與實踐。結(jié)果表明，針對少學(xué)時《線性代數(shù)》課程的相關(guān)做法，不僅能在有限學(xué)時內(nèi)高效完成教學(xué)任務(wù)，而且符合新時期大學(xué)教育的人才培養(yǎng)要求。

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù) 教學(xué)法 教學(xué)模式 實驗教學(xué)

【中圖分類號】G42 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）14-0033-02

1.引言

《線性代數(shù)》課程是工科院校的重要基礎(chǔ)課，主要以矩陣為工具研究線性空間。考慮到矩陣的實際應(yīng)用以及人才培養(yǎng)需要，不少院校在文科專業(yè)或?qū)？茖W(xué)員中也開設(shè)了這一課程。但是，文科學(xué)員、專科學(xué)員與理工類專業(yè)的本科生具有一定差別，主要體現(xiàn)在兩個方面：?？茖W(xué)員在校時間短導(dǎo)致教學(xué)時間不可能太長；文科學(xué)員常因數(shù)學(xué)課程開設(shè)較少而導(dǎo)致基礎(chǔ)不夠扎實。因此在這些學(xué)員中開設(shè)《線性代數(shù)》課程，必須“以少學(xué)時、弱基礎(chǔ)為前提，初步理解并掌握矩陣這一工具”為基本教學(xué)目標(biāo)。鑒于上述特點，《線性代數(shù)》課程無論是教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)法和教學(xué)手段、教學(xué)模式和實驗教學(xué)等方面都需作相應(yīng)調(diào)整。

2.研究與實踐

目前使用的多數(shù)《線性代數(shù)》教材共五章[1-3]，分別是行列式、矩陣、線性方程組、向量組和二次型。以筆者曾承擔(dān)的本科課程為例，規(guī)定36學(xué)時完成《線性代數(shù)》教學(xué)任務(wù)，具體分配如上面表1所示。但是對專科學(xué)員、文科學(xué)員以及其它層次的培訓(xùn)，仍以筆者所在單位的?？茖W(xué)員為例，規(guī)定授課僅20學(xué)時，顯然很難完成所有教學(xué)內(nèi)容。因此需要對教學(xué)內(nèi)容重新整合。另一方面，考慮到?？茖W(xué)員、文科學(xué)員的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)以及課程設(shè)置的具體目標(biāo)，還需從教學(xué)法和教學(xué)手段、教學(xué)模式和實驗教學(xué)等方面重新組織以改善少學(xué)時的授課效果。

2.1教學(xué)內(nèi)容

為突出矩陣這一工具，可將理論授課內(nèi)容分為矩陣、向量組和實際應(yīng)用三個模塊，其中向量組實質(zhì)上是特殊形式的矩陣（列矩陣、行矩陣）形成的集合。在矩陣這一模塊，主要包括矩陣的引入、乘積運算、逆矩陣和矩陣的秩?？紤]到矩陣的線性運算（加、數(shù)乘）較為簡單，因此對矩陣的這些運算可簡單講解；考慮到逆矩陣的實際應(yīng)用，重點講解定義和計算方法；考慮到矩陣的秩的后續(xù)應(yīng)用，因此要求熟練掌握秩的定義及求法。在向量組教學(xué)中，主要講解向量組的概念、線性相關(guān)性和向量組的秩。具體到線性相關(guān)性教學(xué)，考慮到向量組和其最大無關(guān)組的實用性，有針對性地對部分理論進(jìn)行補充講解。具體到向量組的秩的教學(xué)，可以只討論最大無關(guān)組的定義和求法。在應(yīng)用模塊，主要討論線性方程組解的判定和求法?？紤]到行列式求解線性方程組的局限性，可將Cramer法則略去。剩余學(xué)時主要用于線性代數(shù)實驗教學(xué)，主要包括矩陣的輸入、常見命令的使用方法、線性方程組的求解等。通過對教學(xué)內(nèi)容的整合處理，可以有效縮短授課學(xué)時，其具體時間分配如表2所示。

2.2教學(xué)法和教學(xué)手段

教學(xué)法對授課效果起著至關(guān)重要的作用，根據(jù)內(nèi)容特點選取合適的教學(xué)法通?？梢酝怀鲋攸c、突破難點，但是傳統(tǒng)教學(xué)法過分依賴于說教講授、重知識輕能力，不利于培養(yǎng)學(xué)員的創(chuàng)新精神。改革傳統(tǒng)的教學(xué)方法，調(diào)動學(xué)習(xí)的主動性和積極性，注重能力和素質(zhì)培養(yǎng)，是當(dāng)前高校教育教學(xué)改革的重要課題之一[4]。

對文科學(xué)員和專科學(xué)員，枯燥的數(shù)學(xué)推導(dǎo)很難激發(fā)這些學(xué)員的學(xué)習(xí)興趣，因此《線性代數(shù)》課程在教學(xué)法上應(yīng)更顯靈活，并鼓勵使用各種特色教學(xué)法。例如盡量采用案例法、類比法、問題牽引法教會學(xué)員應(yīng)用矩陣的具體方法，避免借助嚴(yán)格的邏輯推導(dǎo)組織課堂教學(xué)。采用靈活的教學(xué)法，主要是培養(yǎng)學(xué)員的分析興趣，使學(xué)員在解決實際問題時能形成一定的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，以達(dá)到條理清楚、思維明晰的目標(biāo)。例如矩陣的運算這一知識點，傳統(tǒng)教學(xué)方法直接給出運算規(guī)則，一方面學(xué)員無法理解引入運算的必要性，另一方面對運算的實際應(yīng)用知之甚少，其教學(xué)可能使多數(shù)學(xué)員掌握了運算方法，但從推廣應(yīng)用角度并不理想。因此在教學(xué)實施時采取案例式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)員思考如何將兩幅圖像通過線性運算生成質(zhì)量更好的圖像。理論講授矩陣運算的同時，借助計算機(jī)編程實現(xiàn)圖像的運算，用圖像信息直觀反映運算結(jié)果，讓學(xué)員體會數(shù)學(xué)的實用性；在矩陣的初等變換教學(xué)上，傳統(tǒng)教學(xué)直接給出初等變換的定義，學(xué)員很難意識到這一變換的必要性和重要性，通過對消元和矩陣變換進(jìn)行類比式教學(xué)，學(xué)員從線性方程組的廣泛應(yīng)用能體會出初等變換的重要性，自然能引起對知識的重視程度。在向量組的秩的教學(xué)中，最大無關(guān)組是非常抽象的數(shù)學(xué)概念，采用問題牽引法，從如何獲得精簡數(shù)據(jù)到最大無關(guān)組，逐步引導(dǎo)學(xué)員理解基本概念和具體方法。

在教學(xué)手段上主要采取多媒體和板書相結(jié)合，盡可能直觀地展示各種數(shù)據(jù)、資料等素材，從視覺上激發(fā)學(xué)員的學(xué)習(xí)興趣和數(shù)學(xué)思維。

2.3教學(xué)模式

傳統(tǒng)教學(xué)主要以知識傳承為目標(biāo)，形式上以“教員理論講授、學(xué)員被動接受”為主，其問題根源在于教學(xué)對象人數(shù)較多，教員難以開展以學(xué)員為主體的教學(xué)嘗試，有時即使開展了相應(yīng)的嘗試，但常因時間、地點無法獲得客觀的檢測效果導(dǎo)致了理論研究難于在實踐中進(jìn)行改進(jìn)和深化。

考慮到?？茖W(xué)員和文科學(xué)員通常是小班教學(xué)，因此在教學(xué)模式上可以打破傳統(tǒng)的教學(xué)模式。教學(xué)中鼓勵學(xué)員談想法、談體會，鼓勵學(xué)員上臺試講，從學(xué)員角度談對線性代數(shù)知識的理解情況，鼓勵學(xué)員形成小組協(xié)作完成課程教學(xué)各種類型的設(shè)計題目。不僅是《線性代數(shù)》課程，其它任一課程都不可能在有限時間內(nèi)完成某一領(lǐng)域所有問題的研究，實際中碰到的新問題，最終還是需要學(xué)員通過一系列自覺行為，自主式尋找解決方案。合適的教學(xué)模式不僅能改善課堂效果，更重要地是在發(fā)現(xiàn)知識的過程中可以培養(yǎng)學(xué)員的各種能力。正如前面所言，《線性代數(shù)》中的矩陣是研究線性空間的重要工具，因此在教學(xué)模式的選擇上，應(yīng)當(dāng)以授之學(xué)員“矩陣”這一工具為目標(biāo)，同時輔以培養(yǎng)學(xué)員的綜合能力。結(jié)合該課程的特點，可以采用“四聯(lián)交互式”這一教學(xué)模式[5-6]。通過這一教學(xué)模式的實施，逐漸培養(yǎng)學(xué)員的觀察、探索、整合和實踐能力。因此在小班《線性代數(shù)》課程教學(xué)中，盡量體現(xiàn)學(xué)員的主動行為，整個過程以“教員引導(dǎo)、學(xué)員操作”的互動形式推進(jìn)教學(xué)。

2.4實驗教學(xué)

與其它課程例如物理、化學(xué)的實驗教學(xué)不同，《線性代數(shù)》課程的實驗教學(xué)主要是教員引導(dǎo)學(xué)員，使用計算機(jī)培養(yǎng)其操作能力，學(xué)員根據(jù)實際問題的需要將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并通過設(shè)計算法、編寫代碼、運行調(diào)試等過程解決問題。結(jié)合該課程的教學(xué)目標(biāo)要求，這里的實驗內(nèi)容主要是針對應(yīng)用模塊進(jìn)行的，學(xué)時安排為4個學(xué)時。為提高學(xué)員對該課程基本知識的綜合應(yīng)用能力，實驗教學(xué)通常設(shè)置在學(xué)期末進(jìn)行，按實驗內(nèi)容可分為兩個部分：Matlab基礎(chǔ)知識和相關(guān)知識點的Matlab實現(xiàn)。通過實驗教學(xué)，要求學(xué)員能對課程內(nèi)容借助Matlab命令或編寫程序進(jìn)行實現(xiàn)，包括基本命令調(diào)用、m文件編寫以及GUI界面編程等。在具體組織實驗教學(xué)時，教員可根據(jù)學(xué)員的掌握情況進(jìn)行實例方面的知識補充。另一方面，在進(jìn)行理論教學(xué)時，也可由學(xué)員或小組攜帶計算機(jī)配合教學(xué)，而學(xué)期末的實驗教學(xué)可在實驗室或計算機(jī)房組織。針對?？茖W(xué)員、文科學(xué)員的實際情況，結(jié)合《線性代數(shù)》的課程內(nèi)容，其實驗教學(xué)如表3所示。

3.結(jié)論

?？茖W(xué)員和文科學(xué)員進(jìn)行《線性代數(shù)》課程教學(xué)，需要打破傳統(tǒng)意義上的理論講授，重新組織各個教學(xué)環(huán)節(jié)。只有對學(xué)員的情況充分了解，對人才培養(yǎng)的目標(biāo)足夠認(rèn)識，對開放教學(xué)深入思考，才能在有限學(xué)時內(nèi)順利開展《線性代數(shù)》課程教學(xué)，有效改善少學(xué)時《線性代數(shù)》課程教學(xué)的課堂效果。筆者在所承擔(dān)教學(xué)的班級里，按照上面整合的內(nèi)容、改革的教學(xué)模式、設(shè)計的實驗教學(xué)等進(jìn)行了兩個學(xué)年的教學(xué)實踐，不僅在有限時間內(nèi)順利完成了教學(xué)任務(wù)，而且多數(shù)學(xué)員在學(xué)習(xí)過程中對矩陣的應(yīng)用有了更深的理解。單純從整合內(nèi)容來看，同樣適用于各教育機(jī)構(gòu)對《線性代數(shù)》課程的短期培訓(xùn)教學(xué)。尤為重要的是，通過實驗教學(xué)，學(xué)員除了能借助計算機(jī)對所學(xué)知識進(jìn)行驗證性實驗，能在一定程度上解決與矩陣有關(guān)的實際問題，更與學(xué)校課程標(biāo)準(zhǔn)要求的“文科學(xué)員和?？茖W(xué)員能夠掌握應(yīng)用線性空間理論的基本方法”和人才培養(yǎng)目標(biāo)高度一致。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 工程數(shù)學(xué)：線性代數(shù)（第5版）[M]. 北京：高等教育出版社，2007.

[2]吳贛昌.線性代數(shù)[M]. 北京：中國人民大學(xué)出版社，2011.

[3]李炯聲，查建國，王新茂. 線性代數(shù)[M].北京：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社， 2010.

[4]藺永誠，劉箴. 參與式教學(xué)法----高校課堂教學(xué)中值得推行的教學(xué)方法[J]. 長沙鐵道學(xué)院學(xué)報（社會科學(xué)版），Vol.10，No.1，2009.03：107-108.

[5]趙偉舟，張輝，景慧麗. 淺談“四聯(lián)交互式”教學(xué)[J]. 南昌教育學(xué)院學(xué)報，2014.2：：80-82.

[6]趙偉舟，屈娜. 四聯(lián)交互式教學(xué)應(yīng)用于大學(xué)數(shù)學(xué)類課程的探索與實踐[J]. 數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2013.12：115-119.

學(xué)校教學(xué)成果獎培育項目

作者簡介：

趙偉舟（1977-），男，陜西長安人，第二炮兵工程大學(xué)理學(xué)院，講師。（陜西 西安 710025）

王惠珍（1965-），女，山西永濟(jì)人，第二炮兵工程大學(xué)理學(xué)院，副教授。（陜西 西安 710025）