QVIP的廣義間隙函數(shù)和誤差界

趙張超，胡艷紅，徐延新

（哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江哈爾濱150025）

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QVIP的廣義間隙函數(shù)和誤差界

趙張超，胡艷紅，徐延新

（哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江哈爾濱150025）

摘 要：對(duì)擬變分不等式，定義廣義間隙函數(shù)并研究其性質(zhì)。通過(guò)使用廣義間隙函數(shù)，在所研究擬變分不等式問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)關(guān)于解是強(qiáng)單調(diào)、Lipschitz連續(xù)的條件時(shí)，得到誤差界。

關(guān)鍵詞：擬變分不等式；間隙函數(shù)；誤差界

這里F：Rn→Rn是連續(xù)映射代表Rn中的內(nèi)積。是集值映射，且S（x）是一個(gè)閉凸集，?x∈Rn。當(dāng)S是常值映射時(shí)，（QVIP）就退化成文獻(xiàn)［1］中研究的（VIP）問(wèn)題：

用H=｛x∈Rn|x∈S（x）｝表示（QVIP）的可行集。擬變分不等式問(wèn)題在經(jīng)濟(jì)、社會(huì)和其他領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的廣義均衡問(wèn)題可以等價(jià)地轉(zhuǎn)換成擬變分不等式問(wèn)題，可見(jiàn)文獻(xiàn)［2］。利用間隙函數(shù)是目前研究變分不等式問(wèn)題較常用的方法，但擬變分不等式問(wèn)題由于其自身的復(fù)雜性，這方面的結(jié)果并不多見(jiàn)。

2007年，F(xiàn)ukushima在文獻(xiàn)［3］中作為VIP間給出了QVIP的間隙函數(shù)。2008年，Taji在文獻(xiàn)［4］中，推廣了文獻(xiàn)［3］的結(jié)果，他利用滿足某些條件的φ（x，y）給出了QVIP的廣義正則間隙函數(shù)和D-間隙函數(shù)，但遺憾的是文獻(xiàn)［3-4］都沒(méi)有給出誤差界結(jié)果。2012年，Rachana Guptha等在文獻(xiàn)［5］中繼續(xù)研究了擬變分不等式的間隙函數(shù)和誤差界，但是他們?cè)诮㈤g隙函數(shù)時(shí)使用的仍然是隙函數(shù)的直接推廣，利用

受到文獻(xiàn)［3-5］的啟發(fā)，利用φ（x，y）給出了QVIP的廣義正則間隙函數(shù)和D-間隙函數(shù)，并且得到了全局誤差界結(jié)果。

1　預(yù)備知識(shí)

首先回憶一些相關(guān)知識(shí)。

定義2.1 映射F：Rn→Rn在Rn上強(qiáng)單調(diào)，模μ＞0，是指

定義2.2 映射F：Rn→Rn在Rn上Lipschitz連續(xù)，模L＞0，是指〈F（x）-F（y），x-y〉≤L‖x-y‖，?x，y∈Rn.

本文要求函數(shù)φ：Rn×Rn→Rn滿足：

1）φ在Rn×Rn上連續(xù)可微；

2）φ在Rn×Rn上非負(fù)；

3）φ（x，·）關(guān)于x是一致強(qiáng)凸的：存在常數(shù)λ＞0，?x∈Rn，滿足

這里▽2φ是函數(shù)φ關(guān)于第二個(gè)變量的偏導(dǎo)。

4）φ（x，y）=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y；

5）▽2φ（x，·）是一致Lipshcitz連續(xù)的，即?L′＞0，使得?x∈Rn有

引理2.1［6］設(shè)函數(shù)φ滿足條件1）～4），那么▽2φ（x，y）=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y，?x，y∈Rn。

引理2.2［7］設(shè)函數(shù)φ滿足條件3），那么?y1，y2∈Rn，有

即▽2φ（x，·）在Rn上是強(qiáng)單調(diào)的，模2λ，這里λ是3）中給定的。

引理2.3［8］設(shè)函數(shù)φ滿足條件1）～5），λ，L′是相對(duì)應(yīng)的系數(shù)，那么

2　QVIP的廣義間隙函數(shù)和誤差界

由于φ（x，·）是一致強(qiáng)凸的，-ψα（x，·）在S（x）上也是一致強(qiáng)凸的，因而在S（x）上存在唯一最小點(diǎn)πα（x）。進(jìn)而Gα（x）也可以表示為

這里，給出一個(gè)重要引理，它刻畫了QVIP解的充分必要條件。

本節(jié)研究擬變分不等式（1）。首先，?x∈Rn，定義廣義正則間隙函數(shù)如下：若，則有，所以是QVIP的解。

引理3.2 設(shè)函數(shù)φ滿足條件1）～4），那么，如下事實(shí)成立

證明：?x∈S（x），由式（4）知Gα（x）=〈F（x），x-πα（x）〉-αφ（x，πα（x）），由πα（x）是-ψα（x，·）在S（x）上的最小點(diǎn)，有〈F（x）+α▽2φ（x，πα（x）），y-πα（x）〉≥0，?y∈S（x），

取y=x，則有〈F（x）+α▽2φ（x，πα（x）），xπα（x）〉≥0，

即〈F（x），x-πα（x）〉≥-α〈▽2φ（x，πα（x）），x-πα（x）〉，?y∈S（x），

所以

后兩個(gè)不等式分別由條件3）、4）得來(lái)。由引理3.1第二個(gè)結(jié)論顯然成立。

下面的定理給出了自然剩余x-πα（x）提供全局誤差界的條件。

定理3.1 設(shè)函數(shù)φ滿足條件1）～4），假定

②?k＞0，使得‖πα（x）-πα（y）‖≤k‖x-y‖，?x，y∈Rn。

證明：由πα（x）是-ψα（x，·）在S（x）上的最小點(diǎn)，

有〈F（x）+α▽2φ（x，πα（x）），y-πα（x）〉≥0，?y∈S（x），

由引理2.1可變形為〈F（x），x-πα（x）〉≥α

現(xiàn)在，給出Gα為QVIP提供全局誤差界的條件。

定理3.2 設(shè)函數(shù)φ滿足條件1）～4），假定

②?k＞0，使得‖πα（x）-πα（y）‖≤k‖x-y‖，?x，y∈Rn。

③?M＞0，使得‖F(xiàn)（x）‖≤M，?x∈H，

證明：首先由引理3.2知Gα（x）≥αλ‖xπα（x）‖2，?x∈H。而定理3.1說(shuō)明

現(xiàn)在，考慮QVIP的廣義D-間隙函數(shù)。定義如下：

這里β＞α＞0，πα（x）和πβ（x）分別代表-ψα（x，·）和-ψβ（x，·）在S（x）上的唯一最小點(diǎn)。

接下來(lái)證明廣義D-間隙函數(shù)在可行集上是非負(fù)的，并且它的零解就是QVIP的解。

命題3.1 設(shè)函數(shù)φ滿足條件3），那么有

證明：

同樣的方法可得不等式的另外一部分。

命題3.2 設(shè)函數(shù)φ滿足條件1）～4），那么Hαβ在H上是非負(fù)的，特別地，當(dāng)Hαβ=0時(shí)，x是QVIP的解。

證明：由命題3.1知，

由條件2）立刻知Hαβ在H上是非負(fù)的。接下來(lái)證明第二個(gè)結(jié)論。

假定Hαβ=0，那么由式（6），條件2）和4）可知x=πβ（x）。因此，由引理3.1知x=πα（x），由條件4）可得，φ（x，πα（x））=0，由Hαβ在H上是非負(fù)的，再根據(jù)命題3.1就有Hαβ=0。

基于上述結(jié)論，通過(guò)廣義D-間隙函數(shù)來(lái)建立QVIP的全局誤差界。

定理3.3 設(shè)函數(shù)φ滿足條件1）～4），假定

②?k＞0，使得‖πα（x）-πα（y）‖≤k‖x-y‖，?x，y∈Rn。

③?M＞0，使得‖F(xiàn)（x）‖≤M，?x∈H，

證明：由命題3.1，引理2.3和定理3.1，有

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［責(zé)任編輯：郝麗英］

Generalized gap functions and error bounds for quasi variational inequalities

ZHAO Zhangchao，HU Yanhong，XU Yanxin
（School of Mathematical Science，Harbin Normal University，Harbin 150025，China）

Abstract：In this paper，it presents the generalized gap functions for quasi variational inequality and studies their properties.The error bounds are obtained when objective function for quasi variational inequality problem is strongly monotones and Lipschitz continuous on solution of quasi variational inequality problem.

Key words：quasi variational inequality；gap function；error bound

中圖分類號(hào)：O174

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1671-4679（2016）02-0046-03

收稿日期：2015-12-31

基金項(xiàng)目：黑龍江省教育廳資助項(xiàng)目（12521147）；哈師大青年學(xué)術(shù)骨干資助計(jì)劃項(xiàng)目（KGB201004）；黑龍江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（A201410）

作者簡(jiǎn)介：趙張超（1985-），男，碩士研究生，研究方向：最優(yōu)化理論.