基于P空間的上海、北京、廣州3個城市軌道交通網絡拓撲結構比較

周溪召，　智路平，　馬洪偉

(1. 上海海事大學 經濟管理學院, 上海 201306; 2. 上海理工大學 管理學院，上海 200093; 3. 上海電機學院 商學院, 上海 201306)

基于P空間的上海、北京、廣州3個城市軌道交通網絡拓撲結構比較

周溪召1，2，智路平1，2，馬洪偉3

(1. 上海海事大學 經濟管理學院, 上海 201306; 2. 上海理工大學 管理學院，上海 200093; 3. 上海電機學院 商學院, 上海 201306)

摘要針對上海、北京和廣州3個城市地鐵實際網絡及運營關系，分別構建了P空間拓撲結構模型?；趶碗s網絡理論，應用特征統計指標對上海、北京和廣州3個城市軌道交通網絡拓撲結構特征進行了分析。首先比較在P空間上網絡各特征值的差異；其次，分析比較3個城市軌道交通網絡的度及度分布、平均最短路徑及分布、網絡聚類系數等特征指標；最后還對P空間下的聚類系數與度的關系進行了分析，發(fā)現上海、北京和廣州3個城市各有特點，并無規(guī)律。從3個城市的聚類系數及度分布表明： 它們都有高的聚類系數和較小的度值，說明在P空間下，大城市軌道交通網絡具有復雜網絡特征，都是小世界網絡，這對進一步研究地鐵線網的結構特性具有啟示作用。

關鍵詞城市軌道交通網絡; 拓撲結構; P空間

軌道交通因其大運量、高速度、安全可靠、準點舒適等特點，讓各國普遍認識到： 解決大城市交通問題的根本出路在于優(yōu)先發(fā)展以軌道交通為骨干的城市公共交通系統。我國已經進入了軌道交通網絡高速發(fā)展的時期，2015年總運營里程已達3000km※。隨著軌道交通建設的不斷發(fā)展，北京、上海、廣州等大城市的軌道交通系統已經進入了網絡化時代，軌道交通線網規(guī)劃的重點也由原來的單線轉移到了網絡結構。因此，對我國軌道交通網絡結構的研究將有助于我們了解城市軌道交通網絡的發(fā)展，從而更好地管理和引導交通網絡的演化。

18世紀著名數學家歐拉解決了“Konigsberg”七橋問題，首次引入了交通網絡概念。從此之后，學者們試圖進一步了解交通網絡及時空變化，20世紀90年代，隨著網絡科學的出現，激發(fā)了相關領域學者們對復雜網絡的研究興趣[1]。研究主要集中在根據網絡的拓撲結構特征來劃分網絡的類型： Barabasi等[2]認為如果節(jié)點的度分布服從指數分布，則認為該網絡為隨機網絡；如果節(jié)點的度分布服從于冪律分布，認為該網絡屬于無標度網絡；如果隨機網絡具有較小的特征路徑長度和較大的聚類系數，認為該網絡為小世界網絡[1]。但是對交通網絡的復雜性研究相對較少，高自友等[3-4]研究了交通網絡區(qū)別于其他網絡的復雜性，針對公交網絡研究了其無標度特性及度分布指數；Sienkiewiez[5]研究了22個城市公交系統的統計特征；Chen、汪濤等[6-8]研究了城市公交網絡的拓撲結構及其演化模型，發(fā)現經過站點的公交網絡服從冪律分布，并提出了公交網絡的演化生成機制；Sen、Seaton等[9-10]發(fā)現并研究了鐵路網

絡的小世界特性；Jiang[11]研究了城市道路網絡的演化規(guī)律；Rui等[12]提出了一種自組織的城市道路網絡模型，并研究了這種網絡的進化及成長機制。綜上，相對于城市交通網絡、鐵路網絡的研究，目前對城市軌道交通網絡的研究相關較少[13-14]。

本文選取中國軌道交通網絡發(fā)展最好的3個城市來進行分析比較，統計這些城市軌道交通網絡在P空間下的各種拓撲特征值，從而為今后軌道交通網絡演化提供依據。

1北京、上海和廣州軌道交通網絡描述

本文選取目前軌道交通網絡化較為成熟的上海、北京、廣州3個城市的軌道交通網絡進行比較分析。上海、北京、廣州3個城市的軌道交通網絡統計信息如表1所示[15]。

表1　北京、上海和廣州3城市軌道交通網絡的統計情況

表示城市軌道交通網絡的方法有多種，P空間是其中一個方法。為了研究需要，作如下定義：

定義1P空間(Space P)[16-17]。將交通站點視為節(jié)點，若兩個站點有直達的軌道線路，那么它們就有連邊；若沒有，則站點不相連。

定義2度[18]。交通網絡中與某節(jié)點相連接的邊的數目為該節(jié)點的度。

定義3度分布[18]。交通網絡中節(jié)點的度分布P(k)可以用來表示度值為k的節(jié)點占總節(jié)點的比例數。

定義4累計度分布[18]。定義3中度分布表示交通網絡中所有節(jié)點度的概率分布函數P(k′)，為了減少統計誤差和提高擬合精度，一般采用的表達方式是累積概率分布函數

(1)

式中，P(k≥k′)是指度k≥k′的概率。

定義5最短路徑[18]。在P空間中從源點到終點所含邊的數目最少的路徑稱為最短路徑。

定義6節(jié)點聚類系數[18]。在網絡中節(jié)點i有ki條邊把它與其它節(jié)點相連，則這ki個鄰居之間最多有ki(ki-1)/2條邊相連，若事實上這ki個節(jié)點之間有Ei條邊相連，則定義i的聚類系數為

(2)

定義7網絡聚類系數[18]。整個網絡的聚類系數C就是網絡中所有節(jié)點(總數N)的聚類系數的平均值

(3)

式中，ki為與節(jié)點i相連接的邊數；Ei為ki個節(jié)

點之間邊的個數；Ci為節(jié)點i的聚類系數；N為網絡中所有節(jié)點個數。

2度與度分布分析

據定義2和3，可求出上海、北京、廣州3個城市的度及度分布情況，如表2和圖1所示。

從圖1中可以看出，上海軌道交通網絡的度分布較集中，節(jié)點度在20～30的比例較高，而北京軌道交通網絡的度分布跨度(3～70)沒有上?？缍?5～104)廣，分布相對平均。廣州軌道交通網絡度分布跨度(8～46)相對較小，這是因為廣州軌道交通網絡整體規(guī)模較小，線路所擁有的站(節(jié))點數相對較少(上海最長線路為31個節(jié)點，平均24.67個節(jié)點，北京最長線路為42個節(jié)點，平均為17.4個節(jié)點，廣州最長線路為24個節(jié)點，平均16.2個節(jié)點)，而且廣州軌道交通網絡的兩線和三線相交節(jié)點相對于上海和北京少很多，這使廣州市軌道交通網絡的度分布跨度較小，且整體度值較低，這與其規(guī)模相符合，廣州市軌道交通線網現在所具有的度分布特點是與上海和北京軌道交通線網的前期是類同的。

據定義3，可求出北京、上海、廣州3個城市的累積度分布，如圖2所示。

表2　上海、北京和廣州3個城市軌道交通網絡P空間下度對比

圖1　3個城市P空間下的度分布情況

圖2　3個城市累積度分布對比Fig.2　Comparison of cumulative distributions of the 3 cities

從圖2不難看出，3個城市軌道交通網絡的度分布接近冪率分布。

3最短路徑

據定義5，可求出上海、北京和廣州3城市軌道交通網絡的最短路徑，如表3所示。由表3可見，上海軌道交通網絡的平均最短路徑長為2.15，即從上海軌道線網中的任一站點，平均只要換乘1.15次就能到達其他任一站點，廣州軌道交通網絡的平均最短路徑長為2.37，北京軌道交通網絡的平均最短路徑長為2.56，在3個城市中是最大的。這說明上海市軌道交通線網具有較好的換乘

表3　上海、北京和廣州3城市軌道交通網絡最短路徑分析

可達性，北京市軌道交通網絡最短路徑長較大是因為北京市后期開通的線路(如機場線、亦莊線、房山線、昌平線、15號線和8通線)均在郊區(qū)，它們都只與前期網絡的一個站點連接，這導致它們到其他線路至少要換乘2次以上，網絡的最大最短路徑長為5，就是其換乘效率較低的一個表征。

4聚類系數分析

據定義6和定義7，可求出北京、上海、廣州3個城市軌道交通網絡的聚類系數，如表4和圖3所示。

從表4和圖3可以看出，在P空間下，每個城市都有超過80%以上的節(jié)點的聚類系數為1。上海的最小聚類系數最小為0.2619，是世紀大道站，這是因為在該站點有4條線路通過。3個城市的平均聚類系數都超過了0.9，說明聚類系數高是在P空間下軌道交通線網的特點。廣州軌道線網的平均聚類系數最高為0.9453，這是因為廣州軌道交通線網的換乘節(jié)點占總站點數的比例相對較少，從而聚類系數為1的站點比例較高，提高了整個線網的平均聚類系數。從3個城市的聚類系數及前述度分布可知，它們都有高的聚類系數和較小的度值，說明在P空間下，大城市軌道交通網絡都是小世界網絡。

表4　3個城市軌道交通網絡聚類系數分析

圖3　3個城市的聚類系數分布情況Fig.3　Distribution of cluster coefficient in the 3 cities

5聚類系數與度的關系

對上海軌道交通的復雜網絡特征進行統計后得出： 節(jié)點度k<22時，聚類系數隨節(jié)點度的增加沒有變化，保持常數1，如圖4所示；但當k≥22時，通過擬合，可以用一個冪函數k-β來描述P空間中聚類系數C(k)隨節(jié)點度的變化關系，其中，β=0.82，聚類系數的這種標度行為表明該網絡具有層次結構和模塊性質，這與文獻[16]中的觀點一致。為了驗證這一結論，對北京、上海和廣州3個城市的聚類系數與度值的關系進行了分析，如圖5所示，發(fā)現北京和廣州兩個城市的結果則沒有明顯的變化規(guī)律。因此本文認為，在目前中國城市軌道交通線網的規(guī)模下，聚類系數與度值的關系并不十分明顯，這與整個線網的發(fā)展成熟度相關。同時，從聚類系數的計算方法可知，一個節(jié)點通過的線路越多，其聚類系數就越小，當節(jié)點只有一條線路通過時，該節(jié)點的聚類系數為1。而對于有2條及以上線路通過的節(jié)點，其聚類系數就跟通過該點的各條線路所擁有的節(jié)點數有關，且各條線的節(jié)點越多，該節(jié)點的度值越大，聚類系數也越小，反之也然。但由于我國軌道交通網絡中線路的節(jié)點分布范圍較廣，既有由幾個節(jié)點組成的線路，也有由幾十個節(jié)點組成的線路，如北京和廣州軌道交通網。這從某種程度上解釋了為什么度與聚類系數并不一定存在統一的變化規(guī)律。

圖4　上海市軌道線網P空間中聚類

Fig.4Relationship of clustering coefficient with the node degree in space P of the mass transit network of Shanghai mass transit network

圖5　3個主要城市軌道交通網絡P空間下聚類系數隨節(jié)點度的變化關系

Fig.5Relationship of clustering coefficient with node degree in space P of the 3 major urban mass transit networks

6結論

通過對上海、北京和廣州3個城市的軌道交通網絡拓撲結構的分析，獲得了在P空間視角下軌道交通網絡所具有的性質，可以看到，在P空間下，網絡整體的度值很高，且分布區(qū)域也很廣，而網絡的平均最短路徑很小，它反映的是從一個站點到任意一個站點平均需要換乘的次數，網絡的聚類系數很大，都超過了0.9，北京、上海和廣州3個城市都有超過80%以上的節(jié)點的聚類系數為1。最后還對P空間下的聚類系數與度的變化關系進行了分析，發(fā)現上海、北京和廣州3個城市各有特點，并無統一規(guī)律。從3個城市的聚類系數及度分布表明： 它們都有高的聚類系數和較小的度值，說明在P空間下，大城市軌道交通網絡具有復雜網絡特征，都是小世界網絡，得到的結果是今后網絡演化規(guī)則制定過程的重要依據。以上結果表明，大城市地鐵網絡屬于復雜網絡，其不同統計指標的分布規(guī)律可幫助我們揭示其內在形成機理，為研究大城市軌道交通網絡演化奠定了基礎。

參考文獻

[1]WATTS D J，SSROGATZ S H.Collective dynamics of ‘small-world’ networks[J].Nature，1998，393(6684)： 440-442.DOI： 10.1038/30918.

[2]BARABASI A L，ALBERT R，JEONG H.Mean-field theory for scale-free random networks[J].Physica A： Statistical Mechanics and its Applications，1999，272(1)： 173-187.DOI： 10.1016/s0378-4371(99)00291-5.

[3]高自友，吳建軍，毛保華，等.交通運輸網絡復雜性及其相關問題的研究[J].交通運輸系統工程與信息，2005，5(2)： 79-84.DOI： 10.3969/j.issn.1009-6744.2005.02.013.

[4]高自友，趙小梅，黃海軍.城市交通網絡的復雜性[M].上海： 上?？萍冀逃霭嫔?，2006： 57-64.

[6]CHEN Y Z，LI N，HE D R.A study on some urban bus transport networks[J].Physica A： Statistical Mechanics and its Applications，2007，376： 747-754.DOI： 10.1016/j.physa.2006.10.071.

[7]CHEN Y Z，LI N.Statistical properties of urban ground bus-transport networks from self-avoiding random walks[J].Modern Physics Letters B，2007，21(16)： 1027-1040.DOI： 10.1142/s0217984-907013572.

[8]汪濤，許樂，張繼，等.城市公交網絡的拓撲結構及其演化模型研究[J].公路交通科技，2009，26(11)： 108-112，122.DOI： 10.3969/j.issn.1002-0268.2009.11.021.

[9]SEN P，DASGUPTA S，CHATTERJEE A，et al.Small-world properties of the Indian railway network[J].Phys Rev E Stat Nonlin Soft Matter Phys，2003，67(3Pt2)： 036106.DOI： 10.1103/PhysRevE.67.036106.

[10]SEATON K A，HACKETT L M.Stations，trains and small-world networks[J].Physica A： Statistical Mechanics and its Applications，2004，339(3)： 635-644.DOI： 10.1016/j.physa.2004.03.019.

[11]JIANG B.A topological pattern of urban street networks： Universality and peculiarity[J].Physica A： Statistical Mechanics and its Applications，2007，384(2)： 647-655.DOI： 10.1016/j.physa.2007.05.064.

[12]RUI Y，BAN Y，WANG J，et al.Exploring the patterns and evolution of self-organized urban street networks through modeling[J].The European Physical Journal B，2013，86(3)： 86-74.DOI： 10.1140/epjb/e2012-30235-7.

[13]ANGELOUDIS P，FISK D.Large subway systems as complex networks[J].Physica A： Statistical Mechanics and its Applications，2006，367(4)： 553-558.DOI： 10.1016/j.physa.2005.11.007.

[14]CHANG K H，KYUNGSIK K H，OSHIMA S M.Yoon.Subway Networks in Cities[J].Journal of the Korean Physical Society，2006(2)，48： 143-145.

[15]黃少輝.城市軌道交通網絡演化模型[D].上海： 上海海事大學，2013： 23-40.

[16]王焱，楊超.上海市軔道交通網絡的復雜網絡特性研究[J].城市軌道交通研究，2009，12(2)： 33-36，55.DOI： 10.3969/j.issn.1007-869X.2009.02.009.

[17]趙召勝，王燚.上海市軌道交通網絡演化特征分析[J].城市道橋與防洪，2012(9)： 1-5，11.DOI： 10.3969/j.issn.1009-7716.2012.09.004.

[18]BONDY J A，MURTY U S R.圖論及其應用[M].吳望名，李念祖，譯.科學出版社，1984： 15-26.

Comparison of Topology Structures of Mass Transit Networksin Shanghai, Beijing and Guangzhou Based on Space P

ZHOU Xizhao1，2，ZHI Luping1，MA Hongwei3

(1. School of Economics and Management, Shanghai Maritime University, Shanghai 201306,China; 2. School of Management, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai200093, China; 3. School of Business, Shanghai Dianji University, Shanghai 201306, China)

AbstractAccording to the physical structure and operating characteristics, a space P topology mode is established for the metro networks in Shanghai, Beijing, and Guangzhou. Based on the complex network theory, the topology structure features of urban rail transit network in the three cities are analyzed using statistical indicators. Differences in the network topology structure features in space P is compared. The degree distribution, average shortest path, clustering coefficients of the three urban rail transit networks are compared. The relation between clustering coefficient and degree for the three cities are studied and no definite pattern is found. The results indicate that the metro networks in Shanghai, Beijing and Guangzhou have high clustering coefficients and small degree, meaning that the metro systems have complex network characteristics and are all small word networks in space P. This study helps reveal the network properties of metro systems.

Keywordsmass transit network; topological structure; space P

收稿日期：2015-12-21

基金項目：國家自然科學基金面上基金項目資助(61273042)；上海市教育委員會科研創(chuàng)新項目資助(12ZZl47)

作者簡介：周溪召(1964-)，男，教授，博士，主要研究方向為交通規(guī)劃與管理，E-mail： xizhaozhou@163.com

文章編號2095-0020(2016)02-0105-06

中圖分類號F 512.6

文獻標志碼A

※： http：∥www.askci.com/news/201307/01/01964886675.shtml