高中數(shù)學(xué)一道向量填空題說題

池屏雁

一、命題意圖

2016年起福建高考使用全國卷，全國卷選材源于課本又高于課本，命題堅(jiān)持能力立意，關(guān)注通性通法，淡化特殊技巧，突出對數(shù)學(xué)思想方法的考查；注意發(fā)揮開放性、探索性試題的評價(jià)功能，關(guān)注檢測學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能.

對平面向量的考查，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬容易題或中檔題，縱觀近幾年的高考，內(nèi)容從原來的簡單概念和基本運(yùn)算，逐步發(fā)展為與三角、解析幾何、不等式等整合的綜合問題.

筆者立足課本，深挖課本練習(xí)的試題價(jià)值，試圖編制既能訓(xùn)練通性通法，又能以幾何為背景，“平面向量”為載體，代數(shù)運(yùn)算為手段的題目，考查學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力.

二、考點(diǎn)分析及其思想方法

核心知識：平面向量的基本定理，向量的坐標(biāo)表示，向量運(yùn)算，平面向量的數(shù)量積，待定系數(shù)法求參數(shù)值，兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，三角形外心的性質(zhì)，正（余）弦定理等.

核心技能：運(yùn)算求解能力，抽象概括能力、推理論證能力.

核心思想：數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想.

主要考點(diǎn)及對應(yīng)的考綱要求：

平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示：

（1）了解平面向量的基本定理及其意義.

（2）掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.

（3）會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.

（4）理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.

三、追根溯源

四、解法探究

平面向量類試題常規(guī)解題思路有如下四個方面：

（1）基底法；（2）坐標(biāo)法；（3）幾何意義；（4）其他性質(zhì).

嘗試從以上這4個方面結(jié)合三角形的一些知識對題目1解法進(jìn)行探究.

解法1：基底法

分析：根據(jù)人教A版教材必修4第108頁B組第4題的結(jié)論，題目1中AO是△ABC的外接圓半徑，AB，AC是△ABC的外接圓的弦，則有解法1.

解法3：幾何意義

分析：本題我們看到三角形的兩邊和其夾角已確定，則運(yùn)用余弦定理，正弦定理，各邊大小和夾角都可以求出來.

綜合以上，我們可以很清楚地看到：基底法（解法1）、坐標(biāo)法（解法2）更易于被學(xué)生接受，因此我們在平時(shí)復(fù)習(xí)備考的過程中要立足雙基，追求通性通法，這在高考中尤為重要.

五、學(xué)生可能出現(xiàn)的錯誤及分析

筆者在班級對該題解答情況做了個小調(diào)查，問了基礎(chǔ)一般的學(xué)生，他們都有初步思路，能入手，但是中途就感覺不知所措，能做出來的學(xué)生是平時(shí)比較拔尖的.

錯誤1：運(yùn)算能力不過關(guān)；

錯誤2：對外心條件不知道如何應(yīng)用；

錯誤3：沒想到課本習(xí)題和本題的聯(lián)系。

由此可見，在學(xué)習(xí)中對教材的挖掘之淺，對課本習(xí)題的研究浮于表面.

錯誤4：對問題的理解及綜合地應(yīng)用知識分析問題、解決問題能力較弱，導(dǎo)致不能將問題合理地轉(zhuǎn)化與化歸.

而探究能力恰恰對很多學(xué)生來說是很薄弱的.

六、開拓創(chuàng)新

我們可以再從以下角度作拓展：（1）三角形化；（2）最值化；（3）函數(shù)化；（4）方程化，以研究教材促進(jìn)高考復(fù)習(xí)，開拓創(chuàng)新.

分析：此題將題目1中的角度隱去，加了一個銳角三角形，這樣就可以轉(zhuǎn)化為求p+q的取值范圍.

七、試題價(jià)值

平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，由于它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”，融思想性和工具性為一體，可以溝通代數(shù)與幾何的許多分支并使之建立起多元聯(lián)系，本題充分發(fā)掘課本習(xí)題的價(jià)值，求解過程關(guān)注通性通法，注意通性通法的訓(xùn)練，同時(shí)本題解法多樣，可多角度變式拓展，培養(yǎng)學(xué)生一題多解、訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)秀思維品質(zhì).本題既考查了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性、發(fā)散性，又考查了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的敏銳性與創(chuàng)新性，是一道重通解、有內(nèi)涵、能力立意、重視思想的向量題.

八、感悟與反思

通過這次說題，筆者獲益良多，認(rèn)識到在平時(shí)的教學(xué)過程中要注意以下三個方面：

1.注重通性通法的應(yīng)用：培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，經(jīng)常對所學(xué)的知識和題型進(jìn)行總結(jié)歸納，尋找規(guī)律和突破口.

2.引導(dǎo)學(xué)生多解法、多視角地思考問題和發(fā)現(xiàn)問題，通過對典型題目進(jìn)行“一題多解、一題多變、多題同解”的訓(xùn)練，幫助學(xué)生建構(gòu)和完善知識網(wǎng)絡(luò)，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì).

3.立足教材，透視問題的本質(zhì)，充分善于挖掘高考題的背景.