新融合小波變換與低秩矩陣恢復(fù)圖像去噪算法

吳君欽，鄔　亮

(江西理工大學(xué)　信息工程學(xué)院，江西　贛州　341000)

新融合小波變換與低秩矩陣恢復(fù)圖像去噪算法

吳君欽1，鄔亮2

(江西理工大學(xué)信息工程學(xué)院，江西贛州341000)

摘要:針對小波閾值圖像去噪會引入量化噪聲和閾值選取不當(dāng)會損失圖像本身有用信息的問題，提出一種新的融合小波變換與低秩矩陣恢復(fù)(Low Rank Matrtix Recovery，LRMR)的圖像去噪算法。不同于傳統(tǒng)的單一閾值的去噪算法，所提出的算法在單一閾值上結(jié)合了低秩矩陣恢復(fù)算法，這樣不僅能進(jìn)一步消除噪聲，同時(shí)還能修復(fù)被噪聲損壞的數(shù)據(jù)，而且更能適應(yīng)各種不同的噪聲環(huán)境。首先，選取固定閾值對圖像矩陣進(jìn)行小波去噪處理。其次，采用增廣拉格朗日乘子算法最小化矩陣核范數(shù)。最后，將矩陣分解為低秩逼近矩陣和稀疏誤差矩陣。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，算法獲得了較高的峰值信噪比，在不同噪聲環(huán)境下有較高的魯棒性。

關(guān)鍵詞:小波變換；圖像去噪；增廣拉格朗日乘子；低秩矩陣恢復(fù)；最小核范數(shù)

1圖像去噪

圖像去噪是圖像處理中一個(gè)重要的環(huán)節(jié)，傳統(tǒng)的圖像去噪方法分為空域去噪[1]和頻域去噪[2]。在目前大部分的研究中無論是空域去噪還是頻域去噪采用的方法都比較單一。

相對于傳統(tǒng)的去噪方法，小波去噪[3-5]具有多分率的特點(diǎn)。目前大部分的研究基于小波閾值去噪的改進(jìn)主要集中在去噪閾值的選取上面。文獻(xiàn)[4]選用了一種新的平滑的閾值函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)閾值函數(shù)。文獻(xiàn)[5]在多個(gè)不同尺度上選用不同閾值函數(shù)去噪。但是這種基于閾值改進(jìn)的去噪算法在進(jìn)行小波系數(shù)量化時(shí)不可避免地會引入量化噪聲，并且閾值選取不當(dāng)，去噪效果不太理想，還可能損害圖像本身的有效數(shù)據(jù)信息，而且也沒有去除低頻部分噪聲。

為了解決小波基于閾值的方法會引入量化噪聲和去噪過程未考慮低頻噪聲，閾值選取不當(dāng)會損害圖像有用信息的這兩個(gè)問題，本文在小波去噪的基礎(chǔ)上，結(jié)合低秩矩陣的最小核范數(shù)約束來解決這兩個(gè)問題。低秩矩陣最小核范數(shù)約束進(jìn)行圖像去噪時(shí)，直接將整個(gè)圖像矩陣作為整體處理，可以消除小波閾值去噪過程引入的量化的噪聲和小波閾值去噪未考慮的低頻部分噪聲，同時(shí)還能修復(fù)在小波去噪過程中受損的矩陣信息。將低秩矩陣最小核范數(shù)約束和小波變換結(jié)合能夠使算法能適應(yīng)不同的噪聲環(huán)境，增強(qiáng)了算法的魯棒性，擴(kuò)充了算法的適用范圍。

2傳統(tǒng)的小波閾值去噪簡介

小波去噪根據(jù)所給出的閾值重構(gòu)小波系數(shù)矩陣，小波去噪中常用的閾值為

(1)

式中：δ為噪聲方差；N為信號長度。

對小波高頻系數(shù)w(i,j)重構(gòu)的硬閾值方法為

(2)

軟閾值方法為

(3)

文獻(xiàn)[4]改進(jìn)閾值算法為

(4)

圖像矩陣經(jīng)過小波變換后，得到小波系數(shù)矩陣，然后根據(jù)式(2)、(3)、(4)重構(gòu)小波系數(shù)矩陣，最后通過小波逆變換得到去噪后的圖像矩陣。傳統(tǒng)的基于小波閾值的去噪算法只是簡單地將一些高頻高頻系數(shù)置0，沒考慮低頻噪聲部分，并且根據(jù)單一閾值直接置0系數(shù)可能會損壞圖像本身有用信息，因此本文在單一閾值基礎(chǔ)上引入低秩矩陣最小核范數(shù)優(yōu)化來解決這些問題。

3融合小波變換與低秩矩陣恢復(fù)的圖像去噪算法

3.1算法思想

傳統(tǒng)小波閾值算法和文獻(xiàn)[4]改進(jìn)算法中，直接將小于閾值的高頻部分小波系數(shù)量化為0，這會引入量化噪聲。小波高頻系數(shù)不僅有噪聲系數(shù)還包含了圖像的邊緣信息。根據(jù)式(1)，如果噪聲較大，在數(shù)據(jù)長度不變的情況下，噪聲方差δ大，閾值λ較大，根據(jù)式(2)、(3)、(4)將較多的高頻系數(shù)置0，因而會錯(cuò)誤地將圖像的邊緣的小波系數(shù)置0，破壞了圖像本身的有用信息。并且，基于閾值的算法僅考慮了高頻系數(shù)的噪聲，實(shí)際大多數(shù)噪聲在低頻系數(shù)部分也有分布。由于小波低頻系數(shù)包含了較多的圖像細(xì)節(jié)信息，直接用閾值法處理低頻部分的小波系數(shù)將會損害圖像本身的細(xì)節(jié)信息，不僅達(dá)不到去噪目的反而會使得圖像質(zhì)量更差。低秩矩陣恢復(fù)算法對噪聲的去除是直接在原始圖像上進(jìn)行，因而能克服小波對于頻域去噪的不足。并且，由于低秩矩陣恢復(fù)算法還有修復(fù)數(shù)據(jù)的能力，能夠修復(fù)被噪聲污染的數(shù)據(jù)，使得最后結(jié)果更加魯棒。

應(yīng)用低秩矩陣恢復(fù)算法時(shí)，要求數(shù)據(jù)矩陣具有低秩特性和誤差矩陣的稀疏特性。直接在原始圖像矩陣處理時(shí)，由于實(shí)際噪聲分布可能不滿足稀疏特性造成低秩矩陣恢復(fù)算法性能的下降。經(jīng)過小波去噪處理后，大部分噪聲去除，噪聲分布更能滿足噪聲誤差矩陣的稀疏性要求，使得本文算法更加魯棒。

3.2低秩矩陣恢復(fù)算法

根據(jù)數(shù)學(xué)理論，矩陣D是由低秩矩陣A受到噪聲E的破壞形成的，并且E是一個(gè)稀疏矩陣[6]，即E中只有少量的非零元素。因此可以用LRMR來進(jìn)行問題求解，LRMR可用式(5)優(yōu)化問題來表示

(5)

s.t.D=A+E

式(5)理論可行，實(shí)際上是一個(gè)NP問題。根據(jù)現(xiàn)有理論，矩陣0范數(shù)可用矩陣1范數(shù)近似替代。矩陣rank函數(shù)，可用矩陣核范數(shù)近似替代。因而，式(5)優(yōu)化問題就可用式(6)優(yōu)化問題近似代替

(6)

s.t.D=A+E

求解式(6)的優(yōu)化問題有多種優(yōu)化算法，常用的算法有迭代閾值法[7]、加速近端梯度法[8]、對偶法[9]與增廣拉格朗日算法[11](AugmentedLagrangemultipliers，ALM)。

本文算法涉及的幾個(gè)概念解釋如下：

定義1，矩陣的范數(shù)。矩陣A=(aij)∈Rm×n的Frobenius范數(shù)為

定義2，矩陣內(nèi)積。同型矩陣A，B的內(nèi)積為

(8)

矩陣X的奇異值分解為

(9)

式中：U∈Rm×m和V∈Rn×n均為正交矩陣。對角矩陣Σr=diag(δ1,δ2,…,δr)∈Rr×r，且對角元素滿足δ1≥δ2≥…≥δr。奇異值閾值算子為

Dτ(X)=U∑rVT

(10)

低秩矩陣恢復(fù)問題實(shí)際是矩陣的核范數(shù)最小化的優(yōu)化問題，矩陣最小核范數(shù)優(yōu)化的ALM算法描述如下。

構(gòu)造增廣拉格朗日函數(shù)為式(11)

(11)

(12)

(13)

(14)

uk的更新公式為

(15)

式中：ρ>1，為常數(shù)；ε>0為較小的正數(shù)。

D1/uk(D-Ek+1+Yk/uk)

(16)

Sλ/uk(D-Ak+1+Yk/uk)

(17)

EALM與IELAM區(qū)別在于EALM收斂于Qlinearly最優(yōu)解決方案，每次迭代只計(jì)算矩陣中部分塊的SVD。IELAM針對整個(gè)矩陣進(jìn)行計(jì)算SVD，可能收斂于次優(yōu)解。

ALM算法可以概括為：

(18)

輸入?yún)?shù)λ,u0>0,ρ>1,k=0。

重復(fù)。

2)(U,S,V)=svd(D-Ek+Yk/uk)

(19)

3)Ak+1=D1/uk(D-Ek+1+Yk/uk)

(20)

4)Ek+1=Sλ/uk(D-Ak+1+Yk/uk)

(21)

5)Yk+1=Yk+(D-Ak+1-Ek+1)

(22)

6)按式(15)更新uk，直到收斂。

7)輸出低秩矩陣A和稀疏誤差矩陣E。

通過分析求解低秩矩陣最小核范數(shù)優(yōu)化問題的過程，可以得出如下結(jié)論：

在低秩矩陣核范數(shù)矩陣優(yōu)化問題中，當(dāng)核范數(shù)收斂時(shí)，此時(shí)矩陣奇異值很小，使恢復(fù)出的低秩矩陣最大程度地保留了原始矩陣信息，因而可以達(dá)到修復(fù)矩陣受損數(shù)據(jù)的目的。同時(shí)，用誤差矩陣1范數(shù)最優(yōu)解代替0范數(shù)最優(yōu)解，使得當(dāng)?shù)椭染仃噧?yōu)化問題收斂時(shí)，誤差矩陣盡可能地稀疏，誤差矩陣越稀疏低秩矩陣恢復(fù)的效果越好。

在運(yùn)用矩陣低秩矩恢復(fù)算法陣去除噪聲和恢復(fù)數(shù)據(jù)時(shí)，根據(jù)矩陣有用信息的低秩特性和誤差的稀疏特性，并不要求噪聲源要滿足某一特定的噪聲分布，因而在各種噪聲下，用低秩矩陣恢復(fù)算法能達(dá)到去噪和數(shù)據(jù)恢復(fù)的雙重作用。

為了更好地比較EALM算法和IEALM算法的性能，對一圖片增加噪聲密度為0.2的椒鹽噪聲進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn)。兩種算法的運(yùn)行結(jié)果如圖1所示，圖1中所示圖片實(shí)際大小為(350，490)。EALM恢復(fù)圖像的PSNR為24.22dB，運(yùn)行時(shí)間為232.94s。IEALM恢復(fù)圖像的PSNR值為24.21dB，運(yùn)行時(shí)間為6.26s。由此可見，EALM算法運(yùn)行時(shí)間較IEALM算法增加較大，而PSNR值增加較小。在本文中選取IEALM算法進(jìn)行圖像核矩陣優(yōu)化問題的求解。

圖1　EALM和IEALM恢復(fù)結(jié)果比較

本文算法流程如下：

1)圖像矩陣進(jìn)行小波分解，高頻系數(shù)用閾值法重構(gòu)。

2)用重構(gòu)的小波系數(shù)矩陣進(jìn)行圖像重構(gòu)，完成小波閾值去噪處理。

3)對處理后的圖像矩陣用IELAM算法進(jìn)行核范數(shù)優(yōu)化，將其分解為低秩矩陣和誤差矩陣。

4)輸出恢復(fù)出的低秩矩陣和稀疏誤差矩陣。

4仿真結(jié)果及分析

本文算法所使用圖片如圖2所示。

圖2本文所使用實(shí)驗(yàn)圖片

對上述圖2a增加噪聲密度density=0.1的椒鹽噪聲后，用本文算法去噪后的圖片如圖3所示。

圖3　圖像去噪比較1

圖像矩陣I增加乘性噪聲公式如下

J=I+vI

(23)

對圖2d增加系數(shù)v=0.1的乘性噪聲時(shí)，本文算法去噪效果如圖4所示。

圖4　圖像去噪比較2

對Lena圖增加u=0,σ=0.1的Gaussian噪聲后，本文算法去噪效果如圖5所示。

圖5　圖像去噪比較3

從圖3～5可以看出本文算法比傳統(tǒng)單一小波閾值算法去噪獲得了更好的視覺特性和更大信噪比。小波閾值去噪雖然能夠去除圖像的噪聲，但是在重構(gòu)小波系數(shù)的時(shí)候，引入了量化噪聲。小波閾值選取不當(dāng)還可能破壞圖像本身有用的信息，大噪聲環(huán)境下，要盡可能多地去除噪聲，就要選擇大的閾值才能達(dá)到較好的去噪效果。選取閾值過大將會去除圖像本身有用的信息，造成圖像信息缺失和信噪比下降。在小波去噪引入量化噪聲和去噪過程中損害了原始數(shù)據(jù)時(shí)，利用低秩矩陣恢復(fù)算法來恢復(fù)受損的圖像本身的有用信息，同時(shí)又進(jìn)一步去除低頻部分噪聲和量化噪聲，從而達(dá)到比單一小波閾值去噪更好的去噪效果。

在PSNR對比上，本文進(jìn)行的的對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6～8所示。

圖6　高斯噪聲下的PSNR對比

圖7　椒鹽噪聲下的PSNR對比

圖8　乘性噪聲下的PSNR對比

進(jìn)一步分析去噪結(jié)果比較圖和PSNR對比結(jié)果。從圖3可以看出，在椒鹽噪聲環(huán)境下，本文算法去噪的視覺特性要明顯優(yōu)于單一的小波閾值算法，圖7的實(shí)驗(yàn)結(jié)果也驗(yàn)證了這個(gè)結(jié)論。從圖4、圖5和PSNR對比結(jié)果可以看出，在乘性噪聲和高斯噪聲環(huán)境下，本文算法本文算法都不但有最好的視覺特性而且還有最高PSNR?？梢钥闯?，在種多噪聲環(huán)境下本文算法都達(dá)到了預(yù)期去噪和修復(fù)受損數(shù)據(jù)的目的，算法性能都好于單一的小波閾值去噪。

5結(jié)束語

本文提出了一種融合小波變換與低秩矩陣恢復(fù)的圖像去噪算法，針對小波閾值算法會引入量化噪聲和去噪過程未考慮低頻噪聲，閾值選取不當(dāng)會損害圖像有用信息的這兩個(gè)問題，在小波去噪的基礎(chǔ)上，結(jié)合低秩矩陣的最小核范數(shù)約束的方法基本解決了上述兩個(gè)問題，并且實(shí)驗(yàn)結(jié)果已經(jīng)驗(yàn)證了本文所提出算法的有效性和可行性。但是在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，在高斯噪聲環(huán)境下本文算法PSNR提高并不大，如何提高在高斯噪聲條件下本文算法的性能是將來所要進(jìn)一步研究的問題。同時(shí)，本文低秩矩陣恢復(fù)算法基于奇異值分解，算法求解效率不是最優(yōu)，如何提高本文算法的運(yùn)行效率也將是下一步研究的重點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]翟東海，魚江，段維夏，等.米字型各向異性擴(kuò)散模型的圖像去噪算法[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用， 2014，34(5)：1494-1498.

[2]朱華生，鄧承志.自適應(yīng)Shearle域約束的全變差圖像去噪[J].計(jì)算機(jī)工程，2013，39(1)：221-224.

[3]劉平.基于小波變換的邊緣保留圖像去噪改進(jìn)算法[J].電視技術(shù)，2014，38(5)：13-15.

[4]金顯華，趙元慶.改進(jìn)的閾值圖像去噪算法仿真研究[J].計(jì)算機(jī)仿真，2012(1)：191-194.

[5]劉毅文，李玲玲，李翠華，等.基于小波多閾值和子帶增強(qiáng)的圖像去噪[J].廈門大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，51(3)：342-347.

[6]劉冶，朱蔚恒，潘炎，等.基于低秩和稀疏矩陣分解的多源融合鏈接預(yù)測算法[J].計(jì)算機(jī)研究與發(fā)展，2015，52(2)：423-436.

[7]BECKA，TEBOULLEM.Afastiterativeshrin-kagethresholdingalgorithmforlinearinverseproblems[J].SIAMjournalonimagingsciences，2009，2(1)：183-202．

[8]LINZC，GANESHA，WRIGHTJ，etal.Fastconvexoptimizationalgorithmsforexactrecoveryofacorruptedlowrankm-atrix[EB/OL].[2015-07-12]．http://perception.csl.illinois.edu/matrix-rank/Files/rpca_algorithms.pdf.

[9]LIANGX，RENX，ZHANGZD，etal.Europeanconferenceoncomputervision(ECCV)[EB/OL].[2015-07-12]．http://eccv2012.unifi.it/.

[10]ZHENGZL，YUMD，JIAJ，etal.Fisherdiscriminationbasedlowrankma-trixrecoveryforfacerecognition[J].Patternrecognition，2014(47)：3502-3511.

New image denoising algorithm based on wavelet transform and low rank matrix recovery

WU Junqin，WU Liang

(SchoolofInformationEngineering，JiangxiUniversityofScienceandTechnology，JiangxiGanzhou341000，China)

Abstract:Aiming at the problem of image denoising based on the wavelet threshold introduced the quantization noise， the threshold selected may lose the useful information of the image itself.An image denoising algorithm based on wavelet transform and low rank matrix recovery (LRMR) is proposed. Different from a single threshold denoising algorithm， the algorithm can eliminate the more noise and fixs the corrupted data， and can adapt to various noise environment. Firstly， select the fixed threshold to carry on the wavelet denoising to preprocess the image matrix. Then the augmented Lagrange multiplier algorithm minimize the kernel matrix norm，and the preprocessed matrix factorized into a low rank approximation matrix and a sparse error matrix. Experiments results show that the proposed algorithm has better performance and robustness under different noise condition.

Key words:wavelet transform；image denoising；agumented lagrange multiplier；low rank matrix recovery；minimize the kernal norm

中圖分類號:TP301

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

DOI：10.16280/j.videoe.2016.03.004

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11062002)

作者簡介：

吳君欽(1966— )，副教授、碩士生導(dǎo)師，研究領(lǐng)域?yàn)樾盘柵c信息處理、嵌入式；

鄔亮(1990— )，碩士生，研究領(lǐng)域?yàn)槟Ｊ阶R別與人工智能。

責(zé)任編輯：時(shí)雯

收稿日期：2015-08-15

文獻(xiàn)引用格式：吳君欽，鄔亮.新融合小波變換與低秩矩陣恢復(fù)圖像去噪算法[J].電視技術(shù),2016，40(3)：17-21.

WU J Q，WU L.New image denoising algorithm based on wavelet transform and low rank matrix recovery[J].Video engineering,2016,40(3)：17-21.