考慮參數(shù)不確定性的汽車前輪主動轉(zhuǎn)向輸出反饋魯棒控制

王金湘　　代蒙蒙　　陳　南

(東南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 南京 211189)

考慮參數(shù)不確定性的汽車前輪主動轉(zhuǎn)向輸出反饋魯棒控制

王金湘代蒙蒙陳南

(東南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 南京 211189)

摘要:提出基于靜態(tài)輸出反饋的前輪主動轉(zhuǎn)向(AFS)魯棒控制器,以提高汽車橫擺角速度跟蹤性能和橫向穩(wěn)定性．在控制器設(shè)計中考慮了車速和輪胎側(cè)偏剛度的不確定性,其中車速在一定范圍內(nèi)變化并且可測,采用多胞型模型來描述車速的不確定性．利用多目標(biāo)優(yōu)化與輸出反饋魯棒控制方法,同時提高汽車橫擺角速度跟蹤性能和橫向穩(wěn)定性．在Matlab/Simulink和CarSim聯(lián)合仿真環(huán)境中,對緊急轉(zhuǎn)彎和雙移線2種典型操縱工況下的控制器進(jìn)行仿真試驗(yàn)．結(jié)果表明,所提出的控制器能夠顯著改善汽車的橫向操縱性能和穩(wěn)定性,降低駕駛員的工作負(fù)荷,且控制器對汽車模型參數(shù)的不確定性具有很好的魯棒性．

關(guān)鍵詞:車輛;前輪主動轉(zhuǎn)向;輸出反饋;魯棒控制;參數(shù)不確定性

汽車橫擺角速度跟蹤性能和橫向穩(wěn)定性對汽車安全行駛非常重要,其控制方法是車輛工程領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)[1]．通過對車輪轉(zhuǎn)向角或制動/驅(qū)動力矩的主動控制可以完成在臨近極限工況下駕駛員難以實(shí)現(xiàn)的操縱．雖然制動/驅(qū)動力矩的主動控制在極限工況下產(chǎn)生附加橫擺力矩的效果最佳,但同時也會對車輛縱向運(yùn)動產(chǎn)生較大影響[1]．而前輪主動轉(zhuǎn)向(AFS)控制幾乎不影響縱向運(yùn)動,并且在車輛輪胎力未達(dá)到附著極限的工況下能夠產(chǎn)生較大的反方向橫擺力矩,從而改善車輛的操縱穩(wěn)定性[2]．

對于實(shí)際車輛系統(tǒng),其模型參數(shù)是非線性時變的．車速隨時間變化,而輪胎側(cè)偏剛度隨輪胎-路面附著系數(shù)和垂向輪胎載荷等參數(shù)的變化也具有不確定性．針對模型參數(shù)的時變和不確定性,Falcone等[3]采用模型預(yù)測控制方法實(shí)現(xiàn)汽車主動前輪轉(zhuǎn)向路徑跟蹤控制．Do等[4]采用魯棒滑模學(xué)習(xí)控制算法提高車輛線控轉(zhuǎn)向的性能,控制算法不需要知道不確定的參數(shù)值．Nam等[5]采用一種基于乘積擾動模型的魯棒控制方法實(shí)現(xiàn)主動轉(zhuǎn)向控制,來提高車輛穩(wěn)定性．Du等[6]基于線性參數(shù)可變(LPV)模型的狀態(tài)反饋魯棒控制實(shí)現(xiàn)橫擺跟蹤和車輛穩(wěn)定性控制目標(biāo)．文獻(xiàn)[7-8]都同時考慮了可測時變參數(shù)和有界不確定參數(shù),采用狀態(tài)反饋的魯棒控制進(jìn)行橫擺跟蹤或輪胎驅(qū)動力分配控制．

基于測量輸出的靜態(tài)輸出反饋魯棒控制是控制理論和應(yīng)用研究的熱點(diǎn)[9]．該類控制器設(shè)計的難點(diǎn)是將雙線性矩陣不等式轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式(LMI),從而能夠利用工具箱求解[10]．Benton等[11]給出了具有時變參數(shù)的不確定系統(tǒng)靜態(tài)輸出反饋控制器設(shè)計步驟,并將該控制器應(yīng)用于車輛軌跡跟蹤控制．Koroglu等[12]研究了考慮系統(tǒng)多性能目標(biāo)的靜態(tài)輸出反饋控制的LMI條件．

狀態(tài)反饋控制器實(shí)現(xiàn)時需要測量系統(tǒng)所有狀態(tài)變量,但在汽車動力學(xué)控制實(shí)際應(yīng)用中，準(zhǔn)確測量或估計汽車側(cè)向速度這一狀態(tài)變量的成本較高[13-14]．另外,在考慮汽車橫向運(yùn)動的汽車模型中,車速和輪胎側(cè)偏剛度均為模型參數(shù),其中車速容易測量,但隨時間變化具有不確定性,而輪胎側(cè)偏剛度有界且不容易測量．本文考慮車速和輪胎側(cè)偏剛度的不確定性,提出基于靜態(tài)輸出反饋的AFS魯棒控制器,以提高汽車橫擺角速度跟蹤和側(cè)向穩(wěn)定性控制性能,降低控制器實(shí)現(xiàn)的難度．并在Matlab/Simulink和CarSim聯(lián)合仿真環(huán)境中進(jìn)行試驗(yàn),驗(yàn)證所提出控制器的性能．

1汽車動力學(xué)模型和問題描述

本文采用如圖1所示的二自由度汽車模型來設(shè)計控制器．

圖1　二自由度汽車模型

假設(shè)前輪轉(zhuǎn)向角不大,車輛模型可表示為

(1)

(2)

式中,m為汽車質(zhì)量;Iz為車輛坐標(biāo)系下汽車?yán)@z軸的轉(zhuǎn)動慣量;Vx和Vy分別為汽車縱向和橫向速度;lf和lr分別為汽車前、后軸到質(zhì)心的距離;r為汽車橫擺角速度;Fyf和Fyr分別為前、后軸上的橫向力,可表示為

Fyf=-2Cfαf,Fyr=-2Crαr

(3)

其中

(4)

式中,αf和αr分別為前、后輪胎側(cè)偏角;δf為前輪轉(zhuǎn)向角;β為汽車質(zhì)心側(cè)偏角,當(dāng)質(zhì)心側(cè)向速度不大時可表示為β=Vy/Vx;Cf和Cr分別為前、后輪側(cè)偏剛度,受輪胎-路面附著系數(shù)和輪胎垂向載荷等因素影響,具有不確定性．考慮該不確定性,輪胎側(cè)偏剛度表示為[8]

(5)

把駕駛員輸入的轉(zhuǎn)向角δfd作為系統(tǒng)外部干擾,令w=δfd,并定義主動轉(zhuǎn)向控制系統(tǒng)輸入u=δfc,則前輪轉(zhuǎn)向角可表示為δf=w+u．

控制器設(shè)計的目的是跟蹤理想橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角,其中理想質(zhì)心側(cè)偏角為0,而理想橫擺角速度可表示為

(6)

式中,常數(shù)kus為汽車穩(wěn)定性因數(shù),可由線性二自由度汽車?yán)硐肽Ｐ偷膮?shù)決定[15]．

(7)

式中

A0(ρ)=

考慮靜態(tài)輸出反饋控制器設(shè)計,控制輸入表示為

u=Ky

(8)

式中,K∈R1×2為控制增益;y為系統(tǒng)的測量輸出,表示為

y=Cx+D(ρ)w

(9)

其中

D(ρ)=[1/[(lf+lr)(ρ2+kusρ1)]　0]T

可見式(8)相當(dāng)于PI控制．由式(7)～(9)可得輸出反饋控制的閉環(huán)系統(tǒng):

(10)

若分別將質(zhì)心側(cè)偏角和橫擺角速度跟蹤誤差定義為系統(tǒng)控制輸出,即令z1=0-β和z2=rd-r,可得

z1=C1(ρ)x+D1w

(11)

z2=C2x+D2(ρ)w

(12)

‖z1‖∞<γ‖w‖2,‖z2‖2<σ‖w‖2

(13)

式中，γ和σ為性能指標(biāo)，分別用于表征汽車質(zhì)心側(cè)偏角和橫擺角速度跟蹤誤差的大小.

綜上所述,系統(tǒng)控制目標(biāo)可描述為:設(shè)計合適的控制增益K,使得閉環(huán)系統(tǒng)(10)穩(wěn)定,且使得式(13)定義的性能指標(biāo)最?。?/p>

2輸出反饋魯棒控制器設(shè)計

本節(jié)設(shè)計考慮模型參數(shù)可變和不確定性的輸出反饋控制器．假設(shè)輸出反饋增益可表示為

K=NW-1

(14)

式中,N∈R1×2,W∈R2×2．首先,應(yīng)用文獻(xiàn)[12]推導(dǎo)的結(jié)論,可得以下引理．

引理1若存在對稱正定陣Yi∈R3×3(i=1,2),矩陣N∈R1×2和W∈R2×2滿足不等式

(15)

-φHe(W)φ(CY2-WC)+NTBTuφD(ρ)0*He[A(ρ)Y2+BuNC]Bw(ρ)YT2CT2**-σIDT2(ρ)***-σIé?êêêêêêù?úúúúúú

(16)<0

(17)

則閉環(huán)系統(tǒng)(10)穩(wěn)定,且由式(14)得到的控制增益K滿足式(13)．式中,ψ和φ為正實(shí)數(shù),He(X)=X+XT．

為處理模型參數(shù)的不確定性,引入以下引理．

(18)

成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在正實(shí)數(shù)ε,使得下式成立:

(19)

(20)

式中,Ωj為凸多面體的頂點(diǎn),

(21)

點(diǎn)ρ相對于這些凸多面體頂點(diǎn)的坐標(biāo)表示為

(22)

由引理1、引理2及式(20)～(22),可得如下定理．

定理1給定系統(tǒng)性能指標(biāo)γ和σ,存在增益調(diào)度的輸出反饋控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)(10)漸進(jìn)穩(wěn)定且滿足式(13),當(dāng)且僅當(dāng)存在正實(shí)數(shù)εlj和對稱正定陣Yi∈R3×3(i=1, 2;l=1,2,…,8),矩陣Nj∈R1×2和矩陣Wj∈R2×2滿足不等式

(23)

(24)

(25)

j=1,2,3,4

式(13)中有γ和σ兩個性能指標(biāo),因此控制器設(shè)計是一個多目標(biāo)優(yōu)化問題,可以轉(zhuǎn)化為給定其中一個性能指標(biāo)σ,求另一性能指標(biāo)γ最小化的問題．

推論1定理1中,給定σ,性能指標(biāo)γ的最小值可以通過解以下最優(yōu)化問題得到:

minγ

s.t.式(23)～(25)成立

j=1,2,3,4

(26)

由推論1,可求得凸多面體頂點(diǎn)上的控制增益Kj,進(jìn)而計算得到某車速下的輸出反饋控制器增益,即

(27)

式中,λj(ρ)根據(jù)式(22)計算．

3仿真試驗(yàn)和結(jié)果分析

建立Matlab/Simulink和CarSim聯(lián)合仿真環(huán)境,對上述魯棒控制算法進(jìn)行仿真試驗(yàn)．首先在CarSim中建立非線性整車模型,Matlab/Simulink中建立上述魯棒控制器模型,然后應(yīng)用Matlab的LMI工具箱來求解式(26)中的最優(yōu)化問題．仿真中輪胎-路面附著系數(shù)為0.85．整車模型主要參數(shù)如表1所示．

表1　整車模型主要參數(shù)

在仿真中,假定參數(shù)Vx的變化范圍是[18, 28] m/s．考慮輪胎的非線性特性,假定側(cè)偏剛度的變化范圍為±30%,即Cminf=72 191 N/rad,Cmaxf=134 069 N/rad,Cminr=51 697.8 N/rad,Cmaxr=96 010.2 N/rad．給定σ值為15,通過推論1對(ψ,φ)進(jìn)行二維搜索,得到當(dāng)ψ=5.2,φ=3.9時,γ最小值為6.3．此時,求得式(21)所描述凸多面體上4個頂點(diǎn)的控制增益分別為

(28)

由這些控制增益值和式(27)可計算輸出反饋控制器增益．

在緊急轉(zhuǎn)彎(J-turn)和雙移線2種極限操縱工況下對上述控制算法進(jìn)行了仿真試驗(yàn)．

3.1緊急轉(zhuǎn)彎工況仿真

緊急轉(zhuǎn)彎操縱工況的車速為20 m/s,駕駛員轉(zhuǎn)向角輸入δfd由0很快增大到3°,模擬汽車緊急轉(zhuǎn)彎的極限工況,如圖2所示．

圖2　緊急轉(zhuǎn)彎操縱工況下轉(zhuǎn)向角

仿真結(jié)果如圖2和圖3所示．由圖3可知,由于轉(zhuǎn)向角較大且車速較高,無控制的汽車不能跟蹤理想橫擺角速度,側(cè)向加速度和質(zhì)心側(cè)偏角最大值分別達(dá)到8.1 m/s2和6.9°,發(fā)生了非常明顯的側(cè)滑．當(dāng)采用上述AFS魯棒控制時,雖然實(shí)際橫擺角速度與理想橫擺角速度相比產(chǎn)生了14%左右的超調(diào),側(cè)向加速度最大值也達(dá)到了7.7 m/s2,但系統(tǒng)很快趨于穩(wěn)定,且橫擺角速度跟蹤穩(wěn)態(tài)誤差趨于零,汽車質(zhì)心側(cè)偏角最大值僅為1.4°,未發(fā)生側(cè)滑．可見采用上述魯棒控制后,能夠顯著提高緊急轉(zhuǎn)彎極端操縱工況下汽車的橫擺角速度跟蹤效果和穩(wěn)定性．

(a) 橫擺角速度

(b) 側(cè)向加速度

(c) 質(zhì)心側(cè)偏角

3.2雙移線工況仿真

該操縱工況的車速為24 m/s,路徑采用ISO國際標(biāo)準(zhǔn)的雙移線試驗(yàn)路徑．用來跟蹤該路徑的駕駛員模型描述為[16]

(29)

式中,τL和τd2分別為超前和滯后時間常數(shù);τd1為描述駕駛員反應(yīng)的純延時;Gh為轉(zhuǎn)向比例增益;GR為車輛轉(zhuǎn)向系的轉(zhuǎn)向比; ΔY(s)為當(dāng)前車輛質(zhì)心的橫向位置和預(yù)瞄點(diǎn)橫向位置之間的偏差．仿真采用的駕駛員模型參數(shù)為τL=0.09 s,τd1=0.06 s,τd2=0.20 s,Gh=0.7,預(yù)瞄時間為0.8 s．采用上述輸出反饋控制來跟蹤駕駛員操縱意圖的仿真試驗(yàn)框架如圖4所示．

圖4　雙移線工況仿真控制框圖

仿真試驗(yàn)結(jié)果如圖5～圖8所示．由于駕駛員模型參數(shù)表征的是非熟練駕駛員,駕駛員反應(yīng)所需時間較長．在未加控制時駕駛員雖然完成了雙移線操縱,但汽車橫擺角速度跟蹤誤差較大,汽車側(cè)向加速度和質(zhì)心側(cè)偏角分別達(dá)到了7.8m/s2和3.9°．移線后車輛仍未穩(wěn)定,駕駛員還需要調(diào)整轉(zhuǎn)向角才能使車輛回到穩(wěn)定狀態(tài),駕駛員的工作負(fù)荷較大． 另一方面, 由圖5(a)可知AFS魯棒控制器對前輪轉(zhuǎn)向角進(jìn)行了小角度調(diào)整．有控制時橫擺角速度跟蹤誤差較小,且側(cè)向加速度和質(zhì)心側(cè)偏角最大值明顯減小,分別只有6.3m/s2和1.4°,駕駛員能夠更輕松實(shí)現(xiàn)移線,而且完成移線后車輛迅速回到穩(wěn)定狀態(tài),駕駛員不需過多地調(diào)整轉(zhuǎn)向角．綜上所述,上述AFS魯棒控制器能夠改善雙移線工況下車輛操縱和穩(wěn)定性能,并且能降低駕駛員操縱的工作負(fù)荷．

(a) 有控制

(b) 無控制

(a) 有控制

(b) 無控制

(a) 側(cè)向加速度

(b) 質(zhì)心側(cè)偏角

圖8　雙移線操縱工況下汽車質(zhì)心位移

4結(jié)語

本文考慮車速和輪胎側(cè)偏剛度的不確定性,提出了基于靜態(tài)輸出反饋的AFS魯棒控制器以提高汽車橫向操縱性能和穩(wěn)定性．并在Matlab/Simulink和CarSim聯(lián)合仿真環(huán)境中進(jìn)行緊急轉(zhuǎn)彎和雙移線等極限操縱工況仿真試驗(yàn),驗(yàn)證所提出控制器的性能．仿真試驗(yàn)結(jié)果表明,所提出的AFS魯棒控制器能夠顯著改善車輛的橫向操縱性能和穩(wěn)定性．在仿真工況下側(cè)偏剛度接近輪胎附著極限的非線性范圍,同時車速也具有時變性,結(jié)果表明控制器具有很好的魯棒性．另一方面,控制器只需測量橫擺角速度和車速等系統(tǒng)輸出量,不必進(jìn)行汽車側(cè)向速度的測量或估計,降低了控制器實(shí)現(xiàn)的成本．

參考文獻(xiàn)(References)

[1]ManningWJ,CrollaDA.Areviewofyawrateandsideslipcontrollersforpassengervehicles[J]. Transactions of the Institute of Measurement and Control, 2007, 29(2):117-135.DOI:10.1177/0142331207072989.

[2]HeJ,CrollaD,LevesleyM,etal.Integratedactivesteeringandvariabletorquedistributioncontrolforimprovingvehiclehandlingandstability[J]. SAE Transactions, 2004, 113(6):638-647.

[3]FalconeP,BorrelliF,AsgariJ,etal.Predictiveactivesteeringcontrolforautonomousvehiclesystems[J].IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2007, 15(3):566-580.DOI:10.1109/tcst.2007.894653.

[4]DoMT,ManZH,ZhangCS,etal.Robustslidingmode-basedlearningcontrolforsteer-by-wiresystemsinmodernvehicles[J]. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 2014, 63(2): 580-590.DOI:10.1109/tvt.2013.2280459.

[5]NamK,OhS,FujimotoH,etal.Robustyawstabilitycontrolforelectricvehiclesbasedonactivefrontsteeringcontrolthroughasteer-by-wiresystem[J]. International Journal of Automotive Technology, 2012, 13(7):1169-1176.DOI:10.1007/s12239-012-0120-6.

[6]DuHP,ZhangN.Robustyawmomentcontrolforvehiclehandlingandstabilityimprovement[C]//24th Chinese Control and Decision Conference.Taiyuan,China, 2012: 4221-4226.

[7]ZhangH,ZhangXJ,WangJM.Robustgain-schedulingenergy-to-peakcontrolofvehiclelateraldynamicsstabilisation[J]. Vehicle System Dynamics, 2014, 52(3):309-340.DOI:10.1080/00423114.2013.879190.

[8]WangR,ZhangH,WangJ.Linearparameter-varyingcontrollerdesignforfour-wheelindependentlyactuatedelectricgroundvehicleswithactivesteeringsystems[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2014, 22(4): 1281-1296.

[9]DongJ,YangGH.Staticoutputfeedbackcontrolsynthesisforlinearsystemswithtime-invariantparametricuncertainties[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2007, 52(10): 1930-1936.

[10]ZhangH,ShiY,MehrAS.RobuststaticoutputfeedbackcontrolandremotePIDdesignfornetworkedmotorsystems[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2011, 58(12): 5396-5405.DOI:10.1109/tie.2011.2107720.

[11]BentonRE,SmithD.Astatic-output-feedbackdesignprocedureforrobustemergencylateralcontrolofahighwayvehicle[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2005, 13(4):618-623.DOI:10.1109/tcst.2004.841681.

[12]KorogluH,FalconeP.NewLMIconditionsforstaticoutputfeedbacksynthesiswithmultipleperformanceobjectives[C]//IEEE 53rd Annual Conference on Decision and Control.LosAngeles,CA,USA, 2014: 866-871.DOI:10.1109/cdc.2014.7039490.

[13]NamK,OhS,FujimotoH,etal.EstimationofsideslipandrollanglesofelectricvehiclesusinglateraltireforcesensorsthroughRLSandKalmanfilterapproaches[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2013, 60(3): 988-1000.DOI:10.1109/tie.2012.2188874.

[14]YoonJH,PengH.RobustvehiclesideslipangleestimationthroughadisturbancerejectionfilterthatintegratesamagnetometerwithGPS[J]. IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems, 2014, 15(1):191-204.DOI:10.1109/tits.2013.2275173.

[15]余志生. 汽車?yán)碚揫M]. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 2009: 144-162.

[16]Pl?chlM,EdelmannJ.Drivermodelsinautomobiledynamicsapplication[J]. Vehicle System Dynamics, 2007, 45(7):699-741.DOI:10.1080/00423110701 432482.

Robust output feedback control for vehicle active front wheel steering system considering parameter uncertainties

Wang JinxiangDai MengmengChen Nan

(School of Mechanical Engineering, Southeast University, Nanjing 211189,China)

Abstract:A robust static output feedback controller for active front wheel steering (AFS) is proposed to improve the performance of vehicle yaw rate tracking and lateral stability. The modeling uncertainties including vehicle velocity and cornering stiffness are considered in the controller design. The vehicle velocity is variable and measurable, and the polytope model is applied to deal with the uncertainty of vehicle velocity. With the combination of the multi-objective optimization and the output feedback robust control, the performance of the tracking vehicle yaw rate and lateral stability is improved. In the co-simulation environment including Matlab/Simulink and CarSim, simulations under the typical handling conditions of J-turn and double lane change are conducted to verify the performance of the proposed controller. Simulation results show that the performance of vehicle handling and stability is improved with the proposed controller, and the workload of the driver is reduced. The results also show that the proposed controller is robust to the parameter uncertainty of the vehicle model.

Key words:vehicle; active front wheel steering; output feedback; robust control; parameter uncertainty

doi:10.3969/j.issn.1001-0505.2016.03.004

收稿日期:2015-11-11.

作者簡介:王金湘(1979—),男,博士,講師,wangjx@seu.edu.cn.

基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(51205058,51375086).

中圖分類號:U461; TP273

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:1001-0505(2016)03-0476-07

引用本文:王金湘,代蒙蒙,陳南.考慮參數(shù)不確定性的汽車前輪主動轉(zhuǎn)向輸出反饋魯棒控制[J].東南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2016,46(3):476-482. DOI:10.3969/j.issn.1001-0505.2016.03.004.