考慮靜摩擦的兩圓柱體分形接觸強(qiáng)度模型研究

陳　奇,　黃守武,　張　振,　馬運(yùn)波

(合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院,安徽 合肥　230009)

考慮靜摩擦的兩圓柱體分形接觸強(qiáng)度模型研究

陳奇,黃守武,張振,馬運(yùn)波

(合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院,安徽 合肥230009)

摘要:為了研究兩圓柱體結(jié)合面之間靜摩擦力對(duì)接觸強(qiáng)度的影響,文章通過引入靜摩擦影響系數(shù),在分形理論的M-B接觸模型、靜摩擦因數(shù)預(yù)測(cè)模型和Gelinck數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上,修正結(jié)合面之間真實(shí)接觸面積計(jì)算方法,并推導(dǎo)考慮靜摩擦影響的兩圓柱體結(jié)合面分形接觸強(qiáng)度模型。通過Matlab仿真分析發(fā)現(xiàn):靜摩擦因數(shù)對(duì)接觸強(qiáng)度的影響呈現(xiàn)復(fù)雜的非線性關(guān)系,無法通過單一的調(diào)節(jié)潤滑黏度、接觸速率等因素改變接觸強(qiáng)度;與傳統(tǒng)接觸強(qiáng)度模型相比,該文所用模型計(jì)算的接觸強(qiáng)度有所降低,且隨著分形維數(shù)的減小接觸強(qiáng)度呈現(xiàn)非線性增大。研究結(jié)果為進(jìn)一步探討摩擦對(duì)齒輪等實(shí)際產(chǎn)品的接觸強(qiáng)度影響提供了一定的理論基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞:接觸強(qiáng)度;靜摩擦力;分形理論;圓柱結(jié)合面;表面形貌;M-B接觸模型

0引言

粗糙表面形貌的微觀特征對(duì)機(jī)械接觸狀態(tài)以及機(jī)械結(jié)構(gòu)的靜動(dòng)態(tài)特性具有重要影響。由于粗糙表面具有明顯的分形特征,分形維數(shù)能綜合反映表面輪廓的不規(guī)則形狀[1],而且分形理論所具有的自相似性使表面接觸的分析結(jié)果具有確定性和唯一性,因此大量的研究者對(duì)分形理論進(jìn)行了研究。Majumdar和Bhushan基于W-M分形函數(shù)建立了M-B彈塑性接觸模型[2];文獻(xiàn)[3]針對(duì)M-B模型的一些不足之處進(jìn)行了改進(jìn)和修正,得到了M-B彈塑性分形接觸修正模型。

M-B彈塑性分形接觸模型沒有考慮摩擦因素的影響,而實(shí)際工程結(jié)構(gòu)表面在接觸時(shí)必須考慮摩擦的影響,任意2個(gè)工程表面間的摩擦因素都會(huì)使得接觸應(yīng)力的大小和分布與經(jīng)典赫茲解不同,因而在粗糙結(jié)合面的分析中引入摩擦因素,研究考慮摩擦因素影響的分形接觸強(qiáng)度模型就顯得很重要。

本文結(jié)合改進(jìn)的M-B分形接觸模型和“島嶼面積分布理論”[2],利用結(jié)合面靜摩擦因數(shù)預(yù)測(cè)模型,引入靜摩擦影響系數(shù),建立兩圓柱體間考慮摩擦因素影響的分形接觸強(qiáng)度模型;再利用Matlab等仿真軟件進(jìn)行仿真,對(duì)比現(xiàn)有的分形接觸強(qiáng)度模型,分析研究摩擦因素等相關(guān)參數(shù)對(duì)接觸強(qiáng)度的影響。

1傳統(tǒng)粗糙表面接觸強(qiáng)度分形模型

1.1M-B分形接觸模型

通過W-M函數(shù)[2]對(duì)粗糙表面的形貌進(jìn)行模擬,結(jié)合Mandelbrot對(duì)地球海洋的島嶼面積分布的研究,文獻(xiàn)[2]建立了粗糙表面的彈塑性接觸的分形模型,即M-B分形接觸模型[4]。W-M函數(shù)的表達(dá)式為

(1)

其中,z(xw)為隨機(jī)輪廓高度;xw為輪廓位移坐標(biāo);D為表面輪廓分形維數(shù),它定量地度量表面輪廓在所有尺度上的不規(guī)則和復(fù)雜程度;G為反映z(xw)大小的特征尺度系數(shù);γ為大于1的常數(shù),對(duì)于服從正態(tài)分布的隨機(jī)表面,取γ=1.5較為合適;γn為隨機(jī)輪廓的空間頻率,即決定表面粗糙度的頻譜;nl為與輪廓結(jié)構(gòu)的最低截止頻率(wl)相對(duì)應(yīng)的序數(shù)。

假設(shè)接觸表面輪廓的微凸體形狀由W-M函數(shù)定義,并假設(shè)表面粗糙度是統(tǒng)計(jì)各向同性的,經(jīng)推導(dǎo)得到接觸表面的總載荷P可使用接觸點(diǎn)的尺寸分布n(a)來估計(jì),其中ac為微凸體的臨界接觸面積。當(dāng)微凸體的接觸面積aac,此時(shí)發(fā)生的是彈性變形。

(1) 當(dāng)al>ac時(shí),接觸點(diǎn)發(fā)生彈塑性變形,則總載荷為：

(2)

其中,等號(hào)右邊第1項(xiàng)為彈性接觸載荷,第2項(xiàng)為塑性接觸載荷;σs為較軟材料的屈服強(qiáng)度;Km為硬度H與屈服強(qiáng)度σs的相關(guān)系數(shù)(H=Kmσs);al為最大的接觸點(diǎn)的面積;E為綜合彈性模量,即

其中,ν1、ν2和E1、E2分別為兩物體的泊松比和彈性模量。

(2) 當(dāng)al

(3)

其中,as為最小接觸面積,一般假設(shè)as=0；Ar為真實(shí)接觸面積。

1.2兩圓柱體結(jié)合面分形接觸模型

由于M-B分形接觸模型的初始假設(shè)條件基于“島嶼面積分布理論”中假設(shè)兩接觸體為粗糙表面與理想平面的接觸,因此對(duì)于粗糙曲面間的接觸問題直接應(yīng)用M-B分型模型是不合適的。在兩圓柱體表面接觸時(shí),首先假設(shè)粗糙表面彈性體滿足赫茲假設(shè),當(dāng)兩粗糙表面接觸時(shí),由“島嶼面積分布理論”引入表面接觸系數(shù)λ,設(shè)此時(shí)的接觸點(diǎn)數(shù)N滿足如下關(guān)系[15]：

(4)

(5)

其中,Sh為理論接觸面積,即

(6)

其中,C1、C2為與曲面幾何形狀有關(guān)的系數(shù)(兩圓柱體接觸時(shí)取C1=1、C2=1/2);P′為單位線長度載荷;B為兩圓柱體有效接觸長度;∑S為兩曲面表面積之和,∑S=2π(R1±R2)B(“+”為外嚙合,“-”為內(nèi)嚙合);xh為綜合曲率系數(shù)；R1和R2分別為圓柱1和圓柱2的曲率半徑。

整理(4)～(6)式可得

(7)

其中,λ0為初始表面接觸系數(shù),表達(dá)式為

(8)

綜上所述,可得兩曲面接觸點(diǎn)的面積分布為

(9)

將(9)式代入M-B分形接觸模型,可得出粗糙曲面間的真實(shí)接觸面積與載荷的關(guān)系。

當(dāng)al>ac時(shí)接觸點(diǎn)處于彈塑性變形,此時(shí)又分為2種情況。

(1) 當(dāng)D≠1.5時(shí),則有

(10)

(11)

其中,G*為粗糙度幅值；g1(D)、g2(D)為與分形維數(shù)相關(guān)的函數(shù)。

(2) 當(dāng)D=1.5時(shí),則有

(12)

(13)

當(dāng)al

(14)

其中，φ為材料特性參數(shù)。

2推導(dǎo)兩圓柱體分形接觸模型

對(duì)兩圓柱體接觸曲面進(jìn)行受力分析,由“島嶼面積分布理論”可知,面積A超過一定值a的微凸體個(gè)數(shù)N與a之間滿足冪律關(guān)系。而當(dāng)微凸體接觸面積a

2.1修正靜摩擦因數(shù)分形預(yù)測(cè)模型

在“島嶼面積分布理論”的基礎(chǔ)上引入表面接觸系數(shù)λ,推導(dǎo)得出修正后的兩曲面實(shí)際接觸面積n′(a),從而修正基于M-B分形模型的靜摩擦因數(shù)預(yù)測(cè)模型[7],根據(jù)Hamilton對(duì)滑動(dòng)摩擦的計(jì)算,最大合成拉應(yīng)力產(chǎn)生在接觸點(diǎn)的后邊緣處,假設(shè)屈服發(fā)生在接觸點(diǎn)的邊緣,其應(yīng)力為

(15)

其中,σx為與正向載荷方向相同的應(yīng)力;σy為與摩擦力方向相同的應(yīng)力;σz為垂直于正向載荷和法向載荷所在平面的應(yīng)力;Pd為一個(gè)接觸點(diǎn)上的載荷;Qd為一個(gè)接觸點(diǎn)上的摩擦力;r為接觸點(diǎn)半徑。

采用Tresca屈服條件,即

(16)

其中,σ1、σ2、σ3為主應(yīng)力,由(15)式有

(17)

將(16)式和(17)式代入(15)式,得

(18)

由a=πr2及φ=σs/E,整理(18)式可得

(19)

則彈性變形下總的靜摩擦力為

(20)

(21)

(22)

取靜摩擦力QJ的無量綱形式為

D≠1.5

(23)

D=1.5

(24)

由(10)～(13)式和(23)式、(24)式可得兩圓柱曲面靜摩擦因數(shù)為

(25)

2.2引入靜摩擦影響因數(shù)

由靜摩擦力預(yù)測(cè)模型所得到的靜摩擦因數(shù)只是在理想狀態(tài)下推算得出,忽略了在實(shí)際工作過程中振動(dòng)、潤滑黏度、油溫等對(duì)靜摩擦力的影響。文獻(xiàn)[8]提出了混合潤滑的數(shù)學(xué)模型,計(jì)算了摩擦因數(shù)與潤滑參數(shù)之間的影響關(guān)系。結(jié)合文獻(xiàn)[7-8],引入潤滑狀態(tài)系數(shù)ξ和靜摩擦影響因數(shù)λJ[9],即

(26)

(27)

由此修正靜摩擦因數(shù)可得

(28)

其中,η為潤滑劑黏度;u為接觸瞬時(shí)圓柱面卷吸速度;E為兩圓柱體綜合彈性模量;R為兩圓柱體綜合曲率半徑;P0為單個(gè)接觸點(diǎn)所承受的法向接觸應(yīng)力。λJ表示潤滑狀態(tài)系數(shù)ξ對(duì)摩擦因數(shù)的影響幅度,隨各參數(shù)的取值而變化?；贕elinck的數(shù)學(xué)模型[8],在一定的參數(shù)下表面靜摩擦影響因數(shù)和潤滑狀態(tài)系數(shù)ξ的變化趨勢(shì)如圖1所示,其中,f=0.13,E=231 GPa,R=60 mm。

從圖1中可以看出,當(dāng)ξ<10-4時(shí),摩擦影響因數(shù)趨近于0;當(dāng)10-4<ξ<10-3時(shí),摩擦影響因數(shù)急劇增加,并在ξ=10-3時(shí)達(dá)到最大,即10%左右;當(dāng)ξ>10-3時(shí),摩擦影響因數(shù)略有減小。

圖1　潤滑狀態(tài)系數(shù)對(duì)摩擦力的影響

結(jié)合上述對(duì)結(jié)合面處的受力分析,將結(jié)合面法向接觸載荷對(duì)結(jié)合曲面的影響分解為2部分：一部分微凸體產(chǎn)生塑性變形承受法向載荷,另一部分微凸體產(chǎn)生彈性變形同時(shí)承受法向載荷和切向載荷[3](亦即靜摩擦力)。所以考慮靜摩擦的兩圓柱曲面分形接觸強(qiáng)度如下。

(1) 當(dāng)al>ac,接觸點(diǎn)處于彈塑性變形,此時(shí)又分為2種情況,即

(29)

(30)

(2) 當(dāng)al

(31)

3Matlab數(shù)值模擬與對(duì)比分析

3.1考慮靜摩擦影響的分形接觸強(qiáng)度模型模擬

根據(jù)上文所建立的模型,結(jié)合M-B分形接觸模型和兩圓柱體間分形接觸模型,參照文獻(xiàn)[10],選取下列參數(shù):D=1.5,G=10-7,B=50 mm,R1=100 mm,R2=80 mm,φ=2.67×10-3(如無特殊說明,均采用以上參數(shù))。

靜摩擦影響系數(shù)為10%的情況下,結(jié)合面接觸載荷隨著真實(shí)接觸面積變化的模擬結(jié)果如圖2所示。

由圖2可得,M-B分形接觸模型和考慮靜摩擦影響的分形接觸模型的曲線基本一致,可見模型的總體趨勢(shì)正確?？紤]靜摩擦影響的分形接觸模型在M-B分形接觸模型和兩圓柱曲面分形接觸模型下方,表明考慮靜摩擦影響時(shí)的分析結(jié)果偏小。在實(shí)際工況下,靜摩擦影響因數(shù)的增大使得實(shí)際靜摩擦因數(shù)減小,從而作用于彈性變形的微凸體上的法向接觸載荷被潤滑油膜承擔(dān)一部分,在相同的扭矩作用下,結(jié)合面微凸體承擔(dān)的總的法向載荷減小[11-12]。

圖2　3種分形接觸強(qiáng)度模型對(duì)比

3.2對(duì)比不同靜摩擦影響因數(shù)的分形接觸模型

潤滑狀態(tài)系數(shù)對(duì)接觸強(qiáng)度的影響如圖3所示。

圖3　潤滑狀態(tài)系數(shù)對(duì)接觸強(qiáng)度的影響

從圖1中可以看出,隨著潤滑狀態(tài)系數(shù)的增加,靜摩擦影響因數(shù)先保持不變,繼而迅速增加,并在ξ=10-3時(shí)達(dá)到最大值;從圖3中可以看出隨著潤滑狀態(tài)系數(shù)的增加,接觸載荷也隨之先不變后減小,在實(shí)際工況中可以通過調(diào)整潤滑狀態(tài)系數(shù)ξ來得到更大的靜摩擦影響系數(shù),從而達(dá)到減小接觸載荷的目的。

3.3不同參數(shù)對(duì)接觸強(qiáng)度的影響

選取不同圓柱直徑、分形維數(shù)、粗糙度幅值時(shí),對(duì)接觸強(qiáng)度的影響如圖4所示。

圖4中,R1=100 mm,圖4b和4c為表面外接觸(R2=60 mm)。

圖4中均選定最大靜摩擦影響系數(shù),通過觀察可以發(fā)現(xiàn):

(1) 在圖4a中,無論是內(nèi)接觸還是外接觸,隨著R2的增加,真實(shí)接觸面積增加,接觸強(qiáng)度降低,而且內(nèi)接觸時(shí)的接觸強(qiáng)度比外接觸小,與實(shí)際相符合。

(2) 在圖4b中,隨著分形維數(shù)的增加,接觸強(qiáng)度的改變并未隨之線性變化,而是先增大再減小,故在圖示的維數(shù)范圍內(nèi),接觸強(qiáng)度存在一個(gè)最佳值,可使此維數(shù)下接觸狀況達(dá)到最優(yōu)。

(3) 在圖4c中,隨著粗糙度幅值參數(shù)的減小,彈性接觸面積所占比例增加,靜摩擦影響因數(shù)的改變對(duì)接觸強(qiáng)度的影響更為明顯。

圖4　不同參數(shù)值對(duì)接觸強(qiáng)度的影響

4結(jié)論

本文通過引入靜摩擦影響系數(shù),在M-B分形接觸強(qiáng)度模型、靜摩擦因數(shù)預(yù)測(cè)模型和Gelinck數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上建立了考慮靜摩擦影響的兩圓柱體結(jié)合面接觸強(qiáng)度模型,并在Matlab中進(jìn)行了仿真和對(duì)比研究。

(1) 通過研究考慮靜摩擦影響的兩圓柱體接觸強(qiáng)度模型發(fā)現(xiàn),靜摩擦因數(shù)對(duì)接觸強(qiáng)度的影響呈現(xiàn)復(fù)雜的非線性關(guān)系,無法通過單一的調(diào)節(jié)潤滑黏度、接觸速率等因素改變接觸強(qiáng)度。

(2) 對(duì)比M-B分形接觸模型和兩圓柱體結(jié)合面分形接觸模型發(fā)現(xiàn):在考慮靜摩擦影響時(shí),接

觸強(qiáng)度曲線趨勢(shì)基本一致,但在相同實(shí)際接觸面積下,接觸強(qiáng)度有所降低;隨著分形維數(shù)的減小接觸強(qiáng)度呈現(xiàn)非線性增大;隨著粗糙度幅值參數(shù)的增加,接觸強(qiáng)度隨之增大。

(3) 通過運(yùn)用靜摩擦因數(shù)的變化對(duì)法向接觸強(qiáng)度的影響,將靜摩擦考慮到分形接觸強(qiáng)度模型之中,為研究結(jié)合面接觸強(qiáng)度提供了新的思路和方法。

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(責(zé)任編輯胡亞敏)

Research on contact strength calculation of two cylinders based on by static friction by fractal theory

CHEN Qi, HUANG Shou-wu, ZHANG Zhen, MA Yun-bo

(School of Machinery and Automobile Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

Abstract:In order to obtain the influence of the static friction force between two cylinders on the contact strength, and by introducing the influence coefficient of static friction, the fractal contact strength model considering the static friction was derived after modifying the methodology of calculating the real area of joint face based on M-B fractal contact model, static friction factor prediction model and Gelinck model. The results of the simulation of the models in Matlab show that the static friction coefficient and contact strength interact with each other and their relationship shows complex nonlinearity; the contact strength cannot be changed by only adjusting the value of lubricating viscosity and the contact velocity separately; the analysis result of contact strength by the model in this paper is consistent with that of the traditional methodology, but the former value is a little smaller; the contact strength increases nonlinearly with the decrease of fractal dimension. The investigation in the paper can help to further analyze the influence of friction on calculating the contact strength of gears.

Key words:contact strength; static friction force; fractal theory; joint surface between cylinders; surface topography; M-B fractal contact model

收稿日期：2015-03-02；修回日期：2015-04-27

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51305116)

作者簡介：陳奇(1979-),男,安徽肥東人,博士,合肥工業(yè)大學(xué)副教授,碩士生導(dǎo)師.

doi:10.3969/j.issn.1003-5060.2016.05.001

中圖分類號(hào):TH114

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1003-5060(2016)05-0577-06