一類(lèi)非線性?huà)佄锓匠探M解的爆破時(shí)間下界估計(jì)

林 津, 曾有棟

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州　350116)

一類(lèi)非線性?huà)佄锓匠探M解的爆破時(shí)間下界估計(jì)

林 津, 曾有棟

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州350116)

摘要：使用構(gòu)造輔助函數(shù)和微分不等式方法，得到在有界區(qū)域Ω?Rn(n≥3)且滿(mǎn)足齊次Dirichlet邊界條件情況下，帶有梯度項(xiàng)的非線性?huà)佄锓匠探M解的爆破時(shí)間下界.

關(guān)鍵詞：下界； 爆破時(shí)間； 拋物方程組； 梯度項(xiàng)

0引言

考慮一類(lèi)帶梯度項(xiàng)的非線性?huà)佄锓匠探M解的爆破時(shí)間下界，方程具體形式如下：

(1)

其中： Ω?Rn(n≥3)是邊界光滑的有界區(qū)域；Δ為n維Laplace算子；為n維梯度算子； T是解的爆破時(shí)間； (1, 1)≤(q1, q2)<(p1, p2)； 這里(x1, y1)≤(x2, y2)表示x1≤x2且y1≤y2.

Payne等在文獻(xiàn)[1]中運(yùn)用微分不等式方法得到當(dāng)Ω?R3，半線性熱傳導(dǎo)方程

(2)

解的爆破時(shí)間下界. 其中f滿(mǎn)足適當(dāng)?shù)臈l件且式(2)帶有Dirichlet邊界條件.此后，在Ω?R3情況下，對(duì)各類(lèi)拋物方程解的爆破時(shí)間下界進(jìn)行估計(jì)，得到許多有效結(jié)論.例如Payne等在文獻(xiàn)[2]中對(duì)

(3)

Liu等在文獻(xiàn)[3]中對(duì)

(4)

進(jìn)行研究，得到了相應(yīng)解的爆破時(shí)間下界. 但是，以上文獻(xiàn)都只是在Ω?R3的情形下對(duì)解的爆破時(shí)間下界進(jìn)行估計(jì)，對(duì)于n≥3的情況并未給出相應(yīng)結(jié)論.

Baghaei等在文獻(xiàn)[4]中對(duì)Ω?Rn(n≥3)的爆破時(shí)間下界進(jìn)行估計(jì)，得到滿(mǎn)足Dirichlet邊界條件時(shí)，解的爆破時(shí)間下界. 文獻(xiàn)[5]和[6]分別得出滿(mǎn)足一定邊界條件且Ω?Rn(n≥3)時(shí)，式(3)和擬線性?huà)佄锓匠探獾谋茣r(shí)間下界估計(jì).本文根據(jù)文獻(xiàn)[7]的方法，對(duì)式(3)的方程組形式進(jìn)行討論，得出式(1)解的爆破時(shí)間下界.

(5)

在文獻(xiàn)[8]中, Chen等對(duì)一類(lèi)擬線性?huà)佄镄头匠探M進(jìn)行研究，得出當(dāng)對(duì)應(yīng)函數(shù)滿(mǎn)足一定條件時(shí)，方程組解的全局存在性和爆破性結(jié)論，包括式(1)形式的方程組. 由于本文討論的是解的爆破時(shí)間T的下界估計(jì)，因此只對(duì)方程組的解在有限時(shí)刻爆破的情況進(jìn)行考慮.

1主要結(jié)論

定理1設(shè)(u, v)是問(wèn)題(1)的非負(fù)古典解，其中(1, 1)≤(q1, q2)<(p1, p2)，Ω?Rn(n≥3)是帶有光滑邊界的區(qū)域. 定義

Θ(t)=∫Ωukdx+∫Ωvkdx

其中： k是滿(mǎn)足如下條件的參數(shù)

(6)

如果問(wèn)題(1)的解在有限時(shí)間T爆破，那么T的下界滿(mǎn)足如下估計(jì)

(7)

其中:C1和C2是正值常數(shù)，將在證明過(guò)程中具體定義.

證明對(duì)方程(1)進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)散度定理，有

(8)

參考文獻(xiàn)[9]可知:

(9)

其中正值常數(shù)λ是如下問(wèn)題的第一特征值

(10)

結(jié)合式(8)和(9)，有

(11)

根據(jù)式(6)中k的定義，針對(duì)式(8)右端第二項(xiàng)，由H?lder不等式和Young不等式，有

(12)

其中i=1, 2.

將式(12)代入式(11)，有

(13)

對(duì)式(13)的第三項(xiàng)，運(yùn)用H?lder不等式，有

(14)

(15)

(16)

再根據(jù)帶ε的Young不等式，有

(17)

同理可得

(18)

這里的ε1和ε2為正值常數(shù)，具體定義之后給出. 接著運(yùn)用H?lder不等式，得到

(19)

根據(jù)式(6)中k的定義，對(duì)式(17)和(18)相關(guān)項(xiàng)運(yùn)用帶ε的Young不等式，得到

(20)

其中:

ε3和ε4為正值常數(shù)，具體定義之后給出. 將式(17)～(20)代入式(13), 有

(21)

(22)

可知式(22)為

(23)

對(duì)微分不等式(23)從0到t進(jìn)行積分，得到

(24)

最后，對(duì)t取極限，即t→T-，得到

(25)

定理證明完畢.

[1] PAYNE L E, SCHAEFER P W. Lower bounds for blow-up time in parabolic problems under Dirichlet conditions[J]. Math Anal Appl, 2007, 328(2):1 196-1 205.

[2] PAYNE L E, SONG J C. Lower bounds for blow-up time in a nonlinear parabolic problem[J]. Math Anal Appl, 2009, 354(1): 394-396.

[3] LIU D, MU C, XIN Q. Lower bounds estimate for the blowup time of a nonlinear nonlocal porous medium equation[J]. Acta Mathematica Scientia B, 2012, 32(3): 1 206-1 212.

[4] BAGHAEI K, GHAEMIA M, HESAARAKI M. Lower bounds for the blow-up time in a semilinear parabolic problem involving a variable source[J]. Applied Mathematics Letters, 2014, 27: 49-52.

[5] LI H, GAO H, HAN C Y. Lower bounds for the blowup time of solutions to a nonlinear parabolic problem[J]. Electronic Journal of Differential Equations, 2014, 20: 1-6.

[6] BAO A G, SONG X F. Bounds for the blowup time of the solutions to quasi-linear parabolic problems[J]. Z Angew Math Phys, 2014, 65(1): 115 -123.

[7] BAGHAEI K, HESAARAKI M. Blow-up phenomena for a system of semilinear parabolic equations with nonlinear boundary conditions[J]. Math Meth Appl Sci , 2015, 38(3): 527-536.

[8] CHEN S H, MACDONALD K. Global and blowup solutions for general quasilinear parabolic systems[J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications 2013, 14(1): 423-433.

[9] PAYNE L E, PHILIPPIN G A, SCHAEFER P W. Blow-up phenomena for some nonlinear para-bolic problems[J]. Nonlinear Anal, 2008, 69(10): 3 495-3 502.

[10] TALENTI G. Best constants in sobolev inequality[J]. Ann Math Pura Appl ,1976, 110(1): 353-372.

[11] GILBARG D, TRUDINGER N S. Elliptic partial differential equations of second order[M]. Berlin: Springer, 2001.

(責(zé)任編輯：蔣培玉 )

Lower bounds for the blowup time of solutions to a nonlinear parabolic system

LIN Jin，ZENG Youdong

(College of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian 350116, China)

Abstract:In this paper, by means of constructing an auxiliary function and the differential inequality technique, we derive a lower bound for the blow-up time of solutions to a parabolic system with a gradient nonlinearity under homogeneous Dirichlet boundary conditions in a bounded domain Ω?Rn for any n≥3.

Keywords:lower bounds; blow-up time; parabolic system; gradient nonlinearity

DOI:10.7631/issn.1000-2243.2016.03.0354

文章編號(hào)：1000-2243(2016)03-0354-05

收稿日期:2014-04-22

通訊作者:曾有棟(1961-)，教授，主要從事偏微分方程研究，zengyd@fzu.edu.cn

基金項(xiàng)目：福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(Z0511015)

中圖分類(lèi)號(hào)：O175.26

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A