Jacobi函數方程與Riemann ξ(s)函數零點

劉法勝

(山東科技大學 交通學院，山東 青島 266590)

Jacobi函數方程與Riemann ξ(s)函數零點

劉法勝

(山東科技大學 交通學院，山東 青島 266590)

摘要：利用Jacobi函數方程和Schwarz反射原理，給出Riemann zeta函數零點滿足的方程，進而推得零點均落在實部為1/2的臨界線上。如此，所有與Riemann猜想等價的命題和以Riemann假設作為前提條件的結論都成立。

關鍵詞：黎曼猜想；Jacobi函數方程；反射原理

1研究背景

Riemann猜想(RH,Riemann hypothesis)源于Dirichlet級數函數：

(1.1)

其中：s=σ+it，Re(s)=σ>1。

文獻[1]和[2]列出了有關Riemann猜想的重大歷史事件。1737年，Euler給出了著名的乘積公式，即對所有大于1的實數s，有

(1.2)

其中，N為自然數，p為素數。Euler乘法公式建立起了Dirichlet級數函數和素數分布的密切聯系，也可以說建立了自然數加法運算和素數乘積運算之間的一種聯系。

1792年，Guass提出后來被稱為素數定理的結論。1859年，Riemann在文獻[3]中，將(1.1)解析延拓到除s=1外的整個復平面上，并提出Riemann猜想：Riemann ζ函數的所有非平凡零點都在臨界線Re(s)=1/2上。

由Euler乘積公式(1.2)可以得到Riemann ζ函數在Re(s)>1的區(qū)域內沒有零點。1896年，Hadamard和Poussion分別獨立證明了素數定理。素數定理等價于Riemann ζ函數在Re(s)=1上沒有零點。

1914年，丹麥數學家Bohr與德國數學家Landau證明了包含臨界線的無論多么窄的帶狀區(qū)域都包含了Riemann ζ函數的幾乎所有非平凡零點。同一年，英國數學家Hardy證明了Riemann ζ函數有無窮多個非平凡零點位于臨界線上。

1942年，挪威數學家Selberg證明了有正百分比的非平凡零點在臨界線上。Levinson在1974年證明了至少有34%的零點位于臨界線上。直到1989年，美國數學家Conrey證明了至少有40%的零點位于臨界線上。

RH之所以重要，其原因之一是RH有諸多重要等價命題和以其作為假設而成立的重要結論。文獻[2]中給出了32個重要等價命題；李修賢[4]在學位論文“Riemann猜想與素數分布”中專門羅列了34個與Riemann猜想等價結論。RH的各種等價結論和基于RH而成立的結論使人們有理由相信RH的正確性，因而，人們更愿意稱Riemann猜想為Riemann假設。

關于數值計算驗證或者說試圖舉出反例的工作，極大促進了RH的相關研究。1932年，數學家Siegel從Riemann的手稿中獲得了重大發(fā)現——計算Riemann ζ函數非平凡零點的方法,稱為Riemann-Siegel公式。至1969年，350萬個零點得到驗證，全部位于臨界線上，這無疑大大增強了數學家們對RH的信心。到2004年，Gourdon用計算機驗證了Riemann ζ函數的前1013個零點都落在RH的臨界線上。

Riemann猜想的提出已經過去近兩個世紀，而猜想是否成立，一直未得到肯定。RH被公認為是“外行不懂，專家證明不了的世界難題”[2]。

Riemann的著名論文[3]“論小于給定數的素數分布”中已經意識到猜想是成立的。令人惋惜的是，Riemann提出RH七年后就撒手人寰?？疾焯岢鯮H的原始論文[3]發(fā)現，Riemann通過Jacobi函數方程，給出了Riemann ζ函數的解析延拓表達[5]21。Edwards[6],Karatsuba[7]都有用theta級數函數和Jacobi函數方程處理Riemann ζ函數解析延拓論述。Jacobi函數方程與Riemann ζ函數關系密切，前者自變量的倒數與后者變量的共軛變量對應。Riemann原意就是要去證明RH，只是未能如愿，才以猜想的形式給出了著名的RH。倘若，Riemann當時就沿著此路給出RH的證明，或者后來人及時補上其證明，或許RH不會如此出名。RH的諸多重要等價問題和基于RH的重要結果進一步凸顯了RH的重要性，而等價問題的難以證明則說明，除了Riemann當初猜想的基于Jacobi變換的思路外，恐怕還沒有發(fā)現更有效的思路。

現在可以說，RH的極限情形和具體零點計算，只是增大了RH成立的可能性，將Jacobi函數方程性質和反射原理結合應用是證明RH的有效方法。

2以Theta級數表達的Riemann ζ函數解析延拓顯表達

Dirichlet級數函數有多種解析延拓途徑，由于解析延拓的唯一性原理，各種延拓形式上不同，本質上是等價的[5-7]。Riemann利用theta函數級數和Jacobi方程，將ζ函數解析延拓到除1之外的整個復數平面上[3，5]。

由于RH起源于Dirichlet級數函數的解析延拓，而基于theta級數表達的Riemann ζ函數解析延拓用到著名的Jacobi函數方程關系，為了本文的完整性和可讀性，此處以定理形式給出該既有結果[5]。

定理1[8]

(2.1)

(2.2)

證明見文獻[8]188頁，也可參考文獻[5] 5～8頁給出的另一證明。

定理2[5]下述函數是Dirichlet級數函數在復平面上除s=1外的解析延拓:

(2.3)

記A(s)=ζ(s),為Riemann ζ函數。鑒于該定理在RH中的重要性，此處給出其證明之一，詳細過程見文獻[5]11頁。

用積分公式表示Gamma函數，對于Re(s)>0和自然數N，有

改變求和(∑)與積分(∫)的順序(絕對收斂可以改變順序)，則有

利用Jacobi方程(2.2)，并做積分變量x→x-1于下述第二個積分中，有

(2.4)

定理得證。

盡管對Dirichlet級數函數有多種解析延拓方法和形式，但由于解析延拓唯一性定理，它們本質上是等價的。不同的解析延拓方式會有不同的方便之處，基于theta函數級數和Jacobi方程，將Dirichlet級數函數解析延拓為上述顯形式更方便。

至此，可以說，解析延拓后的Riemann ζ函數是整個復平面上除了簡單極點1(其留數為1)以外所有點上的解析函數。

現在，可以在復平面上考慮Riemann ζ函數的零點了。人們對其零點感興趣，是因為它們包含著素數的信息。然而，人們并非對Riemann ζ函數的所有零點都感興趣，所有實部在區(qū)間[0，1]外的平凡零點被列為RH陳述之外。

在討論其零點之前，先給出一個Riemann ζ函數的方程。注意到在A(s)中，把s與1-s作替換，等式成立。因此，有函數方程:

ξ(s)=ξ(1-s)。

(2.5)

記

(2.6)

3有關引理

為行文方便，給出以下引理[3，5]。

引理1設x是正實數，對多值對數函數只取其主枝，則

(3.1)

詳細的證明請參考文獻[5] 22頁定理1。前面的等價性證明可以由式(2.6)給出；后半部分的等價性由反射原理給出，因為這里在實數軸上函數取值為實數，故由Schwarz反射定理，得引理2。

引理3設t>0，則

(3.2)

證明：

現在可以探討Riemann ξ(s)函數的零點了。

4Riemann ξ(s)函數的零點

由式(2.6)，設s=σ+it為Riemann ξ(s)的零點：

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

由式(4.3)可得

又由引理2，-t亦滿足式(4.4)

(4.5)

所以有

即

由引理3和引理4得

5Riemann ξ(s)函數零點計算

由式(4.2),下面函數的零點即為Riemann ξ(s)函數零點的虛部值：

(5.1)

函數(5.1)包含了全部素數分布信息，素數分布性質可以通過研究該函數的零點分布得到。

參考文獻：

[1]盧昌海.黎曼猜想漫談[M].北京:清華大學出版社,2012.

[2]BORWEIN P,CHOI S,ROONEY B.The Riemann hypothesis:A resource for the afficionado and virtuoso alike[M].New York:Springer,2008.

[3]RIEMANN B.über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr?sse[M]//Gesammelte Mathematische Werke Und Wissenschaftlicher Nachlass.Berlin:Monats.Preuss,1859:671-680.

[4]李修賢.黎曼猜想與素數分布[D].濟南:山東大學,2012.[5]KARATSUBA A A,VORONIN S M.The Riemann zeta-function[M].Translated by KOBLITZ N.Berlin:Walter de Gruyter,1992.

[6]EDWARDS H M.Riemann’s zeta function[M].New York:Dover Publications,Inc.,1974.

[7]TITCHMARSH E C.The theory of the Riemann zeta-function[M].Oxford:Clarendon Press,1951.

[8]EVEREST G,WARD T.An introduction to number theory[M].New York:Springer,2005.

(責任編輯：呂文紅)

Properties of Jacobi Functional Equation and Zeros of Riemann ξ(s)Function

LIU Fasheng

(College of Transportation,Shandong University of Science and Technology,Qingdao,Shandong 266590,China)

Abstract:Using the properties of theta-series(Jacobi functional equation)and the Schwarz reflection principle,this paper presents an equation which meets the zeros of Riemann Zeta function and it is then deduced that all zeros are on the critical line where the real part is 1/2.Thus,all propositions equivalent to Riemann hypothesis and all conclusions with Riemann hypothesis as preconditions are true.

Key words:Riemann hypothesis(RH);Jacobi functional equation;reflection principle

收稿日期：2015-06-28

作者簡介：劉法勝(1957—)，男，山東臨朐人，教授，博士生導師，主要從事交通運輸規(guī)劃與管理方面的研究. E-mail：fashengliu@163.com

中圖分類號：O156.4

文獻標志碼：A

文章編號：1672-3767(2016)01-0097-05