基于數(shù)學(xué)知識(shí)分類的認(rèn)知工具設(shè)計(jì)原則

☆高鶴　馬玉慧（渤海大學(xué)，遼寧錦州　121000）

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基于數(shù)學(xué)知識(shí)分類的認(rèn)知工具設(shè)計(jì)原則

☆高鶴馬玉慧
（渤海大學(xué)，遼寧錦州121000）

摘要：在中小學(xué)教育中，數(shù)學(xué)作為一門不可或缺的課程，成為了教育教學(xué)改革中的重要關(guān)注點(diǎn)。課改要求數(shù)學(xué)教育作為促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展教育的重要組成部分，還要充分考慮學(xué)生發(fā)展和在學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出的個(gè)性差異，因材施教。目前課件等認(rèn)知工具盛行，但并不能針對(duì)學(xué)生的問題進(jìn)行制作，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)促進(jìn)作用并不大。文中將數(shù)學(xué)知識(shí)分為兩類：幾何-空間型數(shù)學(xué)知識(shí)和代數(shù)運(yùn)算型數(shù)學(xué)知識(shí)，針對(duì)兩類知識(shí)的學(xué)生學(xué)習(xí)心理和知識(shí)特點(diǎn)，進(jìn)行設(shè)計(jì)原則的制定，并通過對(duì)幾個(gè)數(shù)學(xué)認(rèn)知工具的設(shè)計(jì)分析和實(shí)驗(yàn)研究，發(fā)現(xiàn)制定的設(shè)計(jì)原則對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)有所幫助，以期為中小學(xué)數(shù)學(xué)教師和研究人員的后續(xù)工作提供一些幫助。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)知識(shí)分類；認(rèn)知工具；案例；設(shè)計(jì)原則

一、概念界定

本文研究的是狹義的認(rèn)知工具，即數(shù)學(xué)認(rèn)知工具，它是指基于計(jì)算機(jī)技術(shù)，能夠提高學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，支持?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)，幫助學(xué)習(xí)者減輕數(shù)學(xué)認(rèn)知負(fù)荷，提高數(shù)學(xué)思考能力、認(rèn)知能力和空間能力的認(rèn)知模式媒介。例如：概念圖、動(dòng)畫、視頻和課件等。

二、基于數(shù)學(xué)知識(shí)分類的認(rèn)知工具設(shè)計(jì)原則

常見的數(shù)學(xué)知識(shí)可以分為幾何-空間型數(shù)學(xué)知識(shí)和代數(shù)運(yùn)算型數(shù)學(xué)知識(shí)。

（一）幾何--空間型數(shù)學(xué)知識(shí)的設(shè)計(jì)原則

幾何-空間型數(shù)學(xué)知識(shí)具有空間性，又具有邏輯演繹的特點(diǎn)。學(xué)生可以通過利用直觀圖形、實(shí)際的操作和演示來(lái)加深印象，增添學(xué)習(xí)中的實(shí)驗(yàn)性。圖形的綜合性，可以將更多的特征信息或背景因素展現(xiàn)出來(lái)。

幾何-空間型知識(shí)常見的認(rèn)知障礙是，二維圖形只能展示某一點(diǎn)的特殊情況，或?qū)W生定勢(shì)于標(biāo)準(zhǔn)圖形，無(wú)法擺脫靜態(tài)圖形的限制；由二維靜態(tài)信息來(lái)呈現(xiàn)三維情境，或反過來(lái)，維度上的差異會(huì)導(dǎo)致視覺“失真”，起初學(xué)生理解起來(lái)比較困難，無(wú)法把孤立的成分整合成有序的意義結(jié)構(gòu)，無(wú)法理解圖形背后隱藏的幾何概念，只能注意到?jīng)]有聯(lián)系的事實(shí)；幾何語(yǔ)言與文字語(yǔ)言互譯不正確。

根據(jù)對(duì)上述特征和認(rèn)知障礙的分析，筆者針對(duì)知識(shí)特點(diǎn)和發(fā)現(xiàn)的問題，總結(jié)出如下設(shè)計(jì)原則。

1.視覺構(gòu)造——幫助二維平面與三維空間的轉(zhuǎn)化

空間能力，是許多學(xué)科學(xué)習(xí)中最重要的能力，如數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、科學(xué)等，有研究表明：人腦皮層中針對(duì)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知支持網(wǎng)絡(luò)，具有分布式的特點(diǎn)，這意味著數(shù)學(xué)的多重表征結(jié)構(gòu)得到人腦認(rèn)知支持。分布式認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)相較于其它具有精確語(yǔ)言表征的結(jié)構(gòu)，本身具有較強(qiáng)的進(jìn)化發(fā)展空間、更多的視覺空間特點(diǎn)[1]。學(xué)生在學(xué)習(xí)三維立體幾何數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，常常受到空間、材料和思維定勢(shì)的束縛，習(xí)慣于二維平面的感知，但對(duì)三維空間、透視等，缺乏將二維平面轉(zhuǎn)化成三維立體的意識(shí)，保持和遷移能力很低。

隨著多媒體技術(shù)的迅速發(fā)展，三維技術(shù)已經(jīng)被引入教育，幫助提高空間能力的學(xué)習(xí)。很多研究證明，多媒體技術(shù)，如果設(shè)計(jì)合理則可以提高學(xué)生的表現(xiàn)。近年來(lái)，許多多媒體技術(shù)與三維動(dòng)畫或軟件系統(tǒng)的應(yīng)用也已被證明可以有效提高學(xué)生的空間能力。

所以，在設(shè)計(jì)此類認(rèn)知工具的時(shí)候，要將原本需要學(xué)生進(jìn)行大容量認(rèn)知負(fù)荷的思維抽象轉(zhuǎn)化為空間動(dòng)態(tài)，化二維抽象為三維動(dòng)畫，有利于學(xué)生加強(qiáng)平面幾何與立體幾何的學(xué)習(xí)。

這個(gè)案例中的數(shù)學(xué)認(rèn)知工具，是一個(gè)多媒體學(xué)習(xí)環(huán)境下的學(xué)習(xí)系統(tǒng)，目的是為了提高學(xué)生的空間能力。在這個(gè)系統(tǒng)中，可以用動(dòng)畫模擬二維圖形折疊成立方體的形狀，或立方體擴(kuò)展成二維圖形等。在學(xué)習(xí)的過程中，提出一個(gè)折疊或展開的問題，然后讓學(xué)生思考并提交答案，此時(shí)系統(tǒng)會(huì)給出答案“真”或“假”[2]，根據(jù)學(xué)生對(duì)這個(gè)問題的答案提供一些線索（即“思考為什么這個(gè)二維圖不能被折疊成一個(gè)立方體，以及如何改變現(xiàn)有這種展開圖形的形狀的擺放被折疊成立方體”），如果學(xué)生按下“折疊”按鈕，提示動(dòng)畫將被播放。這些動(dòng)畫可以用三維動(dòng)畫軟件制作完成，模擬二維圖形如何折疊的立方體的過程，或是不能折疊成的過程。動(dòng)畫與提示的模型（如圖1）。

此案例通過在實(shí)驗(yàn)室中分組前后測(cè)的實(shí)驗(yàn)證得，三維動(dòng)畫確實(shí)是提高學(xué)生的空間能力的有效方法。而且，此案例中的三維動(dòng)畫也有利于提高學(xué)生有關(guān)二維圖形和三維圖形之間轉(zhuǎn)換的空間想象能力。在進(jìn)行如上空間體折疊的認(rèn)知工具設(shè)計(jì)中，還可以利用Flash制作成為交互性更強(qiáng)的版本，在現(xiàn)有功能的基礎(chǔ)上可以通過加入簡(jiǎn)單的腳本語(yǔ)言，如鼠標(biāo)點(diǎn)擊左鍵進(jìn)行折疊，通過點(diǎn)擊右鍵進(jìn)行展開，讓學(xué)生實(shí)時(shí)看見折疊或展開的動(dòng)態(tài)。

2.圖形分割——化思維抽象為動(dòng)態(tài)變化

杜瓦爾將兒童的幾何理解水平分為4類：知覺性理解、構(gòu)圖性的理解、論述性理解和操作性理解。其中，操作性理解是當(dāng)學(xué)生觀察一個(gè)圖形時(shí)，可以通過操作圖形來(lái)得到靈感，而在以不同方式（平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等）改變圖形之后，得到操作性理解，這些操作使得圖形具有啟發(fā)性的功能。杜瓦爾還強(qiáng)調(diào)，任何一個(gè)圖形都是由幾個(gè)基本的圖形單元所組成的，其中的一些子結(jié)構(gòu)（或者一些基本完形）是解決問題的關(guān)鍵，因此，解決幾何空間類的題，關(guān)鍵就在于利用視覺技能把那些關(guān)鍵的子結(jié)構(gòu)分割區(qū)分出來(lái)[3]。所以在對(duì)認(rèn)知工具進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)將大圖形中的小圖形逐一分割，然后通過不同方式（平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等）將圖形改變之后，發(fā)現(xiàn)圖形各個(gè)部分之間的關(guān)系，最終得到答案。

例如：圖2中，題目是“在RT△ABC中，∠A=50°，點(diǎn)D在斜邊AB上，如果△ABC經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后與△EBD重合，那么這一旋轉(zhuǎn)中心是哪個(gè)點(diǎn)？旋轉(zhuǎn)角是多少？”。設(shè)計(jì)圖形中包括兩個(gè)三角形——△ABC和△EBD，將這個(gè)圖形中的兩個(gè)三角形拆成出來(lái)，然后經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和平移，得到結(jié)論。學(xué)生可以通過拖動(dòng)右側(cè)拉桿條上的點(diǎn)調(diào)節(jié)旋轉(zhuǎn)△ABC，在拉桿條上會(huì)顯示旋轉(zhuǎn)的角度。

圖2　圖形分割原則設(shè)計(jì)示意圖

（二）代數(shù)--運(yùn)算型數(shù)學(xué)知識(shí)的設(shè)計(jì)原則

代數(shù)-運(yùn)算型數(shù)學(xué)知識(shí)的特點(diǎn)是，具有典型的操作性和潛在的運(yùn)算過程，其形式化也往往具有直觀啟發(fā)性。代數(shù)其實(shí)是省略了對(duì)象和運(yùn)算的實(shí)際情境，去掉實(shí)際語(yǔ)言帶有的差別，使其一般化，但也可能使學(xué)生無(wú)法理解符號(hào)的含義。在進(jìn)行這類知識(shí)的分析時(shí)，應(yīng)先用簡(jiǎn)要的形式表述問題（畫圖表等），試圖簡(jiǎn)化問題（考慮對(duì)稱性、固定一些變量、特殊情況等），然后選擇觀點(diǎn)、重點(diǎn)的性質(zhì)法則。在純粹的代數(shù)題（代數(shù)式的表示、賦值與變形、解方程、不等式的解或證明、函數(shù)的表示即函數(shù)性質(zhì)的研究、數(shù)列及遞推關(guān)系的討論等）方面，等價(jià)關(guān)系是基礎(chǔ)。在代數(shù)應(yīng)用題方面，問題表述的文字轉(zhuǎn)化極為重要，自然語(yǔ)言的句法結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)表達(dá)式的代數(shù)結(jié)構(gòu)是有差異的。此外，還要注意處理問題的方法，要將問題與代數(shù)系統(tǒng)建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，并將問題中的操作或關(guān)系以代數(shù)系統(tǒng)中的運(yùn)算呈現(xiàn)。

大多數(shù)學(xué)生將代數(shù)運(yùn)算看作一種程序規(guī)則，而非一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，有些缺乏形式思維理解能力的學(xué)生在將文字題轉(zhuǎn)化成代數(shù)時(shí)存在問題，比如：認(rèn)為題意中的文字信息都應(yīng)被使用，這是學(xué)生在建構(gòu)語(yǔ)意網(wǎng)絡(luò)時(shí)的障礙。根據(jù)對(duì)上述特征和認(rèn)知障礙的分析，針對(duì)知識(shí)特點(diǎn)和發(fā)現(xiàn)的問題，筆者總結(jié)出如下設(shè)計(jì)原則。

1.圖解文字信息——加強(qiáng)形式思維理解

心理學(xué)表明，用不同的方法重新敘述，可以啟發(fā)解題思路，具有啟發(fā)功能。圖解代數(shù)題中的文字信息，可以使學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)代數(shù)運(yùn)算類的知識(shí)時(shí)，更有效地進(jìn)行數(shù)量分析，也可以使題意理解更加清晰，有效消除學(xué)生在對(duì)文字題語(yǔ)意轉(zhuǎn)化的障礙。

圖解法包括線段圖解法、圖形圖解法以及表格圖解法。即將問題用適當(dāng)?shù)姆椒ㄖ匦卤碚鞒鰜?lái)，消除掉自然語(yǔ)言的句法結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)表達(dá)式的代數(shù)結(jié)構(gòu)式之間的差異，加強(qiáng)形式思維、邏輯思維的理解[4]。如圖3是一個(gè)來(lái)自臺(tái)灣的計(jì)算應(yīng)用題設(shè)計(jì)示意圖，題目是“臺(tái)灣高速鐵路有臺(tái)北到高雄（左營(yíng)）全長(zhǎng)約345公里；沿途經(jīng)過14個(gè)縣市及77個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)市，從臺(tái)北到高雄的左營(yíng)站，沿途一共有板橋、桃園、新竹、臺(tái)中、嘉義、臺(tái)南等6個(gè)?？空尽Ｕ?qǐng)你算一下，如果小明在臺(tái)中站進(jìn)站，想購(gòu)票上車，應(yīng)該會(huì)有幾種不同的單車車票可以購(gòu)買？”對(duì)于這類題，教師可以按照題意，用線段圖解法將文字信息重新表征，并將重點(diǎn)突出，促進(jìn)思維形成。

圖3　臺(tái)灣計(jì)算應(yīng)用題設(shè)計(jì)示意圖

2.軌跡跟蹤、結(jié)論驗(yàn)證

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，驗(yàn)證是數(shù)學(xué)思維的主要內(nèi)容之一，數(shù)學(xué)驗(yàn)證可以激發(fā)學(xué)習(xí)者的創(chuàng)造能力，數(shù)學(xué)驗(yàn)證也是一種學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)的過程?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)，在教學(xué)時(shí)要讓“學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)”，所以，驗(yàn)證也是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求。教師應(yīng)有目的地創(chuàng)設(shè)探究性的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生有充分驗(yàn)證的空間[5]，這就需要在認(rèn)知工具的設(shè)計(jì)中，盡量給學(xué)生呈現(xiàn)多樣化、功能齊備、操作簡(jiǎn)易的軟件平臺(tái)，學(xué)習(xí)者就可以在平臺(tái)上進(jìn)行簡(jiǎn)單的操作，或開發(fā)有用的功能，通過軌跡跟蹤或內(nèi)部參數(shù)公式等方法，得出結(jié)論，免去學(xué)生生搬硬套之難，不再把運(yùn)算當(dāng)作程序，而是一個(gè)對(duì)象。

如圖4中，學(xué)生可以自行在軟件中輸入想要的公式，生成函數(shù)圖形，開發(fā)其斜率計(jì)算跟蹤功能，學(xué)習(xí)者自己通過拖拽等方式改變函數(shù)切線切點(diǎn)位置，軟件動(dòng)態(tài)顯示斜率變化，并跟蹤顯示斜率數(shù)值變化線段。學(xué)生可以驗(yàn)證結(jié)果，并為下一階段學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

圖4　軌跡跟蹤、結(jié)論驗(yàn)證設(shè)計(jì)原則示意圖

在解題或考試的過程中，很多題目可能需要學(xué)生綜合運(yùn)用幾類知識(shí)進(jìn)行作答，所以，教師在進(jìn)行認(rèn)知工具的設(shè)計(jì)時(shí)，也要全面考慮多種類型的設(shè)計(jì)原則，將各類設(shè)計(jì)原則巧妙結(jié)合，達(dá)到促進(jìn)學(xué)生思維，提高學(xué)習(xí)效率的效果。

三、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與結(jié)果分析

通過上述分析與設(shè)計(jì)原則，筆者對(duì)初高中數(shù)學(xué)教材進(jìn)行了試驗(yàn)開發(fā)。這里節(jié)選出部分內(nèi)容——主要以北師大版八年級(jí)《數(shù)學(xué)》下冊(cè)進(jìn)行展示。這部分涉及的主要內(nèi)容分為：三角形、四邊形的性質(zhì)；圖形的平移和旋轉(zhuǎn)；一元一次不等式方程；分式基本意義及解分式方程等。設(shè)計(jì)過程中，筆者邀請(qǐng)一線教師——鐵嶺市支教數(shù)學(xué)教師張宏家給予指導(dǎo)。經(jīng)過張老師的分析，學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，有以下需求：（1）圖形的平移和旋轉(zhuǎn)是難點(diǎn)，書上語(yǔ)言晦澀，學(xué)生學(xué)起來(lái)有困難，希望相關(guān)內(nèi)容可以更加充分；（2）不知道書上的一些術(shù)語(yǔ)，希望給予解釋；（3）習(xí)題有點(diǎn)少，希望多一些測(cè)試；（4）自制力比較好的學(xué)生希望多一些拓展學(xué)習(xí)。

根據(jù)前期樣本對(duì)象和內(nèi)容的分析，筆者制定了詳細(xì)的交互支持開發(fā)方法，并進(jìn)行了數(shù)學(xué)認(rèn)知工具的開發(fā)。本次中學(xué)數(shù)學(xué)認(rèn)知工具的設(shè)計(jì)與開發(fā)主要基于Windows系統(tǒng)進(jìn)行，主要采用GeoGebra數(shù)學(xué)開發(fā)工具，GeoGebra需在Java環(huán)境下運(yùn)行，因此，在安裝GeoGebra前，先要在計(jì)算機(jī)中安裝Java虛擬機(jī)。GeoGebra的功能齊全，其特點(diǎn)是可以跨平臺(tái)，簡(jiǎn)單易操作，界面友好，具有較強(qiáng)的交互性，不僅包含了幾何、代數(shù)、表格和圖形，還具備符號(hào)計(jì)算、微積分、統(tǒng)計(jì)等功能。此外，GeoGebra也是非常好的繪圖工具。

筆者對(duì)兩類知識(shí)分別進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，在教育水平較為不錯(cuò)的遼寧省本溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)進(jìn)行。在實(shí)施過程中，進(jìn)行的是隨機(jī)化實(shí)驗(yàn)組、控制組前后測(cè)設(shè)計(jì)，然后對(duì)兩對(duì)實(shí)驗(yàn)組和控制組進(jìn)行兩次獨(dú)立樣本T檢驗(yàn)，由數(shù)據(jù)得到：在幾何組中F=1.866，顯著性概率Sig.=0.176，遠(yuǎn)大于0.05，證明兩組學(xué)生前測(cè)成績(jī)無(wú)顯著區(qū)別，可以推斷幾何-空間型知識(shí)的實(shí)驗(yàn)組和控制組學(xué)生水平無(wú)顯著差異；在代數(shù)組中F=1.332，顯著性概率Sig.=0.252，遠(yuǎn)大于0.05，即推測(cè)兩組學(xué)生前測(cè)成績(jī)無(wú)顯著區(qū)別，可以斷定代數(shù)-運(yùn)算型知識(shí)的實(shí)驗(yàn)組和控制組學(xué)生水平無(wú)顯著差異。

在對(duì)兩地進(jìn)行過T檢驗(yàn)后，可以排除前期學(xué)習(xí)能力的干擾，對(duì)實(shí)驗(yàn)的后測(cè)結(jié)果進(jìn)行單因素方差分析，結(jié)果如下：對(duì)幾何組單因素ANOVA分析結(jié)果顯示，方差齊性檢驗(yàn)值為0.518，檢驗(yàn)結(jié)果的相伴概率P值相對(duì)應(yīng)于Sig.=0.474，顯著水平α設(shè)為0.05，滿足單因素方差中方差相等的要求；在ANOVA差異分析中，假設(shè)在學(xué)習(xí)中有無(wú)認(rèn)知工具的支持對(duì)學(xué)生后測(cè)成績(jī)影響沒有差異，而得到的F=14.930，相應(yīng)的概率P值Sig.=0.000，應(yīng)否定原假設(shè)，認(rèn)為有無(wú)認(rèn)知工具的支持對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的后測(cè)成績(jī)有顯著影響。

在對(duì)代數(shù)組的單因素ANOVA分析結(jié)果顯示，方差齊性檢驗(yàn)值為3.622，檢驗(yàn)結(jié)果的相伴概率P值相對(duì)應(yīng)于Sig.=0.061，顯著水平α設(shè)為0.05，基本滿足單因素方差中方差相等的要求；在ANOVA差異分析中，假設(shè)在學(xué)習(xí)中有無(wú)認(rèn)知工具的支持對(duì)學(xué)生后測(cè)成績(jī)影響沒有差異，而得到的F=12.045，相應(yīng)的概率P值Sig.=0.001，應(yīng)否定原假設(shè)，推測(cè)有無(wú)認(rèn)知工具的支持對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的后測(cè)成績(jī)有顯著影響。

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[編輯：鄭方林；實(shí)習(xí)編輯：龐潔]

中圖分類號(hào)：G434

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1671-7503（2016）07-0033-03