例說數(shù)學(xué)解題后的反思

盧瓊

【摘 要】闡述在數(shù)學(xué)解題后進行反思的方法，即反思問題的多種解法和一法多用，對問題進行推廣變形，探究解決問題的一般化，以提高學(xué)生的思維品質(zhì)和解題能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué) 解題 反思

【中圖分類號】G 【文獻標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2016）04B-0116-02

數(shù)學(xué)少不了解題，而相當(dāng)一部分同學(xué)是為了解題而解題，所以一旦題目獲解則心滿意足，且又將目光又轉(zhuǎn)入下一題，忽略了解題后的反思這一重要環(huán)節(jié)，從而在做題上很難使自己的認(rèn)識得到提高，沒有在解題中收獲最大化。本文通過一道例題，說明解題后我們應(yīng)該怎么反思，才能使學(xué)生的解題能力有更大的提高。

〖例〗已知數(shù)列 {an} 滿足 a1=1，an+1=2an+1，求 a2 ，a3 ，a4，并猜想 {an} 的通項，再用數(shù)學(xué)歸納法證明。

〖解法1〗由 a1=1，an+1=2an+1 得

a2=2a1+1=3，a3=2a2+1=7，a4=2a3+1=15

故猜想 an=2n-1

證明（略）

一、通過反思以求得一題多解的方法

在數(shù)學(xué)中一道題目往往有多種解法，而且不同的解法會有不同的思路，在做題中適當(dāng)?shù)剡M行一題多解的反思會更好地開闊我們的視野，也能更使我們?nèi)跁R，貫通思想。一題多解一般來說就是從不同的角度，用不同的思路、方法和運算過程去分析、解答同一道數(shù)學(xué)題。通過一題多解，一方面可以防止學(xué)生因馬虎、粗心造成解題的錯誤，從而提高解題的質(zhì)量；另一方面，可以提高學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)和發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性。

（一）反思題目的結(jié)論，獲得新的解法

從這個解法中，我們知道，數(shù)學(xué)解題方法是多樣的，從不同的角度采用不同的解法得到相同的結(jié)果，讓我們知道殊路同歸的道理。

二、通過反思，完善數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)是一門邏輯性強的學(xué)科，知識之間有著緊密的聯(lián)系，通過題后反思，能將所學(xué)知識連結(jié)起來，把所學(xué)到的知識在其數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中建立起相對完善的知識體系，從而使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)更加完善。

（一）反思題目的變式，達(dá)到以例帶類

所謂“變式”，就是對題目進行合理轉(zhuǎn)化，讓命題的思想更好地顯露出來。在進行“變式”的過程中不斷更換命題中的非本質(zhì)特征，如變換問題中的條件或結(jié)論，轉(zhuǎn)換題目中問題和形式，使學(xué)生從“變”中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，從而學(xué)會融會貫通，并從無窮的變化中領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力，體會數(shù)學(xué)的樂趣。

如在本題所給的遞推關(guān)系an=2an-1+1中，有兩個常量，即 an-1 的系數(shù) 2 和常數(shù) 1，由此可以反思：（1）當(dāng)這兩個常量改變時，以上的方法是否還能用？（2）從特殊到一般，如果將所給的遞推關(guān)系化為一般式 an+1=qan+p（p，q都是常數(shù)），那么將會有什么結(jié)論？

這種反思，對培養(yǎng)思維的概括性有著重要的作用，達(dá)到解一題會一類，以少勝多的目的。

（二）反思解題過程中的知識與思想方法

數(shù)學(xué)思想方法和一些思維策略總是蘊含于學(xué)習(xí)活動之中的，學(xué)生獲得數(shù)學(xué)思想方法的途徑總的來說有兩種，一是來自教師有意識的滲透和訓(xùn)練；二是來自學(xué)生自己在解題反思過程中的領(lǐng)悟。在解題后的“反思”過程中，通過反思與整合，把相關(guān)知識和方法提煉出來而形成的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生才會有更深的體會，也更易于接受。也就是說，學(xué)生在反思過程中，反思自己是怎樣發(fā)現(xiàn)和解決問題的，是如何找到突破口的，運用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，其中又走過了哪些彎路，有哪些容易發(fā)生（或發(fā)生過）的錯誤，原因何在，該記住哪些經(jīng)驗教訓(xùn)等。在反思中認(rèn)識和掌握數(shù)學(xué)思想方法，并用這種方法來指導(dǎo)自己進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與探究，從而對數(shù)學(xué)的理解實現(xiàn)由量變到質(zhì)變的飛躍。

從解法 1 中我們應(yīng)用到了歸納—猜想—證明的方法，這是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。而在解法 2 中，從結(jié)論入手將所求數(shù)列通過轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列來求，又體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想的作用，實現(xiàn)了非特殊數(shù)列與特殊數(shù)列的相互轉(zhuǎn)化。解法3從條件入手，利用遞推關(guān)系將所求數(shù)列的通項轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和來求，挖掘了條件的內(nèi)在聯(lián)系，把具體思維對象的本質(zhì)屬性提煉出來。

這樣通過反思讓學(xué)生把新舊知識連接起來，促使知識的同化和遷移 。同時幫助學(xué)生建立科學(xué)的知識結(jié)構(gòu)和體系。為了達(dá)到這樣的教學(xué)目的，教師要給予學(xué)生比較充足的時間，讓學(xué)生有時間來對自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維進行反思。當(dāng)然給學(xué)生時間還不夠，還要教會學(xué)生如何反思，要訓(xùn)練學(xué)生養(yǎng)成反思的習(xí)慣。當(dāng)學(xué)生自己學(xué)會主動去反思，養(yǎng)成總結(jié)解決問題的方法、技巧和經(jīng)驗教訓(xùn)，并從中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，提高思維層次，激發(fā)智力，挖掘潛能，在學(xué)習(xí)中學(xué)會舉一反三，在做題中不斷地提高探究能力，從題海中走出來，輕松地學(xué)好數(shù)學(xué)。

【參考文獻】

[1]熊川武.反思性教學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，1999

[2]徐永忠.剖析錯因，反思教學(xué)[J].數(shù)學(xué)通報，2003（10）

[3]龍朝.數(shù)學(xué)中“悟”的教學(xué)策略探索[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2003（5）

[4]杜偉煌.培養(yǎng)解題后的反思習(xí)慣，優(yōu)化學(xué)生良好的思維品質(zhì)[J].世界教育信息·教育科研，2008（6）

（責(zé)編 盧建龍）