兩層和多層結(jié)構(gòu)中鹽指現(xiàn)象的數(shù)值模擬

李文婷， 李永放

(陜西師范大學(xué) 物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院， 陜西 西安 710119)

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兩層和多層結(jié)構(gòu)中鹽指現(xiàn)象的數(shù)值模擬

李文婷， 李永放*

(陜西師范大學(xué) 物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院， 陜西 西安 710119)

摘要：采用COMSOL有限元數(shù)值模擬的方法，研究了兩層各自均勻溶液模型中不同參數(shù)對鹽指現(xiàn)象的影響。結(jié)果表明，系統(tǒng)的熱瑞利數(shù)RT、鹽瑞利數(shù)RS、初始密度穩(wěn)定率Rρ0均影響界面處產(chǎn)生的鹽指現(xiàn)象。當(dāng)RT、Rρ0增加時，鹽指增長的速度會變慢，鹽指的數(shù)量增多；當(dāng)RS增加而Rρ0減小時，鹽指增長的速度變快，鹽指的數(shù)量增多；并且在RS增大到某一值(或Rρ0減小到某一值)時，鹽指的性質(zhì)會發(fā)生突變。進一步提出并研究了多層溶液結(jié)構(gòu)模型中的鹽指現(xiàn)象，結(jié)果表明相鄰界面之間的相互作用對鹽指的產(chǎn)生及形狀有著重要的影響。

關(guān)鍵詞:鹽指； 雙擴散； 有限元法； 數(shù)值模擬

鹽指現(xiàn)象是指熱且多鹽的水層位于冷且低鹽的水層之上時，在界面處發(fā)生鹽度較大的水向下呈指狀分布的現(xiàn)象[1]。發(fā)生在海洋系統(tǒng)中密度躍層的鹽指被認為是熱量和鹽度在垂直和水平方向混合分布的重要作用機制。早在1967年Elder等人就對海洋中的這一現(xiàn)象進行了研究[2]。在大氣系統(tǒng)中，由于空氣同樣存在密度梯度，因此形成的對流與海水中的對流有相似的現(xiàn)象[3]，人們利用這方面的研究制造了紋影攝影設(shè)備，該技術(shù)在軍事領(lǐng)域得到了應(yīng)用[4]。此外，人們還發(fā)現(xiàn)在低質(zhì)量恒星以及星體內(nèi)部的巖漿中因熱對流等原因產(chǎn)生的鹽指現(xiàn)象，并對其進行了研究[5-7]。

在20世紀60年代中期，人們第一次在實驗室觀察到了鹽指現(xiàn)象，之后研究了鹽指的各種特性和產(chǎn)生機制[8-10]。但由于熱擴散的迅速性以及當(dāng)時的觀測儀器精確度的制約，有關(guān)這一現(xiàn)象的產(chǎn)生機制在當(dāng)時還不能被確定。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，在20世紀80年代后，人們開始利用計算機對鹽指現(xiàn)象進行了一系列的數(shù)值模擬，來探究這一現(xiàn)象的作用機理[11-17]。

數(shù)值模擬是研究鹽指現(xiàn)象的普遍方法，之前的研究大都是在某一確定參數(shù)(如瑞利數(shù)等)下對鹽指形態(tài)隨時間的演化研究，這涉及鹽指從產(chǎn)生到消失的整個過程。為了更深入研究鹽指產(chǎn)生的機理，我們忽略水平對流等作用對鹽指的影響，集中研究鹽指的產(chǎn)生和生長這兩個相位階段，分析兩層和多層結(jié)構(gòu)中鹽指形成速度、數(shù)目(寬度)與瑞利數(shù)RT、RS和初始密度穩(wěn)定率Rρ0這些無量綱參數(shù)的關(guān)系，旨在獲得鹽指現(xiàn)象的普遍性規(guī)律。

1 模型與方法

1.1模型簡介

1.2方程與參數(shù)

如圖1所示，定義水平向右的方向為x軸正方向，與水平方向垂直的豎直向上方向為y軸。則二維結(jié)構(gòu)的鹽指數(shù)值模擬方程就可以表達為如下三個方程

(1)

(2)

(3)

1.3模擬方法及COMSOL設(shè)置

COMSOL Multiphysics是以有限元法為基礎(chǔ)的多物理場建模與分析的數(shù)值模擬仿真軟件。其優(yōu)勢是可以設(shè)置多個物理場，通過耦合參數(shù)模擬復(fù)雜的物理環(huán)境。對于單場問題，通過求解偏微分方程，而對于多場問題，需通過求解偏微分方程組。模擬的一般步驟見圖2。

由于該研究的過程涉及流體流動、熱傳導(dǎo)、鹽擴散3個物理過程，分別對應(yīng)3個偏微分方程。所以在模擬中，設(shè)置了3個物理場：(1) 用不可壓縮的Navier-Stokes場來模擬流體流動，計算流體場各點的速度u、v。將渦量方程與模型場的默認方程進行對比，將差異項用體積力的方式修正，所以在不可壓縮的Navier-Stokes場設(shè)置中，除了一般設(shè)置外我們加入了y方向的體積力，即

Fy=αgρTΔT-βgρSΔS。

(4)

其中ρ代表水的密度，通過溫度場參數(shù)T和鹽度場參數(shù)S實現(xiàn)了三個場的耦合。(2) 用對流與傳導(dǎo)場來模擬熱量的傳遞，計算溫度場各點的溫度T。(3) 用對流與傳導(dǎo)場來模擬鹽度的擴散，計算鹽度場各點的鹽度S。

2 鹽指現(xiàn)象及其形成機理

2.1鹽指現(xiàn)象的定義

為了研究簡單鹽指現(xiàn)象的形成，設(shè)下層溶液的溫度Tb=273.15 K，鹽度Sb=0.015 g/kg(除特殊說明外，后文中的Tb、Sb均不變)，上下層溫度差ΔT=0.15 K，鹽度差ΔS=0.03 g/kg，熱瑞利數(shù)RT=7.09×106, 鹽瑞利數(shù)RS=5.32×106,初始密度穩(wěn)定率Rρ0=1.33。在此情況下，上層的溶液溫度高、鹽度高，下層的溶液溫度低、鹽度低。經(jīng)過4 000 s之后，其溫度和鹽度的分布圖如圖3所示。只有在鹽度的分布圖中，可以明顯觀察到上下兩層溶液以手指狀的圖案相互擴散的現(xiàn)象，而溫度圖中并沒有出現(xiàn)這種瘦長的手指圖案。可以看出當(dāng)熱的溶液處在上層時，雙擴散中的熱量擴散是線性的傳遞過程，而在溫度圖的同一水平位置的不均勻分布即圖中的波動，是由于鹽度的擴散所引起的擾動。因此，我們所說的鹽指是指鹽度在溶液中的指狀分布，面的討論中，除了特殊說明外，我們都用鹽度分布圖來討論鹽指現(xiàn)象。

2.2鹽指現(xiàn)象的過程

上面產(chǎn)生鹽指的模擬中，我們假設(shè)上層是熱的鹽度高的溶液，而下層則是冷的鹽度低的溶液，也就是說，上下兩層溶液同時存在著溫度差和鹽度差。為了理解鹽指產(chǎn)生的過程以及機理，分別采用下面4組參數(shù)設(shè)置：(a)ΔT=0.15 K，ΔS=0 g/kg；(b)ΔT=0 K，ΔS=0.03 g/kg；(c)ΔT=-0.15 K，ΔS=0 g/kg；(d)ΔT=0 K，ΔS=- 0.03 g/kg；其中的負號表示上層的溫度或鹽度比下層低。計算結(jié)果如圖4所示，其中圖4a、c為溫度分布圖，圖4b、d為鹽度分布圖。

對于圖4a和c而言，兩層都沒有鹽度差，溫度差符號相反。圖4a在t=4 000 s時得到的只是簡單均勻的熱擴散現(xiàn)象，而圖4c在t=300 s時候出現(xiàn)了相互擴散的指狀圖案，這是由于圖4a中初始狀態(tài)熱溶液已經(jīng)位于上層時，便沒有了因為阿基米德力引起的對流，因而只存在簡單的熱傳遞現(xiàn)象；而圖4c中初始狀態(tài)熱的溶液位于下層，熱的溶液受到阿基米德力的作用，有向上運動的趨勢，一旦有一個位置出現(xiàn)了向上的微小對流，便會被放大，而緊鄰的旁邊位置，冷的溶液便會出現(xiàn)下沉，從而形成了上下層溶液相互交替分布的指狀圖案的現(xiàn)象。對于圖4b

和d而言，上下層間都沒有溫度差，鹽度差符號相反。圖4b在t=1 000 s時就形成了明顯的鹽指現(xiàn)象，而圖4d在t=4 000 s時只在分界面附近有微小的均勻擴散現(xiàn)象。這是由于鹽度較大的溶液在重力場的作用下，會出現(xiàn)向下流動的趨勢。所以鹽度高的溶液處在上層的圖4b出現(xiàn)了指狀分布的現(xiàn)象，而鹽度高的溶液處在下層的圖4d則只是簡單的分子擴散現(xiàn)象。同樣是簡單擴散，因為溫度擴散系數(shù)κT比鹽度擴散系數(shù)κS大，所以同樣的時間，圖4a的擴散要比圖4d的擴散明顯。并且圖4b和c出現(xiàn)明顯的指狀擴散圖案的時間都要比圖3中的結(jié)果短很多。

由于阿基米德力和重力的作用，熱的溶液有向上流動的趨勢，而鹽度高的溶液有向下流動的趨勢。當(dāng)上層的溶液溫度和鹽度都高于下層的溶液時，向上流動和向下流動的趨勢同時存在于上下層的交界面處，這樣兩種趨勢博弈的結(jié)果，進而產(chǎn)生了鹽指現(xiàn)象。

3參數(shù)對兩層結(jié)構(gòu)中鹽指現(xiàn)象的影響

當(dāng)ΔT=0.05 K，ΔS=0.03 g/kg，此時系統(tǒng)熱瑞利數(shù)RT=2.36×106，鹽瑞利數(shù)RS=5.32×106，初始密度穩(wěn)定率Rρ0=0.44(圖5a)時，到了t=3 000 s出現(xiàn)了明顯的鹽指圖案，在模擬區(qū)域范圍內(nèi)指狀的擴散圖案中的鹽指數(shù)目比較少；而當(dāng)ΔT=0.75 K，ΔS=0.075 g/kg，此時系統(tǒng)熱瑞利數(shù)RT=3.54×107、鹽瑞利數(shù)RS=1.33×107、初始密度穩(wěn)定率Rρ0=2.67(圖5b)時，在t=1 350 s時就出現(xiàn)了明顯的鹽指圖案，且指狀擴散圖案中的鹽指數(shù)量很大；所以，在不同瑞利數(shù)和初始密度穩(wěn)定率下，鹽指圖案的差異主要在于形成明顯鹽指的時間和形成的指狀擴散圖案的鹽指數(shù)量(或鹽指的寬度)。為了進一步研究熱瑞利數(shù)、鹽瑞利數(shù)及初始密度穩(wěn)定率對于鹽指現(xiàn)象的具體影響，分別模擬了鹽瑞利數(shù)不變、熱瑞利數(shù)變化時以及熱瑞利數(shù)不變、鹽瑞利數(shù)變化時的鹽指現(xiàn)象。進而研究參數(shù)對鹽指的增長速度和指狀擴散圖案中鹽指數(shù)量的影響。

3.1熱瑞利數(shù)對鹽指現(xiàn)象的影響

為了得到統(tǒng)一的結(jié)果，我們規(guī)定形成明顯鹽指的標(biāo)志為鹽指的平均高度達到標(biāo)準(zhǔn)長度(標(biāo)準(zhǔn)長度在每幅圖中以黑色線條標(biāo)出)，鹽指數(shù)量n指向上和向下擴散形成的鹽指總個數(shù)，其最小計數(shù)單位為0.5。邊界處出現(xiàn)長度達到標(biāo)準(zhǔn)長度，但寬度為中間鹽指寬度一半的鹽指記作0.5個，其余正常計數(shù)。用tc表示明顯鹽指出現(xiàn)的時間。

固定RS=5.32×106(ΔS=0.03 g/kg)，變化RT(ΔT從0.150 K到0.525 K，每間隔0.075 K)選取共6組數(shù)值，計算明顯鹽指圖案的形成時間以及鹽度分布圖，結(jié)果如圖6所示，并通過前面的規(guī)定將結(jié)果整理成表2。圖6中a—f分別對應(yīng)RT=7.09×106、1.06×107、1.42×107、1.77×107、2.13×107以及2.48×107的情況?？梢钥闯?，隨著溫度差的增大，tc快速增加，n緩慢增加，且都大致線性增加。

tc的增大意味著鹽指形成得更為緩慢，鹽指的增長速度更小。從2.2的討論中可以知道，熱的溶液向上流動的趨勢會阻礙重的鹽水向下流動。所以當(dāng)RT增加時，熱效應(yīng)對于鹽度擴散的阻礙作用會更強，相應(yīng)的鹽指形成自然也會變慢；同時，由于鹽指達到標(biāo)準(zhǔn)長度的時間較長，使得兩層溶液交界面處出現(xiàn)了更多的微小擾動，進而被放大出現(xiàn)更多數(shù)目的鹽指，鹽指的寬度更小。

3.2鹽瑞利數(shù)對鹽指現(xiàn)象的影響

固定RT=1.42×107(ΔT=0. 3 K)，變化RS(ΔS從0.035 g/kg到0.060 g/kg，每間隔0.015 g/kg)選取共6組數(shù)值，同樣地計算了明顯鹽指圖案的形成時間以及鹽度分布圖，結(jié)果如圖7所示。在圖7中，由于每一幅圖中上下層的鹽度差并不相同，為了方便比較，將每一幅圖鹽度標(biāo)尺的最大值St設(shè)為St=(Tb+ΔS+ 0.015)g/kg。圖7中a—f分別對應(yīng)RS=6.20×106、7.09×106、7.97×106、8.86×106、9.75×106以及1.06×107的情況。相應(yīng)的St為0.065、0.070、0.075、0.080、0.085以及0.090 g/kg。同樣將結(jié)果整理成表3。

從結(jié)果可以看到，當(dāng)系統(tǒng)熱瑞利數(shù)恒定，鹽瑞利數(shù)增大時，產(chǎn)生的鹽指數(shù)量逐漸增多，但產(chǎn)生明顯鹽指的時間越來越短。而且盡管產(chǎn)生鹽指的數(shù)量也在增多，但增加的速度卻不一樣。在表3中，鹽指的數(shù)量基本上是線性增加，而該結(jié)果中，鹽指的數(shù)量在開始階段并不增加，RS=8.86×106之后才急速增加。從鹽度圖中可以看得更明顯，雖然表2和表3中最后一個結(jié)果的鹽指數(shù)量相同，但從圖7中的后幾幅圖看，鹽指的數(shù)量增加得很快。

與熱瑞利數(shù)不同，在鹽瑞利數(shù)增大的過程中我們看到，鹽指產(chǎn)生的速度明顯加快。這是因為在熱瑞利數(shù)恒定的情況下，熱效應(yīng)對于鹽指向下擴散的阻礙不變，當(dāng)鹽瑞利數(shù)變大時，因鹽度差而引起的向下擴散作用慢慢變強，所以產(chǎn)生鹽指的速度越來越快。依照這種分析，當(dāng)鹽指形成的時間變短，兩層溶液交界處產(chǎn)生的微小擾動會變少，相應(yīng)地產(chǎn)生鹽指的數(shù)量也會相應(yīng)地減少，但得到的結(jié)果卻是產(chǎn)生鹽指的數(shù)量在增加。仔細分析，可以發(fā)現(xiàn)鹽指數(shù)量在鹽瑞利數(shù)較小時并不增加，而在RS>8.86×106之后則快速增加；與之對應(yīng)的是，鹽指產(chǎn)生的時間在RS較小時，減小的很快，但當(dāng)RS> 8.86×106之后卻減小的很慢；并且在RS>8.86×106之后產(chǎn)生的鹽指圖案并不像之前的那么規(guī)則，而是有高有低，彎曲參差地排布。這樣的結(jié)果說明在RS>8.86×106之后產(chǎn)生的鹽指性質(zhì)發(fā)生了變化,可能存在某種相變。

4 多層結(jié)構(gòu)中的鹽指現(xiàn)象

4.1結(jié)構(gòu)

由于海洋中的鹽度和溫度是垂向梯度分布的，這樣產(chǎn)生的鹽指存在跨越等密度面的混合，從而影響水團與水團之間的相互作用，改變水體的溫度與鹽度結(jié)構(gòu)，進而影響大尺度環(huán)流甚至氣候變化[18]。因而，研究自然情況下的海洋鹽指有重要的意義。為了更接近實際，將理想的雙層溶液模型改進為同時存在多層溶液， 其結(jié)構(gòu)圖如圖8所示。將圖1中的結(jié)構(gòu)總體大小不變，上下分為4層，最下層溶液的溫度和鹽度分別為Tb=273.15 K、Sb=0.015 g/kg。每兩層間的溫度差為ΔT=0.30 K，鹽度差為ΔS=0.03 g/kg。

4.2層間相互作用對鹽指現(xiàn)象的影響

圖9a和b表示4層溶液在不同時間的鹽度分布圖。結(jié)果顯示，在每兩層溶液的交界處，都產(chǎn)生了鹽指現(xiàn)象，并且產(chǎn)生的指狀圖案在界面兩端比界面中心處要長，中心處的鹽指也要比兩端處的寬，不同層產(chǎn)生的鹽指在垂直方向上近乎嚴格的一致。在t=7 000 s時，每層的鹽指較為分明；但當(dāng)t=12 000 s時，所有層的鹽指互相融合，形成了整體上從底部到頂部的指狀圖案，且兩側(cè)的指狀圖案比中間的明顯且規(guī)整。雖然由于結(jié)構(gòu)參數(shù)上的不同，無法定義與之前的討論相一致的明顯鹽指，但與圖6c對比仍然可以看出，在每相鄰的兩層溶液間鹽度差和溫度差相同的情況下，多層結(jié)構(gòu)對鹽指的產(chǎn)生速度并無明顯影響。

與兩層結(jié)構(gòu)不同的是，由于多層溶液的存在，某一界面產(chǎn)生的向上或向下的微小擾動會受到相鄰界面狀態(tài)的影響，這使得中心部位的穩(wěn)定性要更強。也就是說，某一界面處的微小擾動很可能會被相鄰界面(同一豎直位置)處穩(wěn)定的或者相反方向微小擾動的趨勢所阻礙，從而導(dǎo)致在界面中心處出現(xiàn)明顯的整體指狀流動比兩端要難且慢；同時這也導(dǎo)致了不同界面鹽指在豎直方向上的嚴格一致，因為在某一水平位置，只有相鄰幾個界面在同一水平位置出現(xiàn)一致地向上或向下的微小擾動，才能產(chǎn)生鹽指，否則不同界面處的微小擾動會相互抵消。從圖9a和b中可以看出，對于內(nèi)部的3個界面來說，中間界面在中心產(chǎn)生的指狀圖案明顯要弱于上下界面在中心相同位置產(chǎn)生的指狀圖案。這是因為中間界面同時受到上下界面的影響，而上下界面分別只受到中間界面的影響。同時，在多層結(jié)構(gòu)中，界面處的鹽指形狀不再是兩層結(jié)構(gòu)中瘦長的直條形，而是彎曲的弧形鹽指，這同樣也是因為多層界面之間的相互影響，導(dǎo)致這種弧形的鹽指更容易產(chǎn)生。當(dāng)時間足夠長時，不同層之間形成的鹽指會相互融合，產(chǎn)生貫穿所有層從底部到頂部的指狀圖案。而且，多層結(jié)構(gòu)模型的模擬結(jié)果與Singh等人的實驗結(jié)果更為接近[17, 19]。

5 結(jié)論

本文采用COMSOL有限元數(shù)值模擬的方法，研究了兩層各自均勻溶液之間的鹽指現(xiàn)象，結(jié)果表明：在重力場中，熱的溶液有向上流動的趨勢，鹽度大的溶液有向下流動的趨勢，當(dāng)熱的鹽度高的水層處于冷的鹽度低的水層之上時，向上流動和向下流動的趨勢同時存在于上下層的交界面處，這樣兩種趨勢博弈的結(jié)果，進而產(chǎn)生了鹽指現(xiàn)象。通過對相關(guān)參數(shù)的研究表明，系統(tǒng)的熱瑞利數(shù)RT、鹽瑞利數(shù)RS、初始密度穩(wěn)定率Rρ0均會影響界面處產(chǎn)生的鹽指現(xiàn)象。當(dāng)RT、Rρ0增加時，鹽指增長的速度會變慢，鹽指的數(shù)量會增多；當(dāng)RS增加而Rρ0減小時，鹽指增長的速度會變快，鹽指的數(shù)量也會增多；并且在RS增大到某一值(或Rρ0減小到某一值)時，產(chǎn)生的鹽指的性質(zhì)會發(fā)生突變。對多層溶液中鹽指現(xiàn)象的研究表明，相鄰界面間的影響使得不同界面產(chǎn)生的鹽指在豎直方向上嚴格地一致，而鹽指的形狀變成弧形且更明顯地出現(xiàn)在界面的兩端。為了更確切地模擬自然復(fù)雜環(huán)境下的對流，下一步將對溶液存在鹽度和溫度梯度的模型進行研究。

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〔責(zé)任編輯 李博〕

Numerical study of salt-figuring phenomenon of bilayer and multilayer structure

LI Wenting, LI Yongfang*

(School of Physics and Information Technology, Shaanxi Normal University,Xi′an 710119， Shaanxi, China)

Abstract:The finite element method numerical simulation (COMSOL) is used to investigate the influent of parameter on salt-figuring phenomenon between homogeneous layers of solution. The results show that thermal Rayleigh numbersRT、salinity Rayleigh numbersRSand initial density stability ratioRρ0all influence the salt-figuring phenomenon. When bothRTandRρ0increase, the salt-figuring pattern emerges more slowly, and the number of figuring shaped pattern increase. When theRSincrease butRρ0decrease, the salt-figuring pattern emerges more quickly, and the number of figuring shaped pattern are also increased. In addition, there are phase transition of salt-figuring property while theRSis large enough. The study of multilayer salt-figuring phenomenon shows that the affection between adjacent interface are important to the shape and growth of salt-figuring.Keywords: salt-finguring phenomenon; double diffusion; finite element method; numerical simulationPACS: 47.11.Fg, 44.25.+f

文章編號：1672-4291(2016)03-0057-07

doi:10.15983/j.cnki.jsnu.2016.03.235

收稿日期：2015-11-10

基金項目：國家自然科學(xué)基金(11474191)

*通信作者:李永放，男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail:yfl@snnu.edu.cn

中圖分類號:O351.3

文獻標(biāo)志碼:A