*1賭徒輸光問題的解法

王穎俐,嚴俊秀

(長治學院 數(shù)學系,山西 長治 046011)

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*1賭徒輸光問題的解法

王穎俐,嚴俊秀

(長治學院 數(shù)學系,山西 長治 046011)

〔摘要〕文章應用若干種方法對經(jīng)典的破產(chǎn)問題——賭徒輸光問題進行求解,從而得到當賭本一定時賭徒輸光的概率.

〔關(guān)鍵詞〕賭徒輸光;馬爾科夫鏈;隨機游動;差分方程

惠更斯的《論賭博中的計算》標志著概率論的產(chǎn)生[1].帕斯卡向費馬提出了這樣一個問題:二人玩擲三顆骰子游戲,甲乙各有12個籌碼,若擲出11點,甲給乙一個籌碼;相反若擲出14點,則乙給甲一個籌碼,直至兩人中有一人輸光,求甲乙獲勝的機會比.這個問題是著名的賭徒輸光問題,也稱具有兩個吸收壁的隨機游動問題.

在18世紀,對概率論有貢獻的數(shù)學家也很多.他們用數(shù)學知識研究賭博問題,如雅各布·伯努利的《猜度術(shù)》.這也是概率論發(fā)展史上的古典名著之一,書中給出了賭徒輸光問題的詳盡解法[2].在1995年,S.K.Andrzej推導了適合賭徒的概測法,并給出了一些規(guī)則的程序例子.M.A.EI-Shehawey與L.Mario研究了賭徒的輸光問題為馬爾科夫鏈時的情況[3].

在現(xiàn)代,后人在這些基礎上通過更加豐富的數(shù)學知識又得到其他有效的證明.張琦[4]通過研究得到賭徒輸贏的概率與自己賭金大小有著密切的關(guān)系;張國春[5]根據(jù)賭博游戲構(gòu)建了一個有限步的帶有雙側(cè)吸收壁的隨機游動模型,運用母函數(shù)、組合數(shù)公式以及遞推關(guān)系,從特殊到一般給出并證明了質(zhì)點從起始點到達兩側(cè)吸收壁及終點線的一系列概率計算公式;陳耀輝[6]導出在無限和有限次賭博中賭徒破產(chǎn)的概率公式及賭局數(shù)目的期望值公式.

1運用馬爾科夫鏈求解

設Xn表示經(jīng)過n局后甲手中的賭本,則{Xn,n≥0}是一齊次馬爾科夫鏈[7],狀態(tài)空間為E={0,1,…,a+b},轉(zhuǎn)移矩陣為:

由于輸光即游戲停止,所以有p0,0=pa+b,a+b=1.顯然,狀態(tài)0和a+b為吸收狀態(tài),其余為非常返狀態(tài).假設狀態(tài)由i到a+b的概率為fi=fi,a+b,?0≤i≤a+b.

由條件概率,有fi=pfi+1+(1-p)fi-1,?1≤i≤a+b-1.

2運用隨機游動模型求解

定義1[8]:設x軸上的一個質(zhì)點,假設它只能處在整數(shù)點,在時刻t=0時,它位于初始位置a,以后每個單位時間,它總是受到一個外力的隨機作用,使位置發(fā)生變化,分別以概率p及概率q=1-p向正的或負的方向移動一個單位,我們所關(guān)心的是質(zhì)點在時刻t=n時的位置,用這種方法描述的質(zhì)點運動稱為隨機游動.

部分 1:質(zhì)點從x=a點出發(fā),未經(jīng)過x=a+b點而移動至x=0點,其概率為

綜上可得:

解得:

3運用差分方程求解

分析當原賭本為x時甲破產(chǎn)的概率.為此,設xi為賭過i局后賭徒甲擁有的賭本,利用條件概率,有

即

(1)

這是一個二階齊次線性差分方程,其邊界條件為

(2)

(1)式的特征方程為λ2-2λ+1=0,即(λ-1)2=0，所以方程有重根λ1=λ2=1,這時(1)式有線性無關(guān)的的特解1和x,則通解為Px=C1+C2x, 由邊界條件(2)得:

4運用等差數(shù)列求解

我們把問題先進到一般,找出遞推關(guān)系,再退到特殊進行進退互用探求解題方法[10].

即p(n+1)-p(n)=p(n)-p(n-1),所以p(n)是等差數(shù)列.

通過以上四種方法,均可以得到賭徒輸光問題的證明,并且得到一個擁有有限資本的賭徒一直賭下去的話必定輸光自己的賭金.

參考文獻：

[1]徐傳勝,曲安京.惠更斯與概率論的奠基[J].自然辯證法通訊,2006,6(28)：76-81

[2]胡曉飛.賭博產(chǎn)生的數(shù)學——概率論的起源與發(fā)展[J].科技風,2013(18)：189-190

[3]趙娟.賭徒破產(chǎn)風險模型的進一步研究[D].燕山大學,2011

[4]張琦.賭本大小與輸贏的關(guān)系[J].內(nèi)蒙古教育學院學報,2000,3(13)：35-36

[5]張國春.平面上的一種隨機行走模型及其計算機模擬[D].河北大學,2010

[6]陳耀輝,孫春燕.賭徒破產(chǎn)的概率[J].荊州師專學報,1992,2(15)：36-39

[7]方兆本,繆柏其.隨機過程及其應用[M].北京:科學出版社,2011

[8]王虹,來鵬.隨機游動問題及其應用[J].山西師范大學學報,2005,2(19)：1-4

[9]張炎.談談概率問題的差分方程解法[J].西華師范大學學報,1982,2：74-84

[10]夏紹云.數(shù)學解題中“進”與“退”[J].牡丹江大學學報,2009,5(18)：114-117

The Solution to the Problem of Gambler’s Ruin

WANG Yingli, YAN Junxiu

(Department of Mathematics, Changzhi University, Changzhi 046011, China)

〔Abstract〕To deal with the problem of gambler’s ruin, this paper used several methods to prove. Through proving, we get the probability of gambler’s ruin when they take certain money.

〔Key words〕gambler’s ruin; Markov chain; random walk; difference equation

*收稿日期：2015-09-25

作者簡介：王穎俐(1987-),女,山西臨汾人，碩士，長治學院數(shù)學系講師，主要從事時間序列分析及排隊論等領域的研究.

〔文章編號〕1672-2027(2016)01-0006-03〔中圖分類號〕O211

〔文獻標識碼〕A

資助項目：長治學院科學研究基金(201412).