在自主探索中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型
——“三角形邊的關(guān)系”教學(xué)片段及思考

◇王泰臣

在自主探索中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型
——“三角形邊的關(guān)系”教學(xué)片段及思考

◇王泰臣

【片段一】提出問題，初步探索

1.復(fù)習(xí)鋪墊。

師：（屏幕出示三角形）同學(xué)們，請看屏幕。這幾個是什么圖形？

生：這些都是三角形。

師：三角形是我們早已認(rèn)識的老朋友，在這些三角形中都有什么？

生：三角形有3條邊、3個角、3個頂點。

師：說得很好！三角形的3條邊其實就是3條線段。

2.提出問題。

師：大家想想，如果讓你圍一個三角形，至少需要幾條線段？

生：3條。

師：（屏幕出示問題一）是不是任意長度的3條線段都能圍成一個三角形呢？

生：是。

生：不是。

師：有的同學(xué)認(rèn)為是，有的同學(xué)認(rèn)為不是。遇到問題時，我們不要急于下結(jié)論，可以先怎樣？

生：先試試。

師：這是一個不錯的方法，下面我們就用小棒來代替線段圍三角形。

3.初步探索。

師：（屏幕出示5根小棒圖）老師給大家準(zhǔn)備了5根不同顏色、不同長度的小棒，誰來給大家介紹一下？

生：白色小棒長 2厘米，黃色小棒長3厘米……

師：在同學(xué)們的信封里，也有這樣的5根小棒。接下來，同桌合作，從這5根小棒里任意選3根小棒擺一擺，看看能不能圍成一個三角形。不管能不能圍成三角形，請大家都如實記錄在記錄單上。

（學(xué)生同桌合作圍三角形，展示擺好的圖形）

【思考】教師通過回顧，使學(xué)生明確三角形都有3條邊，為學(xué)生進(jìn)行猜想提供了一定的依據(jù)。在此基礎(chǔ)上，教師設(shè)問：“是不是任意長度的3條線段都能圍成一個三角形？”解決好這個問題是順利引出課題、探索三角形邊的關(guān)系的關(guān)鍵。在產(chǎn)生能與不能的矛盾沖突之后，動手實驗就成為解決這一矛盾的必然數(shù)學(xué)活動。在初步探索環(huán)節(jié)的設(shè)計上，教師創(chuàng)造性地使用教材 （西南師大版），設(shè)計了從5根不同長度的小棒中任意選出3根，看能不能圍成一個三角形，操作活動更加開放，學(xué)生自主探索的空間更大，學(xué)生的感知更加充分，再加上小棒的長度是明確標(biāo)示的，學(xué)生通過記錄任意3根小棒的長度與能不能圍成三角形的結(jié)果，比較容易體會三角形三邊之間的關(guān)系。

【片段二】展示交流，深入探索

1.展示交流2條線段的和小于第三條線段的情況。

師：這個圖形（圖略）是哪組同學(xué)擺的？

生：我們擺的。

師：告訴大家，你們選的這3根小棒有沒有圍成一個三角形？

生：這3根小棒沒有圍成一個三角形。

師：和他們選擇一樣的請舉手。你們圍成了嗎?

生：沒有。

師：其他同學(xué)認(rèn)為像這樣的3根小棒能圍成三角形嗎？

生：不能。

生：沒有圍成。

師：你們不同意？說說理由。

生：圍三角形應(yīng)該首尾相連。

師：他的話你們同意嗎？

生：同意。

師：原來在圍三角形的時候還要做到 3條線段首尾相連。（邊說邊移動）這3條線段是不是真的圍不成，我們還應(yīng)該往下壓一壓。（操作壓）同學(xué)們注意看，缺口在慢慢變小，繼續(xù)往下壓，還是有缺口。看來，這3根小棒確實不能圍成三角形。

圖1

2.展示交流2條線段的和等于第三條線段的情況。

師：這個圖形（圖略）是哪個組擺的？你們有沒有圍成三角形？

生：沒有圍成三角形。

師：在擺的時候，你們是怎樣發(fā)現(xiàn)這3根小棒不能圍成三角形的？

生：我們把2根短的小棒連在一起，就和長的那根小棒相等了。如果把2根短的小棒中間往上抬一點就會斷開，所以不能圍成一個三角形。

師：請到前面把你們的想法演示一下。（生上臺演示）你們看清楚了嗎？這3根小棒能圍成一個三角形嗎？

生：不能。

3.展示交流兩邊之和大于第三邊的情況。

師：同學(xué)們，我們再看看這個圖形（圖略），圍成三角形了嗎？

生：圍成了。

師：你們是怎么確定這3根小棒圍成了一個三角形的？

生：這 3根小棒首尾相連，有3個頂點、3個角、3條邊。

【思考】對于3條線段能否圍成三角形，可以分為三種不同的情況。如何安排展示的順序？這是值得思考的問題。教師先引導(dǎo)學(xué)生從不能圍成的情況開展研究，在兩邊之和小于第三邊的情況中重點引導(dǎo)學(xué)生解決 “首尾相連”和“無論怎么壓也不能相連”兩個問題，學(xué)生對于這種情況比較容易理解和接受。對于兩邊之和等于第三邊的情況，重點引導(dǎo)學(xué)生通過操作、觀察、思考，結(jié)合自己的經(jīng)驗，用自己的語言去描述“2根短的小棒連在一起，只要將較短的2根小棒的中間往上抬一點就不能圍成三角形了”。有了對兩種反例的體會，學(xué)生對能圍成三角形的3根小棒的長度關(guān)系自然就有了一定的感知。

【片段三】探索發(fā)現(xiàn)，建立模型

1.揭示課題，再次提問。

師：同學(xué)們，根據(jù)你們擺的圖形來看，是不是任意長度的3條線段都能圍成三角形？

生：不是，有的能圍成三角形，有的不能圍成三角形。

師：看來要圍成一個三角形，不僅需要3條線段，而且跟這3條線段的什么有關(guān)？

生：跟這3條線段的長度有關(guān)。

師：我們來看看這些圖形中的3條線段的長度分別是多少？（標(biāo)出每個圖形中每條線段的長度）在三角形里，這3條線段就是三角形的3條邊，三角形的3條邊之間到底有什么關(guān)系？這就是我們這節(jié)課要研究的內(nèi)容。

師：（課件出示問題二）請同學(xué)們仔細(xì)觀察這些圖形，思考：怎樣的3條線段才能圍成一個三角形？同學(xué)們先獨立思考，再把你的想法和同桌商量商量。

圖2

圖3

圖4

2.交流分享，共建模型。

（1）觀察圍成的三角形，發(fā)現(xiàn)關(guān)系。

師：同學(xué)們，誰愿意把你的想法與大家分享？

生：我發(fā)現(xiàn)任意2條線段的和都大于第三條線段時就能圍成一個三角形。

師：你的意思是什么？請到前面結(jié)合圖說一說。

生：（指圖4說明）這條2厘米的線段加上3厘米的線段大于這條4厘米的線段，3厘米與4厘米的和大于2厘米，2厘米與4厘米的和大于3厘米，這樣的3條線段就能圍成一個三角形。

師：這樣的關(guān)系我們也可以用數(shù)學(xué)式子來表示。

（板書：2+3＞4，3+4＞2，2+4＞3）

師：你們同意他的想法嗎？

生：同意。

師：（出示邊長為3厘米、4厘米、5厘米的三角形）在這個三角形里，是不是也有這樣的關(guān)系？

生：有，3+4＞5，5+4＞3，3+5＞4。

（2）對比沒有圍成的圖形，尋找沒有圍成三角形的原因。

師：在三角形里，同學(xué)們找到了3條邊之間的關(guān)系。那在沒有圍成三角形的圖形里，3條線段之間有著怎樣不同的關(guān)系呢？（觀察圖2、圖3）

生：有2條線段的和小于第三條線段。

（板書：2+3＜6）

師：（指圖3）這個圖形呢？

生：2+3=5。

師：通過觀察和比較，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了只要有2條線段的和小于或等于第三條線段，就不能圍成三角形；只有任意兩邊的和大于第三邊，才能圍成一個三角形。

3.看書鞏固，理解模型。

師：請同學(xué)們打開書，把課本上例3的實驗單填寫完整。

（生填寫）

師：對這節(jié)課所學(xué)的知識，你們還有不清楚的地方嗎？

生：沒有了。

師：老師有個問題考考你們。（在黑板上任意畫一個三角形）這個三角形每條邊的具體長度不知道，我們分別用a、b、c來表示。你能說一說這個三角形3條邊的關(guān)系嗎？

生：a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a。

（師小結(jié)關(guān)系，完成板書：三角形任意兩邊的和大于第三邊）

【思考】數(shù)學(xué)模型的形成是一個逐步抽象的過程，怎樣抽象和建構(gòu)數(shù)學(xué)模型呢？學(xué)生通過大量的操作感悟和理性分析，已經(jīng)積累了一定的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。如何進(jìn)一步抽象出三角形邊的關(guān)系呢？這個環(huán)節(jié)在三個方面進(jìn)行了強(qiáng)化：一是提問準(zhǔn)確，要求明確。學(xué)生對任意的3條線段能否圍成一個三角形已有比較深刻的體會，老師提問：“要圍成一個三角形，不僅需要3條線段，而且跟這3條線段的什么有關(guān)？”（長度）緊接著問：“三角形的3條邊之間到底有什么關(guān)系？”并引出課題，這樣的設(shè)計很好地回答了能否圍成三角形與3根小棒的長度有關(guān)系。接著，進(jìn)一步追問“怎樣的3條線段才能圍成一個三角形”，而且提出明確的要求，先獨立思考，然后同桌交流，符合課標(biāo)對學(xué)生養(yǎng)成良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的要求。二是通過計算驗證規(guī)律的正確性。所有的操作實踐都是通過觀察得到的感性認(rèn)識，需要有具體的、準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)驗證其正確性，教師在讓學(xué)生感悟“能否圍成三角形與3條邊的長度有關(guān)”后，自然地給出三角形3條邊的長度，先讓學(xué)生計算，用數(shù)學(xué)式子表示能圍成三角形的3條邊之間的關(guān)系，然后又通過計算，發(fā)現(xiàn)沒有圍成三角形的兩種情況中有2+3＜6或2+3=5，從正、反兩方面驗證了三角形3條邊的關(guān)系。三是引入字母表示，體現(xiàn)規(guī)律的簡潔性。教師任意在黑板上畫出一個三角形，用字母a、b、c表示3條邊的長度，然后用字母式子表示三角形邊的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美，使學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的理解更加深刻。

四川眉山市東坡區(qū)教研室）