三值自由模態(tài)邏輯FML

胡澤洪， 鄧雄雁

三值自由模態(tài)邏輯FML

胡澤洪， 鄧雄雁

【摘要】FML是以自由邏輯為基礎(chǔ)構(gòu)建起來的一個(gè)三值模態(tài)謂詞邏輯表列系統(tǒng)。若一個(gè)詞項(xiàng)無所指(空詞項(xiàng))則包含該詞項(xiàng)的簡單句子無所指(即無真值)，F(xiàn)ML的偏函數(shù)語義模型體現(xiàn)了這一思想。通過借鑒普利斯特的一度衍推系統(tǒng)和菲汀的抽象謂詞思想，F(xiàn)ML系統(tǒng)刻畫了在內(nèi)涵語境下關(guān)于空詞項(xiàng)的推理規(guī)律。最后，用數(shù)模的方法證明了FML的強(qiáng)完全性。

【關(guān)鍵詞】空詞項(xiàng)一度衍推抽象謂詞模態(tài)邏輯

在日常交流和推理中，我們允許名稱詞項(xiàng)t指稱不存在個(gè)體，諸如此類的詞項(xiàng)稱為“空詞項(xiàng)”(empty term)。例如，詞項(xiàng)“孫悟空”。包含空詞項(xiàng)的推理大量存在于日常生活中，而這恰是一階邏輯和以一階邏輯為基礎(chǔ)的模態(tài)謂詞邏輯的短板。[1]自由邏輯是一種處理空詞項(xiàng)的邏輯，在自由邏輯的基礎(chǔ)上加入模態(tài)算子可構(gòu)成自由模態(tài)邏輯。這種邏輯可以在模態(tài)語境下對(duì)空詞項(xiàng)進(jìn)行邏輯分析，進(jìn)而刻畫內(nèi)涵語境下關(guān)于空詞項(xiàng)的推理規(guī)律。

自由邏輯的語義要考慮如何給包含空詞項(xiàng)的基本閉公式Pt賦值(基本公式是指不含命題聯(lián)結(jié)詞和量詞的公式)。包含空詞項(xiàng)的基本公式賦值有三種可能：其一，該公式為真；其二，該公式為假；其三，該公式不真也不假(也可稱為無真值)。按此線索，可以把自由邏輯分為三類：負(fù)自由邏輯，正自由邏輯，中性自由邏輯。中性自由邏輯是自由邏輯并且使得任一包含有空詞項(xiàng)的基本公式(可能除“t存在”外)都無真值。[2]2—3可見，中性自由邏輯的語義是一種三值邏輯語義。萊曼于1994年構(gòu)建了一個(gè)中性自由邏輯表列系統(tǒng)(tableaux)。[3]本文對(duì)萊曼的語義模型做了一些調(diào)整，以勒布蘭克的偏函數(shù)語義模型[4]為基礎(chǔ)而設(shè)計(jì)了一個(gè)中性自由模態(tài)邏輯語義模型。在語形上，以普萊斯特的一度衍推(First degree entailment)系統(tǒng)[5]為基礎(chǔ)建立了一個(gè)三值自由模態(tài)邏輯表列系統(tǒng)FML。為了便于區(qū)分模態(tài)公式的從言和從物命題，還在FML中加入一個(gè)特殊的謂詞，那就是菲汀提出的謂詞抽象理論。[6]

一、FML的語法和語義

(2)邏輯符號(hào)：(a)變元，連接詞，量詞，模態(tài)詞如常。(b)邏輯謂詞：=，ε。

(3)輔助符 ：)，(。

我們常用a，b，c，…表示常元;x，y，z，…表示變元；P，Q，O，… 表示n元謂詞;ε是特殊的謂詞，稱為存在謂詞。嚴(yán)格指示詞是指名稱所指稱的對(duì)象不隨可能世界變化而變化，反之為非嚴(yán)格指示詞。[7]項(xiàng)t的形成規(guī)則如常，公式形成規(guī)則如下：

(1)原子公式形成規(guī)則如常，復(fù)合公式形成規(guī)則如常。

(2)若t是項(xiàng)，那么εt是公式。

(3)若A是公式，t是任一項(xiàng)，〈λx.A〉是一抽象謂詞，那么 〈λx.A〉(t)是公式；

FML的語義以克里普克可能世界語義理論為基礎(chǔ)，結(jié)合偏函數(shù)語義理論而構(gòu)成[4]。

定義1框架F=〈W,R,D〉,

(2)R是W上的二元關(guān)系使得R?W×W；

(3)D是域函數(shù)，對(duì)任ωW，映射ω到一非空集 Dω。

若框架F=〈W,R,D〉，則框架上的域 D(W)=U{Dω|ωW}。(在不引起混淆的情況下，把D(W)簡寫為D)在這里，可能世界是變化的，也就是說量詞的論域是隨著可能世界變化而變化的，所以這個(gè)模型又稱為變域模型[8]101-105，與之對(duì)應(yīng)的是常域模型。

(1)對(duì)任一常元c，c是嚴(yán)格指示詞，若 I(c)在ω處有定義，則I(c)Dω；

(2)對(duì)任一常元τ，τ是非嚴(yán)格指示詞，若 I(τ)ω在ω處有定義，則I(τ)Dω；

(3)對(duì)任一變元x，若σ(x)在ω處有定義，則σ(x)Dω；

(1)若對(duì)任ti(1≤i≤n)，I(ti)ω有定義，則：

(a)Vσ(Pt1t2…tn)=1，當(dāng)且僅當(dāng)〈I(t1)ω，…，I(tn)ω〉I(P)ω；

(b)Vσ(Pt1t2…tn)=0，當(dāng)且僅當(dāng)〈I(t1)ω，…，I(tn)ω〉?I(P)ω。

(2)對(duì)某一 ti(1≤i≤n)，若I(ti)ω?zé)o定義，則Vσ(Pt1t2…tn)ω=*；(*代表“第三值”，也可以理解為“無真值”)

我們對(duì)存在公式εt作了特殊處理，使之只有真、假兩個(gè)值。復(fù)合公式按強(qiáng)Kleene-3 真值表進(jìn)行賦值，強(qiáng)Kleene-3 真值表如下：

┐→1*01011*0***1**010111

定義4對(duì)量詞公式、模態(tài)公式和抽象謂詞公式的賦值[6]如下：

(1)對(duì)公式?xA：

(c)否則，Vσ(?xA)ω=*

(3)對(duì)謂詞抽象公式〈λx.A〉(t)：

(c)否則，Vσ(〈λx.A〉(t))ω=*

可滿足，有效，語義后承定義如常，不再一一列出。

二、表列系統(tǒng)FML

在普利斯特所介紹的一度衍推系統(tǒng)[5]329—347基礎(chǔ)上引入謂詞抽象規(guī)則[6]171-193形成表列系統(tǒng)FML。一個(gè)表列是一個(gè)結(jié)構(gòu)圖，形狀如下：

一表列結(jié)構(gòu)(也叫做樹)就是一個(gè)擁有唯一極大元x0的偏序結(jié)構(gòu)，使得對(duì)任一表列中的元素 xn，總存在唯一有窮元素鏈 xn≤xn-1≤x1≤x0。上圖中每個(gè)點(diǎn)叫節(jié)點(diǎn)，最頂端的節(jié)點(diǎn)叫根，最底端的節(jié)點(diǎn)叫端點(diǎn)，由箭頭所標(biāo)示的由根到端點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)序列稱為表列的枝。一個(gè)表列可同時(shí)有多條枝，也可只有一條枝。

為了驗(yàn)證一個(gè)FML推理的有效性，只需建立一個(gè)表列，使得根上同時(shí)有這個(gè)推理的前提和結(jié)論的否定(不真，也稱為初始列)，再按照表列擴(kuò)展規(guī)則把初始列加以展開，形成不同枝。FML樹規(guī)則如下。

(一)命題連接詞規(guī)則

1.(A→B，+i)?(A，+i)▽(B，+i)

2.(A→B，-i)?(A，-i)△(B，-i)

其中， i代表標(biāo)號(hào)，可以理解為一個(gè)可能世界；“▽”是元語言符號(hào)，表示“或者”的意思，在表列上，意味著分叉;“△”表示“并且”的意思;“?”表示“推導(dǎo)”的意思，在表列上，意味著箭頭。

(二)量詞規(guī)則

(UI+)、(?xA，+i)△ (εa，+i)，?(A(a/x)，+i)；(PI-)、(?xA，-i)?(εc，+i)△(A(c/x)，-i)；(PI+)、(?xA，+i)?(εc，+i)△ (A(c/x)，+i)；(UI-)、(?xA，-i)△ (εa，+i)?(A(a/x)，-i)

UI±中a是在枝上已經(jīng)出現(xiàn)的任一嚴(yán)格指示詞；PI±中c是枝上尚未出現(xiàn)的新嚴(yán)格指示詞。

(三)模態(tài)詞規(guī)則

(□+)、(□A，+j) △(irj)?(A，+j)；(□-)、(□A，-i)△ (irj)?(A，-j)；(◇+)、(□A，+i)?(irj)△(A，+j)；(◇-)、(□A，-i)?(irj)△ (A，-j)

其中，□±中j是樹上已經(jīng)存在的標(biāo)號(hào) ；◇±規(guī)則中的j是尚未在樹上出現(xiàn)的新標(biāo)號(hào)。irj表示可能世界i和j具有通達(dá)關(guān)系r。

(四)等詞規(guī)則

( IE′)、(εc，+i)?(c=c，+i)；(SI′)、(a=b，+i)△(A(a/x)，+i)?(A(b/x)，+i)

(五)特征規(guī)則

(ⅡR′) 、(a=b，+i)△ (εa，εb，+j)?(a=b，+j)；(DI′)、(ετ，+i)?(c=τ，i)；(NCR+)、(Pc1…cn，+i)?(εcn，+i)；(NCR-)、(Pc1…cn，+i)?(εc1，…，εcn，…εc1，+i)

其中 NCR±要求Pc1…cn為基本公式，ⅡR′中a和b均為嚴(yán)格指示詞，亦即必然同一規(guī)則。也就是說，一旦兩個(gè)嚴(yán)格指示詞相等，則必然相等。因而，F(xiàn)ML是一個(gè)必然等同模態(tài)系統(tǒng)。

(六) 附加規(guī)則

1.(εa，…，εb，+i)△(Pc1…cn，-i)?(Pc1…cn，+i)

2.(εa，…，εb，+i)△(Pc1…cn，-i)?(Pc1…cn，+i)

(七)抽象謂詞規(guī)則

1.(〈λx.Ax〉(t)，+i)?(A(tσi?)，+i)△(εt，+i)

3.(〈λx.Ax〉(t)，-i)△(εt，+i)?(A(tσi)，-i)

其中，t是任一項(xiàng)，我們規(guī)定：如果t是嚴(yán)格指示詞c，則tσi為c；如果t是非嚴(yán)格指示詞τ，則tσi為由DI′規(guī)則所得到的第一個(gè)新嚴(yán)格指示詞c。這可保證無論在那種情況下tσi都是嚴(yán)格指示詞 。

直覺上，樹中節(jié)點(diǎn)上A，+i表示在i中A為真，A，-i表示在i中A不真。為了驗(yàn)證A1，A2，…，An┠B，只需構(gòu)造一個(gè)包含如下公式序列為初始列的表列即可。這個(gè)初始列即 A1+i，A2+i，…，An+i，B-i。針對(duì)每一組公式都可由表列規(guī)則進(jìn)行擴(kuò)展，直到每個(gè)端點(diǎn)(除UI±外)不能再使用擴(kuò)展規(guī)則進(jìn)行擴(kuò)展，這樣可以構(gòu)成一個(gè)完全的表列或閉樹，這個(gè)表列就是對(duì)A1，A2，…，An┠B的一個(gè)FML推導(dǎo)。由上述樹規(guī)則形成的表列系統(tǒng)稱為中性自由模態(tài)邏輯FML。

定義5某一枝是FML閉枝，當(dāng)且僅當(dāng)枝上：

(1)同時(shí)含有公式A，+i和A，+i，或者

(2)同時(shí)含有公式 A，+i和A，-i，

(3)否則稱為開枝。

定義6公式A是閉公式集Φ的FML語法后承Φ┠A ，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)完全的閉樹使得其初始列包含 Φ中的所有公式 B，+i和 A，-i；反之，如果該FML完全樹是開樹，則A不是公式集Φ的FL語法后承，記為 ΦA(chǔ)。

自由模態(tài)邏輯FML的一個(gè)特點(diǎn)是有語法后承但不一定有相應(yīng)的內(nèi)定理。例如，在FML中，有Pc┠?xPx，但Pc→?xPx，驗(yàn)證從略。再如，在菲汀的二值模態(tài)邏輯系統(tǒng)中有：〈λxy.(x=y)(s，t)┠〈λxy.(□x=y)〉(s，t)[8]226，即我們把項(xiàng)之間的相等作從物模態(tài)理解，則它們是必然相等的。但在FML中有，〈λxy.(x=y)(s，t)〈λxy.(□x=y)〉(s，t)?，F(xiàn)構(gòu)造樹如下：

1.〈λxy.(x=y)〉(s，t)+1

2.〈λxy.(□x=y)〉(s，t)-1

↓

3.εsσ1，εtσ1+1

4.sσ1=tσ1+1

5.□sσ1=tσ1-1

6.1r1.1

7.sσ1=tσ1-1.1

其中，左邊的數(shù)字表示擴(kuò)展順序，右邊的數(shù)字表示可能世界的標(biāo)號(hào)。1，2構(gòu)成初始列。3， 4自1，5自2，3，分別運(yùn)用了抽象謂詞規(guī)則；6和7自5，運(yùn)用了模態(tài)詞規(guī)則；這個(gè)樹沒有封閉，可知，〈λxy.(x=y)〉〈λxy.(□x=y)〉(s，t)。

引入抽象謂詞，可以對(duì)模態(tài)從言和物命題進(jìn)行有效區(qū)分，增強(qiáng)一階模態(tài)語言的表達(dá)能力；從而對(duì)內(nèi)涵語境中相等問題即“弗雷格之謎”[8]142-144，進(jìn)行很好地區(qū)分和分析；還可以對(duì)蒯因?qū)δB(tài)邏輯特別是模態(tài)謂詞邏輯的合法性的質(zhì)疑[9]150-171進(jìn)行反駁。

三、FML的可靠性和完全性

自由模態(tài)邏輯必然同一系統(tǒng)FML相對(duì)于中性偏函數(shù)語義具有可靠性和完全性。需要先證明協(xié)同引理和代入引理。

證明：對(duì)公式A進(jìn)行結(jié)構(gòu)歸納證明，略。

代入引理在模態(tài)謂詞邏輯中不一定成立。為此，需要對(duì)代入引理作一些調(diào)整，我們規(guī)定代入項(xiàng)只能為嚴(yán)格指示詞。

引理2 (代入)在模型M中，對(duì)至多只有一個(gè)自由變元x的公式A，如果對(duì)任一嚴(yán)格指示詞c，V(c)在ω處有定義，且存在dD，使得 V(c)=Vσ(d/x)(x)，則對(duì)任ωW，

證明：當(dāng)A中不含自由變元x，由協(xié)同引理，易見V(A(c/x))ω=V(A)ω=Vσ(d/x)(A)ω。當(dāng)A中含自由變元x，對(duì)公式A進(jìn)行結(jié)構(gòu)歸納：

情況二A為公式〈λy.B〉(t)

(1)x為 y，(〈λy.B〉(t)(c/x)=〈λy.B〉(t(c/x))

(b)V(〈λy.B〉)(t(c/x))ω= 0情況類似，略。

(2)x不為y

(a)V((〈λy.B〉(t)(c/x))ω=1

(b)V((〈λy.B〉(t)(c/x))ω=0，類似，略。得證。

(1)對(duì)B每一節(jié)點(diǎn)，若A，+i在節(jié)點(diǎn)上，則A在f(i)W中為真；若A，-i在節(jié)點(diǎn)上，則A在f(i)W中不真。

(2)若irj在B中，則在M中有f(i)Rf(j)。

證明：逐個(gè)驗(yàn)證連接詞規(guī)則、量詞規(guī)則、等詞規(guī)則和附加規(guī)則即可，略。

可靠性定理在偏函數(shù)語義條件下，對(duì)FML任一有窮閉公式集Φ和閉公式 A，如果Φ┠A,則ΦA(chǔ)。

現(xiàn)在來考慮完全性問題，F(xiàn)ML相對(duì)于中性偏函數(shù)語義具有強(qiáng)完全性。在這里給出的是表列系統(tǒng)而非公理系統(tǒng)，我們用樹模進(jìn)行完全性證明，而不是用公理系統(tǒng)典范模型來證明。[10]

(6)對(duì)一 n元謂詞P，嚴(yán)格指示詞ci(1≤i≤n),〈[c1],[c2],…[cn]當(dāng)且僅當(dāng) Pc1c2…cn+i在B中；〈[c1],[c2]…，[cn]〉?當(dāng)且僅當(dāng)┐Pc1c2…,+i在B中；否則V(Pc1c2…cn)=*。

引理4(完全性) 對(duì)任一FML開樹B，存在一樹模M使得對(duì)B中任一閉公式A ：

證明：施結(jié)構(gòu)歸納于A。

情況一A為εt，略。

情況二A為a=b

(1)a=b,+i在B中 ，略；

(2)┐(a=b),+i在B中，

(3) a=b,-i在B中，

(a)εa，+i和εb，+i均在B中，

(b)εa，+i和εb，+i至少有一個(gè)不在B中，

綜合(a)和(b)，可知，并非V(a=b)=1；

(4)┐(a=b) ，-i在B中，

(a)εa，+i和εb，+i均在B中，

(b)εa,+i和εb，+i至少有一個(gè)不在 B中，

綜合(a)和(b)，可知，并非V(a=b)=0；

情況三A為原子公式Pc1c2…cn，┐B,B→C,?xB，略。

情況四A為〈 λx.B〉(t)，

(2)〈λx.B〉(t),-,i在B中 ，則

(a)εt,+i在B中，

(b)εt,+i不在B中

(3)其他兩種情況類似，略去。

完全性定理相對(duì)于中性偏函數(shù)語義，對(duì)任一個(gè)FML閉公式集Φ和閉公式A，如果ΦA(chǔ)，則ΦA(chǔ)。

證明：假設(shè)ΦA(chǔ)，則存在一完全開樹B，可構(gòu)造一樹模 M，據(jù)完全性引理，M使得Φ中所有公式為真且A不真，即ΦA(chǔ)。

由完全性證明可以知道，這個(gè)證明要比典范模型方法簡潔，其過程沒有極大一致集構(gòu)造等步驟，從而簡化了證明過程。FML系統(tǒng)有語法后承，但可能會(huì)無相應(yīng)的內(nèi)定理，所以難以證明其弱完全性定理，即若A，則A不一定成立。

在FML中，從多值內(nèi)涵語境中考察空詞項(xiàng)的邏輯特性，其最大特點(diǎn)是運(yùn)用了謂詞抽象這一工具。它有效區(qū)分了從言和從物模態(tài)，并且仔細(xì)區(qū)分了嚴(yán)格指示詞和非嚴(yán)格指示詞的語義特性，并在語形方面進(jìn)行了對(duì)比。此處所構(gòu)造的系統(tǒng)為必然等同系統(tǒng)，即承認(rèn)推理規(guī)則IIR′。當(dāng)然，在模態(tài)謂詞邏輯中，有不認(rèn)可必然等同的系統(tǒng)，這就是模態(tài)邏輯的偶然等同系統(tǒng)。偶然等同系統(tǒng)相對(duì)于必然等同系統(tǒng)，在語形上去掉IIR′即可，不過其語義相對(duì)復(fù)雜，因?yàn)?，要把存在域處理為具有函?shù)形式的內(nèi)涵對(duì)象，至于內(nèi)涵對(duì)象是否可行，尚存在爭議。

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[10]鄧雄雁，胡澤洪．協(xié)調(diào)、一致與一階公理系統(tǒng)的強(qiáng)完全性．華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：社會(huì)科學(xué)版，2010(3)：112—116.

【責(zé)任編輯：趙小華】

【基金項(xiàng)目】國家社會(huì)科學(xué)基金項(xiàng)目“自由邏輯及其相關(guān)哲學(xué)問題研究”(13BZX068)

【收稿日期】2015-08-10

【中圖分類號(hào)】B81-0

【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】1000-5455(2016)01-0176-06

(作者簡介:胡澤洪，湖南雙峰人，華南師范大學(xué)政治與行政學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師；鄧雄雁，湖南衡陽人，貴州師范大學(xué)馬克思主義學(xué)院副教授。)