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    承壓穩(wěn)定井流計(jì)算的單位分解配點(diǎn)法

    2016-06-15 01:58:36郭冬冬周德亮
    地下水 2016年1期

    郭冬冬,周德亮

    (遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116029)

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    承壓穩(wěn)定井流計(jì)算的單位分解配點(diǎn)法

    郭冬冬,周德亮

    (遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116029)

    [摘要]用單位分解配點(diǎn)法求解承壓含水層中地下水向井的穩(wěn)定流動(dòng)問題,該方法擺脫了背景網(wǎng)格的束縛,是一種真正的無網(wǎng)格方法,根據(jù)具體模型計(jì)算后發(fā)現(xiàn)其不僅實(shí)施簡(jiǎn)單,而且計(jì)算精度高。

    [關(guān)鍵詞]單位分解;配點(diǎn)法;穩(wěn)定井流;無網(wǎng)格

    無網(wǎng)格(Meshfree)方法是近幾十年來迅速興起的一種數(shù)值計(jì)算方法,它很好的克服了有限差分和有限元法等方法需要網(wǎng)格的缺陷,并利用一組散布在求解域中及其域邊界上的節(jié)點(diǎn)來表示(而非離散)該求解域和其邊界,具有收斂快,后處理方便等優(yōu)點(diǎn)。其中單位分解配點(diǎn)法[1]繼承了無網(wǎng)格方法的性質(zhì),一方面可以在子域內(nèi)調(diào)節(jié)節(jié)點(diǎn)的密度,也可以改變某個(gè)子域的形狀;另一方面局部逼近空間可以包含非多項(xiàng)式函數(shù),從而很好地局部逼近未知解。因此單位分解配點(diǎn)法具有靈活性且近似解有較高的精度。本文將單位分解配點(diǎn)法用于求解地下水的承壓穩(wěn)定井流動(dòng)的問題。

    1配點(diǎn)法

    考慮如下定解問題

    L{u(x)}=f(x),x∈D

    (1)

    B{u(x)}=g(x),x∈?D

    (2)

    其中設(shè)D是有界區(qū)域,?D是D的邊界,L是偏微分算子,B是邊界微分算子,f(x),g(x)是給定的函數(shù)。

    (3)

    一般情況下中心點(diǎn)取配置節(jié)點(diǎn),αj是待定系數(shù),N是配點(diǎn)總數(shù),φ(‖x-ξj‖2)表示徑向基函數(shù)[2],常見的徑向基函數(shù)有

    高斯徑向基函數(shù):φ(r)=e-(εr)2(ε>0);

    緊支撐徑向基函數(shù):φ(r)=(1-εr)4+(4εr+1) (ε>0);

    將(3)代入(1)(2)中,使其分別在內(nèi)節(jié)點(diǎn),一類邊界節(jié)點(diǎn)和二類邊界節(jié)點(diǎn)上成立,這樣線性方程組便可寫成

    Aα=b

    (4)

    其中α=(α1,α2,…,αN)T是待定的未知向量,

    b=(f(x1),…,f(xN)),g(xNi+1),g(xNi+N1+1),g(xN)T

    s(x)=φ(x)α=φ(x)A-1u=Ψ(x)u,其中Aα=u,u=[u(x1)…u(xN)]T,

    φ(x)=[φ(‖x-x1‖),…,φ(‖x-xN‖)],Ψ(x)=φA-1

    這里的Ψj(x)具有如下性質(zhì)

    2單位分解配點(diǎn)法

    ?x∈DI(x)={j|x∈Dj},I(x)≤K

    集合I(x)表示的是包含x的子域的編號(hào),包含x的子域個(gè)數(shù)不超過K個(gè),這里常數(shù)K與子域的數(shù)量M無關(guān)。在單位分解配點(diǎn)法[1]中,定解問題的解函數(shù)u(x)的近似函數(shù)s(x)可以寫成下面形式:

    (2.1)

    其中sj(x)是u(x)在子域Dj內(nèi)的近似函數(shù),wj是定義在Dj上的緊支正定權(quán)函數(shù),它可以通過Shepard的方法構(gòu)造,即表示為

    (2.2)

    其中

    (2.3)

    是子域Dj上的緊支徑向基函數(shù).在(2.2)中我們選擇Wendland緊支徑向基函數(shù)

    (2.4)

    如果對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)Xi∈Dj,等式(2.4)中的函數(shù)sj(x),j=1,…,M,都具有局部插值性質(zhì)sj(xi)=u(xi),那么全局單位分解近似值繼承了局部插值的性質(zhì),s(xi)也就可以寫成下面的形式:

    利用單位分解配點(diǎn)法解決偏微分方程問題時(shí),需要計(jì)算在空間微分算子在內(nèi)部節(jié)點(diǎn)上的值和邊界微分算子在邊界節(jié)點(diǎn)上的值,為此需要計(jì)算α階的導(dǎo)數(shù),應(yīng)用Leibniz定理,可以得到近似解的α階導(dǎo)數(shù)為

    其中α和β是多重階數(shù)。

    3對(duì)井的處理

    考慮平面承壓穩(wěn)定井流混合問題[4]

    其中,T為導(dǎo)水系數(shù),h(x,y)為水頭函數(shù),ε(x,y)為越流補(bǔ)給強(qiáng)度,q為補(bǔ)給量,qk為第k口井的開采量,ρk為第k口井的半徑。

    通過實(shí)際計(jì)算可發(fā)現(xiàn),和傳統(tǒng)數(shù)值方法一樣,如果直接從問題中進(jìn)行離散,用徑向基函數(shù)配點(diǎn)法求解將會(huì)在井口附近產(chǎn)生很大的誤差,使結(jié)果不可用。原因是井口相對(duì)于求解域非常接近為一個(gè)點(diǎn),從數(shù)學(xué)角度看就是一個(gè)奇點(diǎn),目前解決這一問題的常規(guī)方法是將問題轉(zhuǎn)變?yōu)槿缦碌牡葍r(jià)問題

    由此求得w,立即得到定解問題的解h=w+v。

    圖1 計(jì)算域及節(jié)點(diǎn)配置圖

    圖2 近似解

    圖3 解析解

    設(shè)ε(x,y)光滑無奇性。要保證數(shù)值求解的精度,函數(shù)vk除了要滿足文[6]給出的前述4個(gè)條件

    4數(shù)值計(jì)算

    在計(jì)算區(qū)域上按圖1所示布置節(jié)點(diǎn)。單位分解配點(diǎn)法得到的水頭函數(shù)近似解、解析解以及絕對(duì)誤差如圖2、圖3和圖4所示,本文中選用的是高斯徑向基函數(shù),權(quán)函數(shù)選用緊支徑向基函數(shù),參數(shù)取160,與解析解比較可知使用單位分解配點(diǎn)法配求解地下水向井流動(dòng)的問題時(shí)具有靈活性,且近似解有較高的精度,由于該方法是在局部區(qū)域上應(yīng)用配點(diǎn)法,因而形成的矩陣是稀疏的,從而減少了計(jì)算的費(fèi)用。

    圖4 絕對(duì)誤差

    [1]Safdari-Vaighani A,Heryudono A,Larsson E.A Radial Basis Function Partition of Unity Collocation Method for Convection-Diffusion Equations Arising in Financial Applications[J]. Sci.comput,2014.10.4-7.

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    [4]孫訥正.地下水流的數(shù)學(xué)模型和數(shù)值方法[M]. 北京:地質(zhì)出版社.1981.7-48,110.

    [5]楊天行.非穩(wěn)定流的有限元法中承壓水析奇與潛水逐步析奇的一個(gè)方法[J].長(zhǎng)春地質(zhì)學(xué)院學(xué)報(bào).1978(4): 37-54.

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    [收稿日期]2015-11-16

    [作者簡(jiǎn)介]郭冬冬(1991-),女,遼寧大連人,在讀碩士研究生,主攻方向:偏微分?jǐn)?shù)值解法。

    [中圖分類號(hào)]P641.139

    [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]B

    [文章編號(hào)]1004-1184(2016)01-0051-02

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