由一道例題引發(fā)的思考

◇吳云飛

由一道例題引發(fā)的思考

◇吳云飛

人教版教材四年級下冊第10頁有這樣一道例題（如圖1），其解決方法如圖2所示。

圖1

圖2

新教材把它作為問題解決內(nèi)容放在四則運算后面，其主要原因可能有兩點：一是讓學生運用四則運算法則解決問題，提高其計算能力和解決問題的能力；二是滲透優(yōu)化思想，培養(yǎng)學生合理、靈活思考問題的能力。學完以后，學生能夠想到的基本就是“盡量坐人均價格低的”和“盡量坐滿”這兩個條件。當然，這兩個條件是至關重要的，這是統(tǒng)籌、優(yōu)化思想的主要體現(xiàn)，在這方面學生已經(jīng)在四年級上冊的“烙餅問題”和“統(tǒng)籌安排”中研究過。

再看另一個“租船問題”（如圖3）。

圖3

考慮“盡量坐人均價格低的”和“盡量坐滿”這兩個條件，用2輛大客車和3輛小客車應該最省錢。實際情況是這樣嗎？該用什么方法解決呢？

在三年級教材上冊中出現(xiàn)了這樣一道例題（如圖4）。

圖4

這道例題其實就是“租船問題”的前身，其解決方法是列表法。

受此啟發(fā)，可以考慮用列表法解決圖3中的問題。

大客車每個座位25元，小客車每個座位30元。

（150+5）÷40=3（輛）……35（人），3+1=4（輛）。

表1

顯然這里正好坐滿并不是最省錢的，像這樣的題目和生活例子還有很多。如果按照圖2所示的方法解決這個問題，就很容易陷入“最好的方法是同時滿足兩個條件”的誤區(qū)，從而出現(xiàn)遺漏“4 大0小”的情況。

為什么會出現(xiàn)這樣的矛盾呢？筆者認為，它跟實際的“人均價格”有著緊密的聯(lián)系。例如，75人打算租車去旅游，有圖3所示問題中的兩種客車可供選擇，這時，選擇2輛大客車，有空位，實際的“人均價格”為2000÷75≈27（元）；選擇3輛小客車，沒有空位，實際的“人均價格”為2250÷75=30（元）。顯然，用2輛大客車更省錢。也就是說，有時即使“用大客車會出現(xiàn)空位”，其實際的“人均價格”也會比“用小客車沒空位或空位較少”要低。如果總共有145人，租3輛大客車和1輛小客車正好坐滿，這是最省錢的租車方案。這里面似乎有一個“臨界點”，筆者試圖找到這個“臨界點”。現(xiàn)固定圖3所示問題中車輛的收費標準和載客量，試著探討一下。

表2

分析表2中加粗的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)它們無外乎以下幾類：“小客車載客量的整數(shù)倍+1（如26、51等）”“大客車、小客車載客量的整數(shù)倍的和+1（如66、91等）”和“大客車載客量的整數(shù)倍+1（如41、81等）”。這似乎就是“臨界點”。是否所有的“租船問題”都有類似的“臨界點”呢？現(xiàn)固定圖1所示問題中船只的收費標準和載客量，探討該問題中是否存在類似的“臨界點”。經(jīng)驗證，確實存在類似的“臨界點”。當然，即使一個結論在許多情況下都成立，也不能說明該結論在所有情況下都成立，但這是探索的開始，是一個方向，從特殊到一般也是研究數(shù)學問題的一種重要方法，所以值得嘗試。這個結論有待大家一同驗證。

當然，學生不需要理解這么深。但是，對于“租船問題”，也絕非僅知道上面提及的“兩個條件”就可以了。筆者認為，用列表法解決“租船問題”，在不失上述能力培養(yǎng)的同時，能更好地體現(xiàn)思維的嚴密性。那么列表法是如何體現(xiàn)思維嚴密性的呢？可以先從實際的“人均價格最低”入手，這就遵循了統(tǒng)籌、優(yōu)化思想的第一原則，再考慮座位數(shù)，就可以達到策略最優(yōu)化的目標了。解決問題的方法很多，但是作為教師，要熟知不同方法的不同價值，這樣才能發(fā)揮每種方法的最大作用，其實這也是統(tǒng)籌、優(yōu)化思想的體現(xiàn)。

（作者單位：浙江海鹽縣向陽小學）