高考“數(shù)學(xué)史料題”的賞析與啟示

陳雪蓮+王新宏

摘 要：每年高考試題中都有一定數(shù)量的“數(shù)學(xué)史料題”，它們背景新穎、內(nèi)涵深刻、立意深遠(yuǎn)、意雋味濃，使數(shù)學(xué)的文化性、應(yīng)用性和理論性有機(jī)結(jié)合，成為高考一道靚麗的風(fēng)景線.它們不但豐富了高考命題的素材，也為當(dāng)前課改引領(lǐng)了一個方向，更激發(fā)了莘莘學(xué)子的數(shù)學(xué)興趣，培養(yǎng)了他們的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力，也為他們逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀與價值觀提供了幫助.

關(guān)鍵詞：高考；數(shù)學(xué)史；文化；意義；賞析

數(shù)學(xué)是人類文明的火車頭，數(shù)學(xué)史是人類文化的重要組成部分.2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》在關(guān)于課程的基本理念中，明確指出要體現(xiàn)數(shù)學(xué)史的文化價值：數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢；數(shù)學(xué)對推動社會發(fā)展的作用；數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系；數(shù)學(xué)的美學(xué)價值；數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神.

隨著課程改革的不斷深入，數(shù)學(xué)的人文價值更明顯地凸顯出來，已普遍受到重視.縱觀最近幾年全國各地的高考，出現(xiàn)了一些以數(shù)學(xué)史為載體的高考試題，成為新課改理念下高考改革和發(fā)展的一道靚麗風(fēng)景.尤其是湖北省，已經(jīng)連續(xù)多年命制此類考題，逐漸形成了湖北高考數(shù)學(xué)卷的一大特色和亮點(diǎn).這一方面是為學(xué)生在平時學(xué)習(xí)時關(guān)注數(shù)學(xué)史提供導(dǎo)向，另一方面數(shù)學(xué)史作為一種數(shù)學(xué)文化走進(jìn)高考，讓高考試卷平添了幾分文化色彩與氣息；使高考試卷不再是“枯燥無味”“冰冷”的“人才考查”的一個工具，而是有趣有味的人文作品，讀之賞心悅目，思之奧妙無窮，回味之意猶未盡.

一、試題掃描

查閱了近年來的高考數(shù)學(xué)試卷后發(fā)現(xiàn)：幾乎每年都會出現(xiàn)與數(shù)學(xué)史相關(guān)的試題，涉及數(shù)學(xué)題材的內(nèi)容極為豐富，如古老的“畢達(dá)哥拉斯數(shù)”“回文數(shù)”“阿波羅尼斯圓”“秦九韶算法”以及古籍文獻(xiàn)中的立體幾何的相關(guān)問題等（見表1）.

高考試卷的題型有選擇、填空、解答及推演論證，以期通過運(yùn)用數(shù)學(xué)史來考查學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、邏輯推理能力、分析問題與解決問題的能力.

二、案例賞析

現(xiàn)遴選4個與數(shù)學(xué)史相關(guān)的高考題供賞析.

（一） 畢達(dá)哥拉斯圖形數(shù)顯風(fēng)采

畢達(dá)哥拉斯是古希臘著名的哲學(xué)家與數(shù)學(xué)家，他所創(chuàng)建的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，是在眾多的數(shù)學(xué)學(xué)派中對“形數(shù)”的研究最為突出的學(xué)派，該項(xiàng)研究強(qiáng)烈地反映了他們將數(shù)作為幾何思維元素的精神，有效地印證了“凡物皆數(shù)”的觀點(diǎn).

例1 （2012年湖北文科第17題）傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù).他們研究過如圖1所示的三角形數(shù)：

將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{bn}.可以推測：

（1）b2012是數(shù)列{an}中的第______項(xiàng)；

（2）b2k-1=______.（用k表示）

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派中的數(shù)學(xué)家非常喜歡用形表示數(shù)，如：他們曾用圖2形象地說明（1+2+…+n）2=13+23+…+n3.

（二）對稱美回文數(shù)

“回文”是我國古典文學(xué)作品中的一種有趣的特殊體裁，有回文詩、回文聯(lián)等.回文的特點(diǎn)是：在一篇作品中，作者精心挑選字詞，巧妙地安排順序，使得一篇作品倒過來從頭讀起，也同樣是有意義的作品，如“云邊月影沙邊雁，水外天光山外樹”，倒過來讀，便是“樹外山光天外水，雁邊沙影月邊云”，其意境和韻味讀來真是一種享受！數(shù)學(xué)與文學(xué)有著相似之處，在數(shù)學(xué)中也有“回文數(shù)”，如121，2002，12321，回文仍是原數(shù).在數(shù)學(xué)里，無論從左讀到右還是從右讀到左，都是同一個數(shù)的正整數(shù)稱為回文數(shù).

例2 （2012年湖北理科第13題）回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù).如22，121，3443，94249等.顯然二位回文數(shù)有9個：11，22，33，…，99.三位回文數(shù)有90個：101，111，121，…，191，202，…，999.則：

（Ⅰ）4位回文數(shù)有 個；

（Ⅱ）2n+1（n∈N+）位回文數(shù)有 個.

解析 （Ⅰ）4位回文數(shù)只用排列前面兩位數(shù)字，后面數(shù)字就可以確定，但是第一位不能為0，有9（1～9）種情況，第二位有10（0～9）種情況，所以4位回文數(shù)有9×10=90種.

（Ⅱ）法一：由上面多組數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，2n+1位回文數(shù)和2n+2位回文數(shù)的個數(shù)相同，所以可以算出2n+2位回文數(shù)的個數(shù).2n+2位回文數(shù)只用看前n+1位的排列情況，第一位不能為0有9種情況，后面n項(xiàng)每項(xiàng)有10種情況，所以個數(shù)為9×10n.

法二：可以看出二位數(shù)有9個回文數(shù)，三位數(shù)90個回文數(shù).計(jì)算四位數(shù)的回文數(shù)是可以看出在2位數(shù)的中間添加成對的“00，11，22，…，99”，因此四位數(shù)的回文數(shù)有90個，按此規(guī)律推導(dǎo)S2n=10S2n-2，而當(dāng)奇數(shù)位時，可以看成在偶數(shù)位的最中間添加0～9這十個數(shù)，因此S2n=10S2n，則答案為9×10n.

回文數(shù)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)背景下的對稱之美，回文數(shù)有趣而美妙的性質(zhì)有：

（1）除了11，1331以外，所有回文數(shù)的位數(shù)都是奇數(shù).

（2）在完全平方數(shù)、完全立方數(shù)中的回文數(shù)，其比例要比一般自然數(shù)中回文數(shù)所占的比例大得多；例如112=121，222=484，73=343，113=1331，都是回文數(shù).

（3）人們至今未能找到四次方、五次方以及更高次冪的回文素?cái)?shù)；于是數(shù)學(xué)家們猜想：不存在nk（k≥4，k，n∈N*）形式的回文數(shù).

（三）魅力阿波羅尼斯圓

一般地，平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)λ（0<λ≠1） 的動點(diǎn)的軌跡是圓，這個圓叫作阿波羅尼斯圓；阿波羅尼斯是繼歐幾里得、阿基米德之后的又一代著名數(shù)學(xué)家，他們?nèi)齻€并稱為亞歷山大時期的數(shù)學(xué)三巨匠.以阿波羅尼斯圓為背景的高考試題屢見不鮮，據(jù)統(tǒng)計(jì)，在近十年高考中，出了13道考題，阿波羅尼斯圓的魅力體現(xiàn)得淋漓盡致.

解析3（特殊點(diǎn)）

既然對圓O上任意一點(diǎn)M，都有|MB|=λ|MA|，使得λ與b為常數(shù)，那么我們何不把點(diǎn)M取為特殊點(diǎn)呢？取M（1，0）與M（0，1）代入|MB|=λ|MA|得：b2+1=5λ2，（b-1）2=9λ2，得b=-，λ=.

點(diǎn)評 大部分考生想不到特殊化的數(shù)學(xué)思想解題，主要原因是他對特殊與一般的數(shù)學(xué)思想理解得不夠深刻，不夠到位，再加上平時訓(xùn)練得又較少甚至沒有，故想不到簡便的解題策略.

高考源于教材，高于教材，阿波羅尼斯圓的身影就在我們的教材中：（人教A版必修2習(xí)題4.1 B組第3題）已知點(diǎn)M（x，y）與兩個定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）的距離之比，求點(diǎn)M的軌跡方程.

（四）古色古香中國古文獻(xiàn)

據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，幾乎每一年都有以我國古代數(shù)學(xué)名著如《九章算術(shù)》《數(shù)術(shù)九章》《算數(shù)書》等為素材命制的中國古文化高考真題.它們大多與體積有關(guān)，以古代社會人們的生活實(shí)際和生產(chǎn)實(shí)際為背景（對考生來說比較陌生與新穎），并且是用古漢語描述的.這就要求考生懂一定量的古漢語知識，能從試題的字里行間挖掘出數(shù)學(xué)要素，不斷地經(jīng)歷直觀感知，觀察分析，歸納類比，空間想象，抽象概括，數(shù)據(jù)處理，運(yùn)算求解.反思與建構(gòu)等思維過程，這一方面，引導(dǎo)考生對題目中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識、方法進(jìn)行提取、推理、思考、判斷是考生解決問題能力的體現(xiàn)，但另一方面我們也不得不驚嘆古人的聰明、睿智以及對數(shù)學(xué)問題用古漢語詩意般的精彩論述.

例4 （2013年湖北文科第16題）我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中積水深九寸，則平地降雨量是 寸.

解析 如圖3所示天池盆的半軸截面，那么盆中積水的體積為V=×9×（62+102+6×10）=3×196π（立方寸），盆口面積S=196π（平方寸），所以，平地降雨量為=3（寸）.

點(diǎn)評 本題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.其次，它體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)文化的重視，它的意義和價值實(shí)際上已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了試題本身.

從以上可以看出，關(guān)注數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化以及數(shù)學(xué)科普知識，對我們有著一定的導(dǎo)向作用，教育功能，以及非常重要的現(xiàn)實(shí)意義；它們在一定程度上展示了原本數(shù)學(xué)的美，傳達(dá)了一種勇于探索、鍥而不舍的數(shù)學(xué)精神.因此，高考對數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化的母子、親情關(guān)系另眼相看，它們也一定會引領(lǐng)我們的日常教學(xué)，創(chuàng)建富有數(shù)學(xué)文化魅力的靈動課堂，讓學(xué)生陶醉在數(shù)學(xué)史的歷史長河中，享受在數(shù)學(xué)文化對人類文明的貢獻(xiàn)中，真切體會數(shù)學(xué)的美、數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的偉大所在.

三、啟示

（一）體現(xiàn)穩(wěn)定與創(chuàng)新并舉

高考數(shù)學(xué)一直在貫徹堅(jiān)持穩(wěn)定為主，注重基礎(chǔ)考查，突出能力立意，著力內(nèi)容創(chuàng)新，不一味迎合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)模式.因此，從實(shí)際出發(fā)，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際與考試效度的需要，兼顧公平性與創(chuàng)新性，選擇恰當(dāng)?shù)膸в腥宋男缘摹皵?shù)學(xué)史料題”便順理成章了.

（二）為教學(xué)改革鋪磚墊瓦

高考中的數(shù)學(xué)史料題，素材新穎、構(gòu)思精巧、立意高遠(yuǎn)、意雋味濃、視角獨(dú)特、導(dǎo)向鮮明等特點(diǎn)都充分體現(xiàn)了新課改的理念.

高考試題中蘊(yùn)含數(shù)學(xué)史料題的深意，絕不單純是“秀”幾道高考題這么簡單.中學(xué)教師應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)課改的影響，為此教學(xué)中應(yīng)該重視數(shù)學(xué)史的教學(xué)與反思.運(yùn)用歷史發(fā)生教學(xué)原理，不僅可以啟發(fā)學(xué)生思維，幫助學(xué)生掌握學(xué)科體系，而且可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力；因此在開展數(shù)學(xué)教學(xué)時，應(yīng)當(dāng)適當(dāng)了解歷史上相關(guān)問題的發(fā)展過程，分析哪些困難可以通過數(shù)學(xué)史的途徑加以克服，然后再根據(jù)學(xué)生的需要設(shè)計(jì)教學(xué)，這樣做，可使數(shù)學(xué)史的應(yīng)用深入到學(xué)生的認(rèn)知層面，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)問題意識.

可以預(yù)見，數(shù)學(xué)史是一座有待開發(fā)的寶山，有待于我們從多角度、多方位進(jìn)一步開發(fā)，進(jìn)而引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)和評價方式的改變，為教學(xué)改革鋪磚墊瓦.

（三）增強(qiáng)了數(shù)學(xué)的育人功能

數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)文化的教育，而數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的重要載體，通過對數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)問題、發(fā)明方法、創(chuàng)造思想的了解，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造精神和創(chuàng)新能力；另一方面，數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系、數(shù)學(xué)的美學(xué)價值、數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神、數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，都將有利于學(xué)生逐步認(rèn)識真實(shí)的數(shù)學(xué)以及形成正確的數(shù)學(xué)觀和價值觀.