Euclid域中丟番圖方程整數(shù)解的進(jìn)一步討論

鄔　毅，張正萍，龍　蘭

(重慶科技學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，重慶　401331)

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Euclid域中丟番圖方程整數(shù)解的進(jìn)一步討論

鄔毅，張正萍，龍?zhí)m

(重慶科技學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，重慶401331)

摘要：研究了一個(gè)典型的丟番圖方程在Euclid域中整數(shù)解的問(wèn)題。利用二次域中的理論和二次代數(shù)整數(shù)環(huán)中的算術(shù)基本定理，得到了該方程的一般解法及其在Euclid域中所有整數(shù)解的相關(guān)結(jié)論，推廣了前人研究的結(jié)果。

關(guān)鍵詞：丟番圖方程；Euclid域；整數(shù)解

1預(yù)備知識(shí)

關(guān)于丟番圖方程

(1)

當(dāng)D<0時(shí)，樂(lè)茂華[4]對(duì)于一般的D和p僅證明了當(dāng)D≠4pr-1(其中r是正整數(shù))時(shí)必有其解數(shù)N(D,p)≤2，而該方程在實(shí)二次域中的一般解法尚未給出。作為代數(shù)數(shù)論中的重要組成部分，二次域及二次域中的算術(shù)基本定理對(duì)研究該類(lèi)方程的整數(shù)解有著重要作用。

引理2[5]α∈A2(全體Q上的2次代數(shù)數(shù)組成的集合)的充要條件是

2r∈Z,r2-Ds2∈Z

引理3[5]設(shè)D滿足引理2的條件，即

那么，α是二次代數(shù)整數(shù)的充要條件，可表示為

(2)

定理1[5]當(dāng)D>1時(shí)，對(duì)每個(gè)D必有無(wú)窮多個(gè)形如式(2)的單位，具體如下：

2主要結(jié)果的證明

首先證明當(dāng)D=-21時(shí)，丟番圖方程

(3)

僅有整數(shù)解(x,y)=(±5,1)。

證明丟番圖方程(3)可以化為

(4)

情形1

(5)

情形2

(6)

若式(5)成立，則有

故有

由此得到

24x=a5+210a3b2+2 205ab4=

a(a4+210a2b2+2 205b4)

以及

24=5a4b+210a2b3+441b5=

b(5a4+210a2b2+441b4)

(7)

由式(7)可得：b=±1或±2k，其中k=1,2,3,4。

① 若b=1，由式(7)得a4+42a2+85=0，顯然方程沒(méi)有整數(shù)解。

② 若 b=-1，由式(7)得5a4+210a2+457=0，此時(shí)方程也無(wú)整數(shù)解。

③ 若b=±2k，左邊24≡24(mod25)，而右邊b(5a4+210a2b2+441b4)≡0(mod25)，矛盾。從而丟番圖方程(3)在形如式(5)的分解下無(wú)整數(shù)解。

若式(6)成立，當(dāng)n=1時(shí)有

由此得到

故有

5a5+1 050a3b2+1 1025ab4+105a4b+

4 410a2b3+9 261b5=±25x

25a4b+1 050a2b3+2 205b5+a5+

210a3b2+2 205ab4=±25

解得a=±2,b=0，進(jìn)而有(x,y)=(±5,1)。

由于當(dāng)D<0且D≠4pr-1(其中r是正整數(shù))時(shí)，丟番圖方程(3)的解數(shù)N(D,p)≤2，從而當(dāng)D=-21時(shí)丟番圖方程(3)僅有整數(shù)解(±5,1)，證明完畢[4]。

參考文獻(xiàn)：

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[2]鄔毅,龍?zhí)m.Euclid 域中 Diophantus 方程的整數(shù)解[J].數(shù)學(xué)雜志,2015,35(4):1012-1016.

[3]張麗平.關(guān)于不定方程x2+7=4y3[J].長(zhǎng)春工程學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007,8(1):84-85.

[5]潘承洞,潘承彪.代數(shù)數(shù)論[M].2版.濟(jì)南:山東大學(xué)出版社,2001.

[6]郭小芳,李鋒,宋曉寧,等.基于加權(quán)Euclid范數(shù)的MTS異常檢測(cè)[J].計(jì)算機(jī)科學(xué),2014,41(5):263-265.

[7]馮克勤.代數(shù)數(shù)論[M].北京:科學(xué)出版社,2000.

(責(zé)任編輯陳艷)

Further Discussion on the Integer Solutions of Diophantine Equation on Euclid Field

WU Yi, ZHANG Zheng-ping, LONG Lan

(College of Mathematics and Physics, Chongqing University of Science & Technology, Chongqing 401331, China)

Abstract:We studied the integer solutions of a typical Diophantine equation on the Euclid field. We obtained the general solving method of this class of Diophantine equations and all the integer solutions by some theories on quadratic fields and the fundamental theorem of arithmetic on the ring of quadratic algebraic integers. On the other hand, we generalized some results in previous research achievement.

Key words:Diophantine equation; Euclid field; integer solution

收稿日期：2016-02-15

基金項(xiàng)目：重慶市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(cstc2013jcyjA10049)；重慶科技學(xué)院優(yōu)秀中青年骨干教師公派出國(guó)(境)深造項(xiàng)目(2012)

作者簡(jiǎn)介：鄔毅(1982—)，男，重慶人，碩士，講師，主要從事數(shù)論研究。

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.05.023

中圖分類(lèi)號(hào)：O156.7

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1674-8425(2016)05-0132-03

引用格式：鄔毅，張正萍，龍?zhí)m.Euclid域中丟番圖方程整數(shù)解的進(jìn)一步討論[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2016(5):132-134.

Citation format：WU Yi, ZHANG Zheng-ping, LONG Lan.Further Discussion on the Integer Solutions of Diophantine Equation on the Euclid Field[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(5):132-134.