卡氏定理求解電梯復(fù)雜折彎結(jié)構(gòu)的變形

【摘要】在電梯設(shè)計(jì)中，經(jīng)常需要對(duì)電梯井道部件的強(qiáng)度及變形求解以確認(rèn)該結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)合理性。在基于降低井道尺寸的原則下，井道部件的布置往往比較緊湊，用于支承井道部件的結(jié)構(gòu)往往為了避開某些部件而設(shè)計(jì)成多重折彎的結(jié)構(gòu)。計(jì)算這些復(fù)雜折彎結(jié)構(gòu)的變形通常采用疊加法，但是疊加法的計(jì)算過程比較繁瑣和結(jié)果容易出錯(cuò)，采用卡氏定理[1]計(jì)算可以比較快捷及正確的求解結(jié)果。本文闡述了利用卡氏定理求解電梯中復(fù)雜折彎結(jié)構(gòu)的變形的方法。

【關(guān)鍵詞】電梯設(shè)計(jì)；卡氏定理；復(fù)雜折彎結(jié)構(gòu)；變形

1、通常求解變形的方法

如圖1所示，復(fù)合折彎部件端部O固定，已知部件的尺寸如圖所示，部件的彈性模量、慣性矩及截面面積分別為E、I及A。在端點(diǎn)處施加一個(gè)垂直于部件的力F，求端點(diǎn)A沿力F方向的變形。通常的求解方法是采用疊加法進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算方法如圖2所示，計(jì)算步驟如下：

第一步，把力F等效到L1桿端點(diǎn)處，此時(shí)L1端點(diǎn)處的力和力矩分別為F和M1=F（L2cosθ+L3），計(jì)算此時(shí)L3端點(diǎn)處沿力F方向的變形δ1；

第二步，此時(shí)L1桿由于受力保持不動(dòng)，把L1桿等效為固定點(diǎn)，把力F等效到L2桿端點(diǎn)處，此時(shí)L1端點(diǎn)處的力和力矩分別為F和M2=FL3，計(jì)算此時(shí)L3端點(diǎn)處沿力F方向的變形δ2；

第三步，此時(shí)L1和L2桿由于受力保持不動(dòng)，把L1和L2桿等效為固定點(diǎn)，計(jì)算此時(shí)L3端點(diǎn)處沿力F方向的變形δ3。

則該復(fù)合折彎部件最終在端點(diǎn)處沿力方向的變形δ=δ1+δ2+δ3。由以上3步可知，每次疊加計(jì)算L3端點(diǎn)處沿力F方向的變形包括2個(gè)方面，一個(gè)是隨著作用點(diǎn)的變形，一個(gè)是由于作用點(diǎn)的轉(zhuǎn)角而產(chǎn)生的位移，疊加過程非常繁瑣，如果折彎處數(shù)過多，則疊加次數(shù)也更多，而且非常容易求解錯(cuò)誤。

2、卡氏定理求解變形的方法

基于以上原因，現(xiàn)在介紹一種非常簡(jiǎn)易的求解復(fù)合折彎結(jié)構(gòu)的變形的方法，即卡氏定理（CastiglianosTheorem）：彈性體上某廣義力作用點(diǎn)處的相應(yīng)廣義位移，等于變形能對(duì)該廣義力的偏導(dǎo)數(shù)。具體數(shù)學(xué)表達(dá)式如下所示。

M（x）、N（x）、T（x）為彈性體中彎矩、軸力及扭矩；EI、EA、GIp分別為材料抗彎剛度、抗拉剛度及抗剪剛度；Pk為廣義力。

下面將示例利用卡氏定理對(duì)圖1所示結(jié)構(gòu)的變形進(jìn)行求解。

各段桿的內(nèi)力分別為：

分別求得A→B，B→C，C→O各段內(nèi)力分別為M1=Fx，M2=F（l3+xcosθ），M3=Fx，其中B→C段軸力N=Fsinθ對(duì)桿件變形的影響極小，可忽略不計(jì)。

根據(jù)卡氏定理， 點(diǎn)沿力 方向的變形為：

由以上可知，利用卡氏定理求解變形比較的簡(jiǎn)便，主要分以下2步：

第一步：求解各段桿中的內(nèi)力；

第二步：把內(nèi)力代入卡氏定理公式求解變形。

由于求解各段桿的內(nèi)力是比較容易的，第2步只需要把內(nèi)力帶入卡氏定理的公式即可，所以，利用卡氏定理求解復(fù)合折彎結(jié)構(gòu)的變形是非常的簡(jiǎn)易的。

3、卡氏定理在電梯設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

電梯設(shè)計(jì)中，隨行電纜掛線架用于支撐隨行電纜。假設(shè)隨行電纜掛線架支架設(shè)計(jì)成圖3所示，當(dāng)支架晃動(dòng)20mm以上時(shí)隨行電纜掛線架會(huì)和轎廂發(fā)生干涉。試確定提升高度St=90m時(shí)電梯的隨行電纜掛線架支架在電梯抗震等級(jí)[2]設(shè)計(jì)為2時(shí)是否會(huì)和轎廂發(fā)生干涉。

其中L1=150mm，L2=100mm，L3=500mm，θ=45°；隨行電纜掛線架支架慣性矩I=833333.33mm4，隨行電纜質(zhì)量M=St/2*Pt=90m/2*1.0kg/m=45kg，其中Pt為隨行電纜單位重量；隨行電纜掛線架支架材質(zhì)為Q235，其彈性模量E=210GPa?？拐鸬燃?jí)為2時(shí)隨行電纜的設(shè)計(jì)加速度a=4m/s2，考慮最惡劣工況，隨行電纜水平地震力都集中于支架端部，則支架端部的水平受力F=M×a=45×4=180N。根據(jù)卡氏定理可求得隨行電纜掛線架支架沿水平力方向的變形f=12.97mm<20mm，所以隨行電纜掛線架在電梯抗震等級(jí)為2時(shí)不會(huì)和轎廂發(fā)生干涉。

4、卡氏定理運(yùn)用總結(jié)

本文介紹了一種求解復(fù)合折彎結(jié)構(gòu)變形的計(jì)算方法，即利用卡氏定理簡(jiǎn)易求解沿力作用方向的變形。在實(shí)際計(jì)算中，卡氏定理需要有條件的使用，只有在滿足以下條件時(shí)，才可以利用卡氏定理進(jìn)行求解變形。1）結(jié)構(gòu)需要是彈性體，卡氏定理是基于彈性體的物理性原理推導(dǎo)而出；2）卡氏定理只能求解沿廣義力方向上的變形，這是因?yàn)榭ㄊ隙ɡ碓谕茖?dǎo)過程使用了功能原理：廣義力做功等于彈性體的總變形能；3）卡氏定理只適用于集中載荷下的變形求解。在電梯的井道件設(shè)計(jì)檢討中，經(jīng)常需要對(duì)井道件進(jìn)行折彎設(shè)計(jì)以避開干涉。同時(shí)需要對(duì)井道件發(fā)生晃動(dòng)可能產(chǎn)生的不良影響進(jìn)行檢討，這時(shí)候就需要校核井道部件的強(qiáng)度和變形。對(duì)于復(fù)雜的井道件，利用卡氏定理求解變形往往是一種比較好的方法。

參考文獻(xiàn)

[1]《材料力學(xué)》.張如三，王天明著.中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2010年.

[2]《地震情況下的電梯要求》GB/T 31095-2014.

作者簡(jiǎn)介

姓名：洪水.性別：男.年齡：28歲.學(xué)歷：本科.工作單位：日立電梯（中國(guó)）有限公司.