橢圓曲線y2=px(x2-2)的整數(shù)點(diǎn)

趙晶晶

(滇西科技師范學(xué)院 后勤管理處，云南 臨滄 677000)

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橢圓曲線y2=px(x2-2)的整數(shù)點(diǎn)

趙晶晶

(滇西科技師范學(xué)院 后勤管理處，云南 臨滄 677000)

摘要：設(shè)p是大于1的無(wú)平方因子的正奇數(shù).證明了如果p的素因素q都滿足q≡3(mod 8)，則橢圓曲線y2=px(x2-2)無(wú)正整數(shù)點(diǎn)；如果p的素因素p都滿足q≡5(mod 8)，則橢圓曲線y2=px(x2-2)至多有2組正整數(shù)點(diǎn).

關(guān)鍵詞：橢圓曲線；正整數(shù)點(diǎn)；奇素?cái)?shù)

橢圓曲線的整數(shù)點(diǎn)是數(shù)論和算術(shù)代數(shù)幾何學(xué)中基本而又重要的問(wèn)題，關(guān)于橢圓曲線y2=ax(x2±b)的整數(shù)點(diǎn)問(wèn)題，目前主要結(jié)論如下：

(Ⅰ)b=1時(shí)主要結(jié)論為：祝輝林、陳建華[1]證明了橢圓曲線y2=px(x2+1)和y2=px(x2-1)至多有1組正整數(shù)點(diǎn)； 樂(lè)茂華[2]證明了當(dāng)p≡1(mod 8)，橢圓曲線y2=px(x2+1)僅當(dāng)p=2時(shí)有正整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(2,1)；當(dāng)p≡1(mod 8)時(shí)至多有1組正整數(shù)點(diǎn)(x,y)；橢圓曲線y2=px(x2-1)僅當(dāng)p=5和29時(shí)各有1組正整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(9,60)和(x,y)=(9 801,25 220)； 管訓(xùn)貴[3]證明了Fn(n≥2)為費(fèi)馬素?cái)?shù)時(shí)，橢圓曲線y2=px(x2+1)僅有1個(gè)正整數(shù)點(diǎn)(x,y)=((Fn-2-1)2,Fn(Fn-2-1))；楊海、付瑞琴[4]給出了橢圓曲線y2=px(x2+1)在p≡9(mod 16)時(shí)沒有正整數(shù)點(diǎn)；對(duì)于p≡1(mod 16)時(shí)的情況給出了該橢圓曲線有正整數(shù)點(diǎn)的兩個(gè)判別條件；竇志紅[5]給出了對(duì)于某些特殊素?cái)?shù)p，橢圓曲線y2=2px(x2+1)的上界；趙院娥[6]給出了對(duì)于某些特殊素?cái)?shù)p，橢圓曲線y2=2px(x2-1)的上界.

(Ⅱ)b=2時(shí)主要結(jié)論為: 陳歷敏[7]證明了當(dāng)無(wú)平方因子的正奇數(shù)n是適合n≡5或7(mod 8)的奇素?cái)?shù)時(shí)，方程y2=nx(x2+2)無(wú)非零整數(shù)解；廖思泉、樂(lè)茂華[8]證明了當(dāng)p≠3為奇素?cái)?shù)時(shí)，如果p≡5或7(mod 8)，則橢圓曲線y2=px(x2+2)沒有正整數(shù)點(diǎn)；如果p≡1(mod 8)，則y2=px(x2+2)至多有一組正整數(shù)點(diǎn)；如果p≡3(mod 8)，則y2=px(x2+2)至多有2組正整數(shù)點(diǎn)；李玲、張緒緒等[9]證明了如果n的素因素p都滿足p≡5或7(mod 8)，則方程y2=nx(x2+2)無(wú)非零整數(shù)解；杜曉英[10]給出了p≡1(mod 8)為奇素?cái)?shù)時(shí)，橢圓曲線y2=px(x2+2)有正整數(shù)點(diǎn)的判別條件，并證明了p<100時(shí)該曲線沒有正整數(shù)點(diǎn)；張瑾[11]給出了p≡1(mod 8)為奇素?cái)?shù)時(shí)，橢圓曲線y2=px(x2+2)有正整數(shù)點(diǎn)的若干判別條件.

(Ⅲ)b=4時(shí)主要結(jié)論為：崔軍保[12]證明了p≠5為奇素?cái)?shù)時(shí)橢圓曲線y2=px(x2+4)至多有1組正整數(shù)點(diǎn)，p=5時(shí)恰有2組正整數(shù)點(diǎn)(1,5)，(4,21)；萬(wàn)飛[13]給出了當(dāng)n為奇素?cái)?shù)時(shí)，橢圓曲線y2=nx(x2-4)至多有一組正整數(shù)點(diǎn).

(Ⅳ)b=64時(shí)主要結(jié)論為：崔保軍[14]給出了當(dāng)p為奇素?cái)?shù)時(shí)，如果p≡1(mod 8)，則橢圓曲線y2=px(x2+64)至多有三對(duì)正整數(shù)點(diǎn)；如果p≡3(mod 8)，則y2=px(x2+64)無(wú)正整數(shù)點(diǎn)；如果p≡7(mod 8)，則y2=px(x2+64)至多有一對(duì)正整數(shù)點(diǎn)；如果p≡5(mod 8)，則y2=px(x2+64)僅當(dāng)p=5時(shí)有兩對(duì)正整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(4,40)，(16,160)和p=13時(shí)有一對(duì)正整數(shù)點(diǎn)(x,y)=(144,6 240).

本文研究橢圓曲線：

(1)

正整數(shù)解的存在問(wèn)題.

引理1[15]a,b∈Z+，則方程ax4-by2=1至多有2組正整數(shù)解.

定理1如果無(wú)平方因子的正奇數(shù)p的素因素q都滿足q≡3(mod 8)，則橢圓曲線(1)無(wú)正整數(shù)點(diǎn)；如果q都滿足q≡5(mod 8)，則橢圓曲線(1)至多有2組正整數(shù)點(diǎn).

證明設(shè)(x,y)是橢圓曲線(1)的正整數(shù)點(diǎn)，因?yàn)閜是無(wú)平方因子的正奇數(shù)，故由橢圓曲線(1)知p|y，設(shè)y=pz，z∈Z，將其代入方程橢圓曲線(1)，得：

(2)

因?yàn)間cd(x,x2+2)=gcd(x,2)=1或2 ，故方程(2)可分解為以下2種情況：

情形ix=p1a2，x2-2=p2b2，z=ab，p=p1p2，gcd(a,b)=1；

情形iix=2p1a2，x2-2=2p2b2，z=2ab，p=p1p2，gcd(a,b)=1.

情形i將第一式代入第二式得：

(3)

p2>1時(shí)，則p2一定含有素因子q，則由題意得q≡3或5(mod 8).對(duì)式(3)兩邊同時(shí)取模q，得：

(4)

p2a4-b2=2

(5)

對(duì)式(5)兩邊同時(shí)取模8，得：

p2a4-b2=2(mod8)

(6)

由第一式和第二式知此時(shí)gcd(x,2)=1，故此時(shí)x為奇數(shù) ，故x2+2也是奇數(shù)，又p為正奇數(shù)，則由方程(2)知z為奇數(shù)，故a,b均為奇數(shù)，因此a2≡1(mod8)，b2≡1(mod8)，則a4≡1(mod8).又p2=1，p為正奇數(shù)，故p2≡1(mod8)，因此有：0≡1-1≡p2a4-b2≡2(mod8)，矛盾，因此此時(shí)情形(i)不成立.

綜上有情形(i)不成立，故情形(i)下橢圓曲線(1)無(wú)正整數(shù)點(diǎn).

情形(ii)將第一式代入第二式得：

(7)

p2>1時(shí)，則p2一定含有素因子q，則由題意得q≡3或5(mod8).對(duì)式(7)兩邊同時(shí)取模q，得：

(8)

p2=1時(shí)，式(7)變成2p2a4-1=b2，即：

2p2a4-b2=1.

(9)

由引理1知，方程(8)至多有2組正整數(shù)解，故q≡5(mod 8)時(shí)方程(2)至多有2組正整數(shù)解，即橢圓曲線(1)至多有2個(gè)正整數(shù)點(diǎn).

又因?yàn)閜2=1，則p1=p，故p一定含有素因子q，則由題意得q≡3或5(mod 8).對(duì)式(9)兩邊同時(shí)取模q，得：

-b2=1(modq)

(10)

綜上有情形(ii)下q≡3(mod8)時(shí)橢圓曲線(1)無(wú)正整數(shù)點(diǎn)；q≡5(mod8)時(shí)橢圓曲線(1)至多有2組正整數(shù)點(diǎn).

參考文獻(xiàn):

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[3]管訓(xùn)貴.關(guān)于橢圓曲線y2=px(x2+1)的一個(gè)注記[J].四川理工學(xué)院(自然科學(xué)版)，2010,23(4)：384-393.

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[5]竇志紅.橢圓曲線y2=2px(x2+1)上正整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2011,27(2)：210-212,235.

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責(zé)任編輯：時(shí)凌

The Integral Points on the Elliptic Curvey2=px(x2-2)

ZHAO Jingjing

(Department of Logistics Management,Dianxi Science and Technology Normal University,Lincang 677000,China)

Abstract：Let p be a positive prime such that p is square free.We proved that if every prime divisor q of p satis fies q≡3(mod 8),then the elliptic curve in title has no positive integer points; if every prime divisor q of p satisfies q≡5(mod 8),then the elliptic curve in title has at most two positive integer points.

Key words：elliptic curve;integer point;odd prime

收稿日期：2015-11-19.

作者簡(jiǎn)介：趙晶晶(1986- )，女(彝族)，碩士生，主要從事數(shù)論及計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)的研究.

文章編號(hào)：1008-8423(2016)01-0040-02

DOI:10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.03.010

中圖分類號(hào)：O156.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A