基于D數(shù)理論的不確定多屬性決策方法

王寧奎,魏代俊

(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院,湖北 恩施 445000)

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基于D數(shù)理論的不確定多屬性決策方法

王寧奎,魏代俊*

(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院,湖北 恩施 445000)

摘要：針對(duì)不確定多屬性決策過(guò)程中信息缺失且關(guān)聯(lián)時(shí)難以決策的問題,提出了一種基于D數(shù)理論的計(jì)算方法.該方法通過(guò)屬性權(quán)重值的大小來(lái)決定D數(shù)融合順序,如果權(quán)重值相等,則按照D數(shù)客觀評(píng)估值大小順序融合.該方法結(jié)合D數(shù)理論可實(shí)現(xiàn)屬性信息缺失與關(guān)聯(lián)時(shí)的不確定信息下的多屬性決策,最后通過(guò)汽車引擎選擇實(shí)例驗(yàn)證了該方法的有效性與可行性.

關(guān)鍵詞：評(píng)估決策；不確定信息；D數(shù)理論；D數(shù)融合

證據(jù)理論最初由Dempster于1967年提出,并于1976年由其學(xué)生Shafer加以完善[1-2].Dempster 提出了集值映射的概念,并定義了上下概率[1],在1976年,Shafer用基本概率指派函數(shù)重新詮釋了上下概率,建立完善的證據(jù)數(shù)學(xué)理論[2].

同時(shí)D數(shù)理論還在不斷發(fā)展完善.針對(duì)D數(shù)融合規(guī)則不滿足交換律的問題,其博士生鄧鑫洋為D數(shù)融合提出了一種融合順序,按D數(shù)權(quán)重值大小融合D數(shù).如果權(quán)重值相同,則所有可能的融合結(jié)果均被計(jì)算出來(lái),其中D數(shù)集成最大值為最優(yōu)融合結(jié)果,D數(shù)集成最小值為最差融合結(jié)果.但同時(shí)它帶來(lái)的問題是,當(dāng)D數(shù)權(quán)重值相等的時(shí)候,計(jì)算出所有可能的融合結(jié)果的計(jì)算量相當(dāng)大.針對(duì)這個(gè)不足,本文提出了一種新的計(jì)算方法,如果D數(shù)的權(quán)重值不相等,則首先按照D數(shù)權(quán)重值的大小順序融合.而當(dāng)D數(shù)權(quán)重值相等的時(shí)候,則按照D數(shù)自身的評(píng)價(jià)值大小融合.

1基本知識(shí)簡(jiǎn)介

1.1D-S理論(D-S theory)[1-2]

D-S理論定義Θ為識(shí)別框架,它是由相互獨(dú)立的元素組成的集合.Θ的冪集是由辨識(shí)框架中所有元素的子集構(gòu)成的集合,表示成2Θ.定義概率指派函數(shù)m:2Θ→[0,1],使得：

(1)

其中:?為空集,A為辨識(shí)框架的冪集中的元素.m稱為基本概率指派函數(shù)(BPA)且0≤m(A)≤1,m(A)表示對(duì)命題A的信任程度.如果m(A)>0,A稱為一個(gè)焦元,所有焦元的集合稱為核.

Dempster組合規(guī)則是證據(jù)理論的核心部分,它可以用于融合多組證據(jù).設(shè)m1,m2,…,mn為辨識(shí)框架下的n個(gè)基本信任指派函數(shù).其融合規(guī)則m=m1⊕m2⊕m3⊕…⊕mn定義為:

(2)

1.2D數(shù)理論[12]

作為證據(jù)理論的推廣,D數(shù)理論擴(kuò)展了證據(jù)理論中元素互斥與完備的假設(shè).設(shè)Ω為非空集合,D數(shù)是一個(gè)映射D:D→[0,1],使得:

(3)

其中?為空集,B是集合Ω的一個(gè)子集.可以發(fā)現(xiàn),D數(shù)理論與證據(jù)理論的定義很相似,然而他們?cè)诒举|(zhì)上存在著很大差異,用下面一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明兩個(gè)理論之間的區(qū)別.

假設(shè)兩種方法被用于評(píng)估一輛汽車.評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)表示在區(qū)間[0,100]上,在證據(jù)理論中,一名專家可以給出他的評(píng)估結(jié)果為：m({a1})=0.3,m({a2})=0.5,m({a1,a2,a3})=0.2；

其中:a1=[1,30],a2=[31,68],a3=[67,100],顯然a1,a2與a3相互獨(dú)立且信任函數(shù)之和為1. 集合(a1,a2,a3)為辨識(shí)框架.另一個(gè)人用D數(shù)表示評(píng)估結(jié)果為：D({b1})=0.3,D({b2})=0.5,D({b1,b2,b3})=0.1.

其中:b1=[1,30],b2=[24,68],b3=[60,100],顯然a1,a2與a3并非相互獨(dú)立,且對(duì)每個(gè)b的信任程度之和小于1.從實(shí)際情況看,這兩種評(píng)價(jià)都有存在的可能.

或者被簡(jiǎn)單得寫成：

D={(b1,v1)(b2,v2)(b3,v3)…(bn,vn)}.

定義2(D數(shù)融合規(guī)則)：令D1,D2為兩個(gè)D數(shù)：

D1,D2的融合表示為D=D1⊕D2,其定義為:D()=v.

由D數(shù)的融合規(guī)則可以發(fā)現(xiàn),多個(gè)D數(shù)相互融合的時(shí)候并不滿足交換律.為此,鄧鑫洋于2014年給出了一種D數(shù)融合順序[14].

定義4令D1,D2,…,Dn為n個(gè)D數(shù),uj為每個(gè)D數(shù)的順序變量,表示為(uj,Duj),多個(gè)D數(shù)融合定義為fD,使得：

其中:Dλi為(uj,Duj)中的Duj,它有第i小的值uj.

在文獻(xiàn)[14]中,每一個(gè)D數(shù)是一個(gè)專家對(duì)于客觀事物的主觀評(píng)價(jià),而每個(gè)專家相對(duì)是存在著相對(duì)重要性的,所以在多元D數(shù)融合的過(guò)程中,專家的權(quán)重定義為這個(gè)D數(shù)的順序變量.當(dāng)順序變量為一樣的值時(shí),一種最優(yōu)最差的融合規(guī)則被定義了.所有可能的融合結(jié)果均被計(jì)算出來(lái),而D數(shù)集成最大與最小的值被定義為最優(yōu)與最差的融合結(jié)果.但是這種融合方法計(jì)算量相當(dāng)大,對(duì)于n個(gè)D數(shù),需要進(jìn)行n!次融合.

2基于D數(shù)理論的不確定多屬性決策方法

2.1一種新的D數(shù)融合規(guī)則

本文提出了一種新的基于D數(shù)理論的多屬性決策計(jì)算方法.給定每個(gè)D數(shù)一個(gè)順序變量,首先按照順序變量融合.當(dāng)順序變量相同時(shí),則按D數(shù)的客觀評(píng)價(jià)等級(jí)值大小作為融合順序.

由D數(shù)融合規(guī)則可以發(fā)現(xiàn),先融合的評(píng)估值對(duì)最后的評(píng)價(jià)結(jié)果影響較小,而后融合的評(píng)估等級(jí)則為最后的融合結(jié)果作出更大的貢獻(xiàn).所以,對(duì)于一般形式表示的D數(shù),當(dāng)順序變量相同的時(shí)候,可以選取兩種融合順序,一是按照客觀評(píng)價(jià)值(即b值)從大到小融合,而當(dāng)客觀等級(jí)評(píng)價(jià)值完全一樣時(shí),此時(shí)按照D數(shù)集成的值從大到小融合.另一種恰好相反,先按照客觀評(píng)價(jià)值b從小到大,若當(dāng)客觀評(píng)價(jià)等級(jí)相同時(shí),就按照D數(shù)集成從小到大融合.例如,對(duì)于下面三個(gè)D數(shù)：D1={(1,1)};D2={(3,1)};D3={(5,1)}.

其中:三個(gè)D數(shù)的順序變量值(本例為權(quán)重)相等ω1=ω2=ω3,那么接下來(lái)就考慮b值,本例中有5>3>1,所以按照b值從大到小的融合順序?yàn)镈=D3⊕D2⊕D1.按照b值從小到大的融合順序?yàn)镈=D1⊕D2⊕D3.

2.2D數(shù)應(yīng)用于汽車引擎評(píng)估

汽車引擎之于汽車相當(dāng)于大腦之于人類,它是汽車的核心部分.汽車引擎的評(píng)估是一件復(fù)雜的事情,因?yàn)樵谠u(píng)估的過(guò)程中有大量的人工主觀判斷,數(shù)據(jù)含有不確定性.同時(shí),因?yàn)閷＜业恼J(rèn)知水平的局限性,評(píng)估數(shù)據(jù)中含有充分的不完備性.所以現(xiàn)有的方法在處理汽車引擎的評(píng)估問題的時(shí)候存在著一定的問題.文獻(xiàn)[3]中利用證據(jù)推理方法評(píng)估汽車引擎,證據(jù)推理方法的計(jì)算過(guò)程相對(duì)比較復(fù)雜,本文則利用提出的D數(shù)理論新方法評(píng)估汽車引擎的優(yōu)劣.

汽車引擎的優(yōu)劣受很多因素的影響,其中最主要的影響因素為：反應(yīng)能力,油耗量,聲音大小,震感以及加速度.分別記為：R=反應(yīng)能力,F=油耗量,Q=聲音大小,V=震感以及S=加速度.在文獻(xiàn)[3]中,每個(gè)影響因素同等重要,也即其權(quán)重ωR=ωF=ωQ=ωV=ωS.對(duì)于文獻(xiàn)[3]中的4個(gè)引擎,專家對(duì)以上5個(gè)方面分別作出評(píng)價(jià),評(píng)估等級(jí)風(fēng)別為：{差(P),不重要的(I),一般(A),好(G),很好(E)}

對(duì)于引擎1,專家給出其相應(yīng)的評(píng)估數(shù)據(jù).對(duì)于反應(yīng)能力,專家100%確認(rèn)它的評(píng)估等級(jí)為好,所以評(píng)估可以表示為D數(shù){(G,1)}.對(duì)于聲音大小的評(píng)估,專家50%確認(rèn)評(píng)估水平為好,30%的肯定性確認(rèn)評(píng)估等級(jí)為很好,還有20%卻因?yàn)槿斯ぴu(píng)估時(shí)的不確定性,對(duì)該引擎的認(rèn)識(shí)不足等原因不確定該評(píng)估為什么等級(jí).所以對(duì)于聲音大小這一評(píng)估標(biāo)準(zhǔn),專家給出的評(píng)估等級(jí)可以用D數(shù)表示為：D(Q)={(G,0.5)(E,0.3)}(其中0.5+0.3<1).同樣的道理,專家對(duì)于引擎1,分別從5個(gè)方面給出了如下的評(píng)價(jià)：

利用同樣的方法,專家分別對(duì)其它4個(gè)引擎進(jìn)行評(píng)估,評(píng)估結(jié)果如表1所示.

表1　專家為4個(gè)引擎的評(píng)估

在表1中,每一個(gè)引擎在某一些方面評(píng)估結(jié)果都比較優(yōu)秀,可以大致看出引擎2在反應(yīng)能力方面比其他的引擎更優(yōu),引擎4在油耗量與聲音大小方面比其他引擎更優(yōu).然而,綜合評(píng)價(jià)結(jié)果哪個(gè)引擎更優(yōu)秀卻無(wú)法簡(jiǎn)單判別.此時(shí),D數(shù)的融合規(guī)則將用于融合所有的5個(gè)方面,得到最終的綜合評(píng)價(jià)結(jié)果.而所有的評(píng)估等級(jí)均為語(yǔ)意的評(píng)價(jià),所以在融合之前首先將所有語(yǔ)意評(píng)估等級(jí)數(shù)字化,在此采用文獻(xiàn)[3]效應(yīng)函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn),設(shè)：

則表1中的所有語(yǔ)言評(píng)價(jià)均轉(zhuǎn)化為D數(shù)的數(shù)值表示,如表2所示.

表2　專家為4個(gè)引擎的評(píng)估數(shù)值評(píng)價(jià)

本文的D數(shù)融合方法用于綜合每個(gè)引擎的5個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn).本文中,指標(biāo)的權(quán)重當(dāng)作是每個(gè)D數(shù)的順序變量.而本文中每個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重值相等,也就是ωR=ωF=ωQ=ωV=ωS,所以本文按照客觀評(píng)價(jià)值b的值作為融合順序,而當(dāng)客觀評(píng)價(jià)值相同時(shí),則考慮D數(shù)集成的值的大小.對(duì)引擎1,按照客觀評(píng)價(jià)值從小到大的融合順序?yàn)镈=D(F)⊕D(Q)⊕D(V)⊕D(R)⊕D(S).反之,按客觀評(píng)價(jià)值從大到小的融合順序?yàn)镈=D(S)⊕D(R)⊕D(V)⊕D(Q)⊕D(F).通過(guò)這兩種計(jì)算方法將D數(shù)融合以后,D數(shù)集成值即為該引擎的綜合評(píng)估等級(jí).所有引擎的評(píng)估結(jié)果如表3所示.

從表3可以看出,按b值從小到大的排序?yàn)椋?.840 625>0.684 4>0.572 9>0.409 1.

表3　引擎評(píng)估的融合結(jié)果

對(duì)應(yīng)的汽車引擎排序?yàn)椋骸耙?>引擎1>引擎2>引擎3” 其中‘>’表示更優(yōu)于.按b值從大到小的排序?yàn)?0.494 3>0.396 9>0.345 8>0.281 25,對(duì)應(yīng)的汽車引擎排序?yàn)椋骸耙?>引擎2>引擎3>引擎4”.

在文獻(xiàn)[3]中,綜合評(píng)估結(jié)果排序?yàn)椋骸耙?>引擎2>引擎4>引擎3”,本文的評(píng)價(jià)結(jié)果按照b值從大到小與文獻(xiàn)[3]比較,均找到了最好的引擎為引擎1,引擎2次之,引擎3與4則相對(duì)較差.而如果按照b值從小到大的排序則相差較大.從這個(gè)角度比較,在本例汽車引擎選擇中按照b值從大到小的融合較為合理.本例結(jié)果表明,本文提出的新的D數(shù)融合算法融合次數(shù)減少,降低了計(jì)算復(fù)雜度,同時(shí)也能得到合理的評(píng)價(jià)結(jié)果.

3結(jié)語(yǔ)

證據(jù)理論作為概率理論的延伸已經(jīng)在許多方面得到廣泛應(yīng)用.然而,證據(jù)理論是建立在辨識(shí)框架中的元素相互獨(dú)立且基本概率指派函數(shù)完備的假設(shè)基礎(chǔ)上的,這在現(xiàn)實(shí)生活應(yīng)用中存在一定的局限性.生活中用于評(píng)價(jià)的定性指標(biāo)之間就并非相互獨(dú)立,也可能會(huì)因?yàn)檎J(rèn)知水平的局限性導(dǎo)致信息收集的不完備性.D數(shù)理論,又進(jìn)一步推廣了證據(jù)理論,擴(kuò)展了證據(jù)理論中各元素互斥,基本概率指派函數(shù)完備的假設(shè),使得其在現(xiàn)實(shí)生活中得到更加廣泛地應(yīng)用.本文較詳盡地介紹了D-S證據(jù)理論與D數(shù)理論,并且針對(duì)現(xiàn)有的D數(shù)融合順序計(jì)算量較大的問題,提出了一種合理簡(jiǎn)單的融合方法.并將該方法應(yīng)用于汽車引擎評(píng)估中.算例驗(yàn)證了本文中的方法的簡(jiǎn)單性,合理性,說(shuō)明了D數(shù)在處理不確定信息的有效性、可行性.

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責(zé)任編輯：時(shí)凌

Uncertain Multiattribute Decision Making Method Based on D Numbers

WANG Ningkui,WEI Daijun*

(School of Science,Hubei University for Nationalities,Enshi 445000,China)

Abstract：For the problem of multiple attribute decision making because of the information of uncertainty and incompleteness,a basic computing method based on D numbers theory is proposed in this paper.The weights of the attributes are regarded as the order when multiple D numbers get combined.When the weights are of equal value,the objective assessment grades represented by D numbers are considered.The proposed method has overcome the deficiencies in uncertain multiple attributes decision making caused by the uncertainty because of information shortage and high conflict. The numerical example of evaluating the motor engine shows the efficiency and feasibility of the proposed method.

Key words：assessment and decision making;uncertainty;D numbers;D numbers fusion

收稿日期：2016-02-18.

基金項(xiàng)目：湖北省教育廳科學(xué)研究計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目(D20151902);湖北民族學(xué)院博士啟動(dòng)項(xiàng)目(MY2014B003);湖北省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練項(xiàng)目(20140517018).

作者簡(jiǎn)介：王寧奎(1990- ),男,碩士生,主要從事信息融合的研究；*通信作者：魏代俊(1977- ),男,博士,副教授,主要從事信息融合與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究.

文章編號(hào)：1008-8423(2016)01-0035-05

DOI:10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.03.009

中圖分類號(hào)：O232

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A