關于亞循環(huán)2-群的對合交換圖

譚延慶,沈如林

(湖北民族學院 數(shù)學系，湖北 恩施 445000)

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關于亞循環(huán)2-群的對合交換圖

譚延慶,沈如林

(湖北民族學院 數(shù)學系，湖北 恩施 445000)

摘要：對合交換圖是以群中二階元共軛類為頂點，兩頂點有邊當且僅當它們交換的圖.分類了亞循環(huán)2-群的對合交換圖結構

關鍵詞：對合交換圖;k-正則圖;亞循環(huán)2-群

設G是群，且X是G的子集，X上的交換圖ΓG(X)是指以X中元為頂點，互異點x,y∈X有一條邊當且僅當xy=yx.交換圖被很多學者所研究，最早出現(xiàn)在Brauer和Fowler的文獻[1]中，他們應用交換圖證明了在同構意義下對于一個給定的2階中心化子的同構型，只有有限個非交換單群包含該同構型.當X取成G{1}時，交換圖ΓG(X)對Margulis-Platanov猜想的證明起到重要的作用[2].如果取X為G的一個二階共軛類，稱交換圖ΓG(X)為對合交換圖.Fischer最早對對合交換圖進行了研究[3-4]，考慮了3-輪換群生成的群，研究了一類任意兩個頂點之積的階至多為3的對合交換圖的群的結構.Bates，Bundy，Hart 和Rowley關于對合交換圖的文章使對合交換圖越來越備受關注.文獻[5-8]中分別全面研究了G為散在單群，G為有限Coxeter群，G為對稱群和G為特殊線性群時對合交換圖ΓG(X)的結構.本文分類了亞循環(huán)2-群的對合交換圖的結構.所謂亞循環(huán)2-群即循環(huán)2-群對循環(huán)2-群的擴張.稱圖ΓG(X)為正則圖，如果ΓG(X)中每個頂點所連的邊數(shù)都相同.如果正則圖中每個頂點相連的邊數(shù)為k，則稱為k-正則圖.特別，0-正則圖稱孤立點圖.以下的群都為有限群.

定理1亞循環(huán)2-群的對合交換圖為一個點的孤立圖或1-正則圖.

1一些引理

如下給出一些引理：

引理1 設G為偶階群，則G的對合交換圖是一個正則圖.

證明設X為G的一個二階共軛類，并設ΓG(X)為對合交換圖.假設a∈X,g∈G.如下考慮頂點a和ag的邊數(shù).設與a相連的頂點為ag1,ag2,…,agr. 若a與agi相連，即aagi=agia?[a,agi]=1?[a,agi]g=[ag,agig]=1?agagig=agigag，則a與agi相連推出ag與agig相連.現(xiàn)在從與a相連的邊構造一個到與ag相連的邊的一個映射σ：(a,agi)→(ag,agig)，則由如上知道σ為一個單映射.下證σ是一個滿映射.如果還有ah與ag相連，即[ag,ah]=1?[ag,ahg-1g]=[a,ahg-1]g=1有[a,ahg-1]=1這樣存在某個gi使得hg-1=gi，故h=gig，這樣σ是滿射，即而為雙射，從而ΓG(X)為正則圖.

引理2 若2-群中的對合交換圖為孤立點圖，則它只能為一個孤立點的圖.

證明設X為2群G的一個2階共軛類，ΓG(X)為孤立點圖，并設a為ΓG(X)的頂點.現(xiàn)在讓〈a〉共軛作用在X上，由于ΓG(X)為孤立點圖，則X的個數(shù)必然為奇數(shù).另一方面，由于X為G的一個共軛類，則X的個數(shù)必然為2的冪，這樣X的個數(shù)必然為1，即ΓG(X)只有一個孤立點.

引理3設r≠±1且r2m≡1(mod 2n)，其中m≥1,n≥3，則當m=1時，(r-1)≡0(mod 2)或(r-1)≡0(mod 2n-1);m>1時，r2m-1-1≡0(mod 2n-1).

證明m=1時，r2m-1≡0(mod 2n)?(r-1)(r+1)≡0(mod 2n)?(r-1)/2·(r+1)/2≡0(mod 2n)，(r-1)/2和(r+1)/2為連續(xù)數(shù)一奇一偶，若(r+1)/2為奇數(shù)，則(r-1)≡0(mod 2n-1)；若(r+1)/2為偶數(shù)，則(r-1)≡0(mod 2).m>1時,r2m-1≡0(mod 2n)?(r2m-1-1)(r2m-1+1)≡0(mod 2n),(r2m-1+1)/2恒為奇數(shù)，故r2m-1-1≡0(mod 2n-1).

2定理1的證明

由文獻[9]可知亞循環(huán)2-群的定義關系式為：,其中r2m≡1(mod2n),t(r-1)≡0(mod2n),m≥1,n≥1,t≥0,r≠0.在后面的證明過程中，情形7考慮的是亞循環(huán)2-群在n=1時其對合交換圖的結構；情形1,2,4,5考慮的是當t任意，r=±1，n≥2時對合交換圖的結構；情形3,6考慮的是t任意，r≠±1，在這種情況下，由于r2m≡1(mod22)這樣的r值不存在，所以這種情況下只考慮n≥3.

情形1t=0,r=-1.此時有a2n=1,b2m=1,ab=a-1.由b-1ab=a-1得：ab=ba-1,ba=a-1b.因為o(b2m-1)=2,a2n-1為2階中心元，此時亞循環(huán)2-群存在二階元共軛類.

(b2m-1)={b2m-1,(b2m-1)a，(b2m-1)a2，…,(b2m-1)a2m-1.下面分兩種情況來討論：

1)m=1.此時亞循環(huán)2-群為二面體群.b2=1,b={b,ba,ba2,…,ba2n-1-1}.由ba=a-3a-1b=a-4b;ba3=a-1a-4ba=a-5a-1b=a-6b;…;bai=a-2ib,0≤i≤2n-1-1.

假設bai=baj(0≤i,j≤2n-1-1),即a-2i=a-2j?a2(i-j)=1.則2(i-j)≡0(mod2n),也即(i-j)≡0(mod2n-1).由i,j的取值范圍可知，不存在這樣的i,j使得上式成立，故可知：b={b,ba,ba2,…,ba2n-1-1}中2n-1個元互異，類長為2n-1.

再設bbai=baib,由bai=a-2ib,ba=a-1b可得，ba-2i=a-2ib,也即：a4i=1(0≤i≤2n-1-1),故4i≡0(mod2n)?i≡0(mod2n-2).i可取2n-2，結合引理1得到：共軛類b中元每兩個相連.

再來看亞循環(huán)2-群所有二階元有哪些.m=1，群中所有元的形式只有ai,aib(0≤i≤2n-1)兩種.a2n-1為中心二階元，只需找aib形式的二階元.而aibaib=aia-ib2=1，也即所有aib(0≤i≤2n-1)形式的元都為二階元，共2n個.接下來再看一下這2n個二階元所屬共軛類情況.aib(0≤i≤2n-1)的共軛形式只有(aib)akb,(aib)ak兩種.

若(aib)=a-1b,ab=ba-1化簡可得到a2k-i-j=1,故有2k≡i+j(mod2n).根據(jù)i,j,k的范圍，顯然，當i,j的奇偶性不同時，它們就不可能共軛.i,j奇偶性相同時，總可以找到k=(i+j)/2使得：(aib)akb=ajb.

若(aib)ak=ajb(0≤i,j,k≤2n-1),即a-kaibak=ajb,化簡得a2k+j-i=1,即2k≡i-j(mod2n).只需考慮i>j的情況，同樣是當i,j奇偶性相同時，總可以找到相應的k=(i-j)/2,使得(aib)ak=ajb.綜上所述，二面體群所有二階元被分成兩個共軛類，即奇數(shù)形式和偶數(shù)形式的共軛類，長度都為2n-1.且當i,j奇偶性相同時，由aibajb=ajbaib?a2(i-j)=1?i≡j(mod2n-1).再結合引理1得到兩個共軛類中元素都是每兩個都相連.且有bai=ai(2n-1-2)b,此即共軛類b={aib}(0≤i≤2n-1),i為偶數(shù).

這樣得出，當t=0,r=-1,m=1時，亞循環(huán)2-群二階元分為兩個共軛類，且每個共軛類長度都為2n-1,其中的元都是每兩個相連，為1-正則圖.

2)m≥2.此時b2m=1,(b2m-1)={(b2m-1),(b2m-1)a,(b2m-1)a2,…，(b2m-1)a2n-1-1}.

由ba=a-1b,ab=ba-1得：(b2m-1)ai=a-ib2m-1ai=a-ib2m-1-1a-ib=a-ib2m-1-2aib2=…=a-iaib2m-1=b2m-1.因此共軛類(b2m-1)={b2m-1}就一個二階元.

考慮所有的二階元，aibjaibj=aibj-1baibj=aibj-2ba-ibj+1=aibj-2aibj+2,若j為奇數(shù)，則aibjaibj=b2j不可能等于1；若j為偶數(shù)，aibjaibj=a2ib2j=1?i≡0(mod2n-1),j≡0(mod2m-1)(0≤i≤2n-1,0≤j≤2m-1).i,j可各自取2n-1,2m-1即總共3個二階元.故當t=0,r=-1,m≥2時，亞循環(huán)2-群二階元分為3個共軛類，且每個共軛類長度都為1，都為孤立點圖.

情形2t=0,r=1.此時有a2n=1,b2m=1,ab=a.由ab=a?ab=ba.存在二階元共軛類(b2m-1)={b2m-1,(b2m-1)a,…,(b2m-1)a2n-1-1}.由ab=ba可得：(b2m-1)ai=b2m-1，即該共軛類中只有一個二階元.考慮所有的二階元，aibjaibj=a2ib2j=1(0≤i≤2n-1,0≤j≤2m-1)?i≡0(mod2n-1),j≡0(mod2m-1)，故i=2n-1,j=2m-1.總共3個二階元.當t=0,r=1時，亞循環(huán)2-群二階元分為3個共軛類，且每個共軛類長度都為1，為孤立點圖.

情形3t=0,r≠±1.此時有a2n=1,b2m=1,ab=ar,r2m≡1(mod2n).存在二階元共軛類(b2m-1)={b2m-1,(b2m-1)a,…,(b2m-1)a2n-1-1}.由ab=ar,r2m≡1(mod2n)可得：

a=(ar)b-1=(ab-1)r?bab-1=ab-1=(ab-1)r2m=(ab-1)r·r2m-1=ar2m-1?ba=ar2m-1b.

1)m=1.二階元共軛類(b)={b,ba,…,ba2n-1-1}.此時ba=arb，任意bai=a-ibai=ai(r-1)b.設bai=baj(0≤i,j≤2n-1-1),即：a(i-j)(r-1)=1?(i-j)(r-1)≡0(mod2n).

根據(jù)引理3，若(r-1)≡0(mod2),(r+1)≡0(mod2n-1)，由(i-j)(r-1)≡0(mod2n)得，(i-j)≡0(mod2n-1)，即共軛類類長為2n-1.設bbai=baib,即bai(r-1)=ai(r-1)b?ai(r-1)r-i(r-1)=1?i≡0(2n-2).

取i=2n-2時，bbai=baib,故可知(b)中元每兩個相連.所有二階元aibaib=ai(r+1)=1?i≡0(mod2)(0≤i≤2n-1).因此可得此類亞循環(huán)2-群有2n-1個二階元，屬一個二階共軛類，且其中每兩個元相連，為1-正則圖.

若(r-1)≡0(mod2n-1),(r+1)≡0(mod2)，則(i-j)≡0(mod2)，類長為2.設bbai=baib,?i≡0(mod1)，即i可任意取，共軛類中兩個二階元相連.同樣所有二階元aibaib=ai(r+1)=1?i≡0(mod2n-1)(0≤i≤2n-1).說明此類亞循環(huán)2-群有3個二階元，2個共軛類，一個類長為2，為1-正則圖；另一個中心二階元，為孤立點圖.

2)m≥2.二階元共軛類(b2m-1)={b2m-1,(b2m-1)a,…,(b2m-1)a2n-1-1}.此時ba=ar2m-1b，(b2m-1)ai=a-ib2m-1=a-ib2m-1-2ai(r2m-1)2b=a-iai(r2m-1)2m-1b2m-1=ai(r2m-1(2m-1)b2m-1.設(b2m-1)ai=(b2m-1)aj(0≤i,j≤2n-1-1),則可得：a(i-j)(r2m-1(2m-1)-1)=1?(i-j)(r2m-1(2m-1)-1)≡0(mod2n)?(i-j)(r2m-1-1)≡0(mod2n).由引理3知(r2m-1-1)≡0(mod2n-1),故(i-j)≡0(mod2),此二階元共軛類長度為2.同時，若b2m-1(b2m-1)a=(b2m-1)ab2m-1,則：

b2m-1ar2m-1(2m-1)-1=ar2m-1(2m-1)-1b2m-1?ar2m-1(2m-1)(r2m-1(2m-1)-1)-r2m-1(2m-1)+1=1?a(r2m-1-1)2=1?a-2(r2m-1-1)=1此式恒成立，即共軛類中兩個二階元相連.

再考慮此類亞循環(huán)2-群所有二階元aibaib=ai(rj(2m-1)+1)b2j=1.

?j≡0(mod2m-1),i(rj(2m-1)+1)≡0(mod2n)(0≤i≤2n-1,0≤j≤2m-1).

j=2m-1,i(r2m-1+1)≡0(mod2n).由(r2m-1+1)≡0(mod2)?i≡0(mod2n-1).因此這類亞循環(huán)2-群有3個二階元，一個中心二階元，為孤立點圖；另兩個二階元屬同一共軛類，且相連，為1-正則圖.

情形4t≠0,r=-1.此時a2n=1,b2m=at,ab=a-1,r2m≡1(mod2n),t(r-1)≡0(mod2n).由t(r-1)≡0(mod2n)，r=-1?t=2n-1，故有b2m+1=1.存在二階元共軛類(b2m)={b2m,(b2m)a,…,(b2m)a2n-1-1}.再由ab=a-1?ab=ba-1?ba=a-1b.共軛類中元(b2m)ai=a-ib2mai=a-ib2m-1bai=a-ib2m-2ba-ib=a-ib2m-2aib2=a-iaib2m=b2m只有一個二階元.

考慮所有的二階元，aibjaibj=aibj-1baibj=aibj-2ba-ibj+1=aibj-2aibj+2,若j為奇數(shù)，則aibjaibj=b2j不可能等于1；若j為偶數(shù)，aibjaibj=a2ib2j=1?i≡0(mod2n-1),j≡0(mod2m)(0≤i≤2n-1,0≤j≤2m-1),因此j值只能取0，即總共1個二階元，此時b2m=a2n-1為中心二階元，為孤立點圖.

情形5t≠0,r=1.此時有a2n=1,b2m=at,ab=a,r2m≡1(mod2n),t(r-1)≡0(mod2n).

k1>0時，此亞循環(huán)2-群群只有一個二階元，即中心二階元，為孤立點圖；k1=0時，設(bk)ai=(bk)aj，故有ai-j(rk(2m-1)-1)=1?i-j(r2m-1(2m-1)-1)≡0(mod2n). 以下分為兩種情況討論.

1)m=1 (i-j)(r-1)≡0(mod2n).若(r-1)≡0(mod2),(r+1)≡0(mod2n-1)，由(i-j)(r-1)≡0(mod2n)得：

(i-j)≡0(mod2n-1)，即共軛類類長為2n-1.設bbai=baib,即：bai(r-1)=ai(r-1)b?ai(r-1)r-i(r-1)=1?i≡0(2n-2).

取i=2n-2時，bbai=baib.根據(jù)引理1知(b)中元每兩個相連.所有二階元aibaib=ai(r+1)=1?i≡0(mod2)(0≤i≤2n-1).因此可得此類亞循環(huán)2-群有2n-1個二階元，一個2階共軛類，且每兩個元相連，為1-正則圖.

若(r-1)≡0(mod2n-1),(r+1)≡0(mod2)，則(i-j)≡0(mod2)，類長為2. 設bbai=baib,?i≡0(mod1)，即i可任意取，共軛類中兩個二階元相連.同樣所有二階元aibaib=ai(r+1)=1?i≡0(mod2n-1)(0≤i≤2n-1).說明此類亞循環(huán)2-群有3個二階元，兩個共軛類，一類為中心二階元，為孤立點；另一個類長為2，它們是相連的，為1-正則圖.

2)m≥2.(i-j)(r2m-1-1)≡0(mod2n).(i-j)≡0(mod2),此二階元共軛類長度為2.同時，若b2m-1(b2m-1)a=(b2m-1)ab2m-1,則b2m-1ar2m-1(2m-1)-1=ar2m-1(2m-1)-1b2m-1?a(r2m-1-1)2=1?a-2(r2m-1-1)=1此式恒成立，即共軛類中兩個二階元相連.再考慮此類亞循環(huán)2-群所有二階元aibaib=ai(rj(2m-1)+1)b2j=1.?j≡0(mod2m-1),i(rj(2m-1)+1)≡0(mod2n)(0≤i≤2n-1,0≤j≤2m-1).j=2m-1,i(r2m-1+1)≡0(mod2n).由(r2m-1+1)≡0(mod2)?i≡0(mod2n-1).因此這類亞循環(huán)2-群有3個二階元，一個中心二階元，故為孤立點圖；另兩個二階元屬同一共軛類，且相連，故為1-正則圖.

情形7 n=1.此時設亞循環(huán)2-群為A,|A|=2m+1.由亞循環(huán)2-群的定義式知A/{1,a}?C2m,故有:

A?Z2x1×Z2x2×…×Z2xk,1≤x1≤x2≤…≤xk,x1+x2+…+xk=m+1?A?C2m+1或者A?Z2×C2m，而Z2×C2m中有3個二階元，3個共軛類，故為三個孤立點圖；C2m+1中只有一個二階元，為孤立點圖.

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[9]徐明曜.有限群導引(上)[M].北京:科學出版社，1999.

責任編輯：時凌

On Commuting Involution Graphs of Meta-cyclic 2-groups

TAN Yanqing,SHEN Rulin

(Department of Mathematics,Hubei University for Nationalities,Enshi 445000,China )

Abstract：For a group G and a conjugacy class X of an involution of G,the commuting graph ΓG(X) of G on X，is the graph whose vertex set is X and distinct vertices x and y having an edge if and only if xy=yx. In this paper，we classify the structure of the commuting involution graph of meta-cyclic 2-groups.

Key words：commuting involution graph;k-regular graph;meta-cyclic 2-group

收稿日期：2015-12-18.

基金項目：國家自然科學基金地區(qū)基金項目(11201133).

作者簡介：譚延慶(1991- )，男，碩士生，主要從事群論的研究.

文章編號：1008-8423(2016)01-0020-04

DOI:10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.03.005

中圖分類號：O152

文獻標志碼：A