二維平流擴(kuò)散模型下的集合卡爾曼濾波模擬同化研究

擺玉龍，尤元紅，邵 宇，徐寶兄

西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070

二維平流擴(kuò)散模型下的集合卡爾曼濾波模擬同化研究

擺玉龍，尤元紅，邵 宇，徐寶兄

西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070

為提高環(huán)境數(shù)值預(yù)報水平，構(gòu)建了一個針對污染物擴(kuò)散的模擬數(shù)據(jù)同化系統(tǒng)。采用集合卡爾曼濾波方法對二維平流擴(kuò)散模型的狀態(tài)變量進(jìn)行了實時校正，實現(xiàn)污染物濃度的實時模擬預(yù)報，完成了敏感性實驗中集合數(shù)目變化、觀測方差變化和同化窗口長度變化研究。比較考察觀測點位置與污染源距離不同時的預(yù)報效果，探討了優(yōu)化條件下的同化策略，提出一種根據(jù)距離遠(yuǎn)近動態(tài)調(diào)節(jié)卡爾曼增益權(quán)重的方法。在集合數(shù)目較小時，可降低計算代價，得到優(yōu)化的同化效果。

數(shù)據(jù)同化；平流擴(kuò)散模型；集合卡爾曼濾波

海洋與大氣中的污染物擴(kuò)散、遷移和轉(zhuǎn)化問題是環(huán)境監(jiān)測中的焦點問題，用科學(xué)的方法監(jiān)測預(yù)測污染物濃度，開展實時、全面、準(zhǔn)確的環(huán)境質(zhì)量預(yù)報工作具有重要意義[1-3]。數(shù)據(jù)同化技術(shù)可用來構(gòu)建海洋和空氣質(zhì)量預(yù)報系統(tǒng)[4-6]，基于變分方法和集合卡爾曼濾波的混合同化方法在空氣質(zhì)量預(yù)報領(lǐng)域受到了廣泛關(guān)注[7-9](如將卡爾曼濾波與T106氣象因子相結(jié)合對空氣質(zhì)量進(jìn)行預(yù)報，得出卡爾曼濾波比傳統(tǒng)的多元回歸法更具物理意義、準(zhǔn)確率更高[10])。然而，不同的數(shù)據(jù)同化方法各有優(yōu)缺點，且計算量大，發(fā)展更為有效的數(shù)據(jù)同化方法，提高海洋、大氣環(huán)境觀測成效，仍是當(dāng)前面臨的嚴(yán)峻問題[11]。作為海洋和大氣領(lǐng)域數(shù)值預(yù)報中的核心方法[12-13]，集合數(shù)據(jù)同化方法因集合樣本數(shù)過少和模型誤差等問題出現(xiàn)濾波發(fā)散,降低了預(yù)報精度；另外，當(dāng)存在多個污染源，點位分布相對稀疏的情況下，從少量的觀測中給出區(qū)域空間內(nèi)污染物濃度空間分布較為困難。因此，借助污染物擴(kuò)散傳輸模式采用數(shù)據(jù)同化方法來解決這一問題值得研究與探索。

本文在常用的二維平流擴(kuò)散模型基礎(chǔ)上[14]，利用集合卡爾曼濾波方法建立能夠?qū)ξ廴疚餄舛冗M(jìn)行實時預(yù)報的模擬同化系統(tǒng)，將5個同種污染源隨機(jī)置于模擬風(fēng)速場中來模擬實際污染物在空氣中的擴(kuò)散過程，利用集合卡爾曼濾波對模型的狀態(tài)變量進(jìn)行更新和校正，通過分析比較集合數(shù)目變化、觀測方差變化和同化窗口長度變化對同化效果的影響，比較研究不同觀測點位置情況下的預(yù)報效果，提出優(yōu)化條件下的同化策略。

1 同化方案設(shè)計

1.1 集合卡爾曼濾波

集合卡爾曼濾波是由Evensen[15]提出的一種基于蒙特卡羅方法的順序同化算法，其特點是通過統(tǒng)計有限數(shù)量的樣本來估計模型狀態(tài)向量的統(tǒng)計特征。與傳統(tǒng)的卡爾曼濾波相比較，集合卡爾曼濾波引入了集合思想，擴(kuò)展其在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用，解決了傳統(tǒng)方法在實際應(yīng)用中的諸多問題。集合卡爾曼濾波的實現(xiàn)過程包含預(yù)報和更新2部分，在預(yù)報時，將狀態(tài)向量的所有樣本在平流擴(kuò)散模型中計算獲得狀態(tài)向量的預(yù)報值；更新過程中，利用狀態(tài)向量協(xié)方差矩陣以及觀測誤差協(xié)方差矩陣權(quán)衡預(yù)報值與觀測數(shù)據(jù)，從而得到狀態(tài)向量的最優(yōu)估計。

集合卡爾曼濾波算法的執(zhí)行過程如下：

1)隨機(jī)產(chǎn)生狀態(tài)變量樣本

以任意一組隨機(jī)數(shù)作為初始樣本，并以這組樣本作為數(shù)據(jù)同化的初始值，同時導(dǎo)入觀測數(shù)據(jù)對樣本進(jìn)行實時更新。

2)模型預(yù)報

通過求解樣本狀態(tài)的控制方程得到狀態(tài)向量在第k個同化步的預(yù)報值，假設(shè)集合的個數(shù)為N，則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(1)

3)同化污染物濃度觀測資料，更新模式預(yù)報污染物濃度場。在每一個同化步通過公式(2)對狀態(tài)向量進(jìn)行更新，以獲取狀態(tài)變量的分析值。

(2)

(3)

(4)

系統(tǒng)運行過程中，在有觀測的時刻，利用觀測信息在觀測和模型誤差分別加權(quán)的基礎(chǔ)上對模型狀態(tài)進(jìn)行更新，從而獲得模型狀態(tài)的后驗優(yōu)化估計；狀態(tài)更新后，模型利用新的狀態(tài)繼續(xù)向前積分，直到獲得新的觀測信息。圖1概念性的反映了在順序同化中的濾波過程(圖中在i+1時刻，背景場通過觀測場修正，得到分析場，向前演進(jìn))。

圖1 順序同化濾波的概念示意圖

1.2 局地化技術(shù)

集合同化過程中通常采用局地化方法解決虛假相關(guān)問題[16-17]。針對某個模式點，將觀測與該模式點上變量的協(xié)方差乘以一個隨距離增加而減小的連續(xù)函數(shù)。該函數(shù)是五階分段有理函數(shù)，并且隨著距離的增大而單調(diào)下降，其表達(dá)式如下：

(5)

在計算同化點與觀測點距離的基礎(chǔ)上，引入一個簡單的權(quán)重因子(w)。在各點同化的過程中，根據(jù)觀測距離遠(yuǎn)近，動態(tài)調(diào)節(jié)卡爾曼增益。

1.3 實驗設(shè)計

通常，可以通過設(shè)計觀測系統(tǒng)仿真實驗(OSSE)來檢驗數(shù)據(jù)同化系統(tǒng)的性能[18]。OSSE實驗一般需要包括系統(tǒng)狀態(tài)空間模型、觀測模型、模擬“真實”數(shù)據(jù)和模擬“觀測”數(shù)據(jù)等。在一般對流擴(kuò)散理論中,常常認(rèn)為擴(kuò)散質(zhì)的存在不會改變流體質(zhì)點的流動特性；同時，在整個運動過程中,流體質(zhì)點之間不發(fā)生擴(kuò)散質(zhì)的轉(zhuǎn)移，擴(kuò)散質(zhì)的擴(kuò)散完全是由帶有擴(kuò)散質(zhì)的流體發(fā)生摻混的結(jié)果[14]。

二維平流擴(kuò)散模型可用于研究流體擴(kuò)散、平流過程，已被成功應(yīng)用于西湖水質(zhì)總磷濃度預(yù)測[19]，計算水體交換能力，分析水體交換的主要因素[20]。本文在計算中忽略污染物在空氣中的物理、化學(xué)、生物降解,僅考慮污染物受風(fēng)作用的輸移和擴(kuò)散過程。簡化后的平面二維平流擴(kuò)散方程為

(6)

式中：c為污染物的濃度；u，v為風(fēng)速沿x，y方向的分量；Dx，Dy為污染物沿x，y方向的擴(kuò)散系數(shù)。污染物在空氣中向四周擴(kuò)散的速率相同，所以可認(rèn)為污染物沿x，y方向的擴(kuò)散系數(shù)相同，上面的模型可以進(jìn)一步簡化為如下形式：

(7)

式中：σ為污染物的擴(kuò)散系數(shù)。

按照Heemink等[21]和Dimitriu[22]提出的系統(tǒng)設(shè)計方案，模擬過程與分析過程均采用無量綱量，假定在一個30×30的方形區(qū)域，污染源在區(qū)域里隨機(jī)分布，流入邊界污染物濃度為零，并且外界沒有污染物流入。σ=0.2，風(fēng)速沿x，y方向的分量由公式(8)和公式(9)決定：

(8)

(9)

式中：(xgrid,ygrid)為當(dāng)前格點坐標(biāo)；(xcvortex,ycvortex)為對應(yīng)的漩渦中心點坐標(biāo)；vel為速度比例系數(shù)。在模擬的風(fēng)速場中，假定氣旋中心點位于方形區(qū)域的幾何中心處，即其坐標(biāo)為(15,15)。設(shè)定vel=0.06。圖2為模擬區(qū)域內(nèi)的風(fēng)矢量圖。

圖2 風(fēng)矢量圖

通過數(shù)值實驗驗證集合卡爾曼濾波的可行性，使用拉格朗日法將該模型方程離散在30×30網(wǎng)格的風(fēng)速場上，實驗中假定每一格點風(fēng)速恒定且不隨時間變化。在模擬區(qū)域中隨機(jī)放置5個污染源，其坐標(biāo)為{(5,8),(7,8),(15,5),(3,18),(20,15)}，在每一積分步后各污染源釋放污染物濃度的增長量分別為{0.2,0.5,0.4,0.2,0.25}。按照經(jīng)典數(shù)據(jù)同化方法研究中的做法，模擬“觀測”數(shù)據(jù)通過在模擬真實數(shù)據(jù)上添加高斯白噪聲獲得。假定觀測信息符合自回歸過程,每一步觀測信息由公式(10)給出：

(10)

式中:wj為滿足均值為1，方差為0的高斯白噪聲；j為觀測的位置；λj為對應(yīng)觀測點的衰減系數(shù)，每一步后的衰減系數(shù){λ1,…,λj}={0.9,0.8,0.8,0.9,0.9,0.8,0.9,0.9,0.8}。

1.4 性能指標(biāo)

實驗采用均方根誤差(RMSE)來評價數(shù)據(jù)同化效果，RMSE用于評價污染物預(yù)報濃度與真實濃度之間的差異，RMSE值越小，表明預(yù)報濃度與真實濃度越接近，同化效果越好。

(11)

圖3給出了整個同化系統(tǒng)的框圖。二維平流擴(kuò)散模型和集合卡爾曼濾波算法結(jié)合可以用來研究不同要求下的同化策略。

圖3 二維平流擴(kuò)散模型同化系統(tǒng)框圖

2 結(jié)果與討論

2.1 基本同化實驗

基本同化實驗將觀測點位置隨機(jī)設(shè)置{(4,11),(13,3),(26,15),(15,10),(23,2),(11,9),(15,20),(23,10),(5,25)}，進(jìn)行不同集合數(shù)下的同化實驗。基本同化實驗假設(shè)模式無誤差，背景場通過模型向前演進(jìn)獲得，同化的時間窗口長度設(shè)計為10。圖4給出了第100步時濃度真值等值線圖，以圖4為基本參照，圖5給出了選擇20個集合數(shù)時基本的同化結(jié)果。

圖4 第100步時濃度真值等值線圖

圖5 第100步時同化效果圖

分析比較圖5中“同化后估計值”曲線和“未同化估計值”曲線，可看出“同化后估計值”曲線與“未同化估計值”曲線相比更接近“真值”曲線，表明經(jīng)同化方法改善的模型預(yù)報效果優(yōu)于未同化的模型預(yù)報效果。此外，圖中實線和虛線的大致走向相同，說明集合卡爾曼濾波結(jié)合觀測信息可以用來研究海洋或者大氣污染物擴(kuò)散問題。圖中實線與虛線距離越近，則預(yù)測值與真值之間的誤差越小，即同化效果越好。

2.2 同化策略研究

不同敏感參數(shù)下的RMSE變化情況見圖6。

圖6 不同敏感參數(shù)下的RMSE變化情況

從圖6可以看出，①觀測方差小于0.1時對同化效果的影響明顯，當(dāng)觀測方差取值大于0.05，RMSE值顯著增大。②同化窗口長度的取值為1～20時，RMSE值為0.58～0.89，變化幅度較小，同化窗口長度為10時，RMSE值為0.59，大于10時，RMSE值顯著增大。③隨著集合卡爾曼濾波集合樣本數(shù)目的增大，系統(tǒng)RMSE變化明顯，集合樣本數(shù)為2～10時，整體呈下降趨勢但局部RMSE異常，集合樣本數(shù)為10～20范圍內(nèi)變化時RMSE值顯著減小，當(dāng)集合樣本數(shù)增大到20以后，RMSE值基本沒有變化而是始終穩(wěn)定在0.7左右，集合樣本數(shù)增大到40時，其RMSE值與集合樣本數(shù)為20時的RMSE值十分接近，即表明在20個集合樣本時系統(tǒng)能達(dá)到最好的同化效果。

通常情況下，在大氣或海洋數(shù)據(jù)同化系統(tǒng)中應(yīng)用集合卡爾曼濾波時，采用100個集合樣本時能取得較好的同化效果[23]。在理想實驗中，20個樣本即可達(dá)到較好的數(shù)據(jù)同化效果，這與污染物同化系統(tǒng)模式自由度相關(guān)。通常情況下，樣本選取方法合理，所需要的樣本容量要遠(yuǎn)小于模式自由度[24]，理想化的二維平流擴(kuò)散模型自由度較小，所以實驗在20個樣本數(shù)時就取得了較好的同化效果。

2.3 觀測策略研究

為了研究觀測位置對同化效果的影響，假設(shè)污染源水平分布，研究觀測位置與污染源距離不同時的同化效果。

1)將污染源位置理想化的設(shè)置為{(5,10),(10,10),(15,10),(20,10),(25,10)}，觀測點位置設(shè)置為{(4,25),(13,25),(26,25),(15,25),(23,25),(11,25),(5,25)}，集合數(shù)為20時其RMSE為0.808，實驗效果圖如圖7所示。

圖7 觀測點與源點間隔為15的同化效果圖

2)將污染源位置設(shè)置為{(5,10),(10,10),(15,10),(20,10)(25,10)}，觀測點位置設(shè)置為{(4,15),(13,15),(26,15),(15,15),(23,15),(11,15),(5,15)}，其RMSE為0.686,實驗效果圖如圖8所示。

圖8 觀測點與源點間隔為5的同化效果圖

3)將污染源位置與觀測點位置重合進(jìn)行實驗，實驗結(jié)果得到的RMSE為0.096，實驗結(jié)果如圖9所示。

圖9 觀測點與源點重合的同化效果圖

通過分析比較圖7～圖9，可以看出觀測點與污染物排放點間距離越小誤差就越小，即同化效果就越好，觀測點與污染源重合情況下同化效果最好。理想情況下，當(dāng)觀測點與污染源重合時，其他污染源對該觀測點的影響遠(yuǎn)小于與觀測點重合污染源的影響，這樣該觀測點測定的數(shù)據(jù)更準(zhǔn)確，可大大提高同化效果。

2.4 局地化策略研究

污染源位置與觀測點位置平行分布時，觀測點與污染源位置距離越近，同化效果越好。然而，當(dāng)污染源隨機(jī)分布，即使觀測位置與污染源完全重合，同樣取20個集合，基于集合卡爾曼濾波的同化系統(tǒng)依然得出較大的RMSE。圖10給出了同化效果圖，RMSE為0.583。

圖10 污染源隨機(jī)分布觀測位置與污染源位置重合同化效果圖

為了解決這個問題，引入局地化技術(shù)，采用權(quán)重因子(w)按照同化點與觀測點的距離限制其卡爾曼增益的大小。圖11給出了隨著集合數(shù)(N)變化改變w時的同化效果。

研究發(fā)現(xiàn)，①不同的w帶來不同的同化效果，w可以按照觀測點和同化點的距離遠(yuǎn)近，賦予集合卡爾曼增益不同的權(quán)重值，獲得更好的同化效果；②隨著N的增大，同化效果逐步變優(yōu)，在同一N值下，呈現(xiàn)出多峰多谷的現(xiàn)象，優(yōu)選w可以獲得較低計算代價下的同化效果。③不同N值情況下的最優(yōu)w值不同，且隨著N值的增大，最優(yōu)w值也會增大，即對背景誤差協(xié)方差的依賴越大。④N值較少時濾波容易發(fā)散，此時同化對觀測場的依賴要遠(yuǎn)大于對背景場的依賴。

圖11 w值變化對同化效果的影響

3 結(jié)論

基于二維平流擴(kuò)散模型，建立了一個理想的海洋或者大氣環(huán)境污染物監(jiān)測模擬數(shù)據(jù)同化系統(tǒng)。該系統(tǒng)可以在模擬風(fēng)速場中，設(shè)計污染源位置，模擬實際污染物的擴(kuò)散過程。利用集合卡爾曼濾波對模型的狀態(tài)變量進(jìn)行更新和校正，分析比較了集合數(shù)目變化、觀測方差變化和同化窗口長度變化對同化效果的影響。為了研究環(huán)境監(jiān)測中觀測位置對于數(shù)據(jù)同化系統(tǒng)的影響，設(shè)計了理想狀態(tài)的平行分布和重合分布等，討論了觀測信息對于數(shù)據(jù)同化系統(tǒng)的重要性。得到的主要結(jié)論有：①基于集合卡爾曼濾波在模擬的風(fēng)速場上建立了一個環(huán)境污染預(yù)報系統(tǒng)，利用該系統(tǒng)進(jìn)行同化實驗后，發(fā)現(xiàn)集合卡爾曼濾波融合模擬觀測信息對二維平流擴(kuò)散模型的狀態(tài)變量能夠?qū)崟r校正，實驗結(jié)果表明，集合卡爾曼濾波用于環(huán)境污染預(yù)報在理論上是可行的，在實際環(huán)境問題中的研究，還需在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步開展。②數(shù)據(jù)同化方法敏感性實驗發(fā)現(xiàn)：理想情況下，集合樣本數(shù)為20時，系統(tǒng)的同化性能較好；同化窗口長度和觀測方差越小，誤差越小。③實驗中調(diào)整觀測點與污染點之間距離，結(jié)果顯示觀測的位置距離污染源較近的同化效果明顯優(yōu)于距離較遠(yuǎn)的同化效果，觀測點與污染點位置重合，同化效果最好。污染源隨機(jī)分布時，在同化過程中引入局地化技術(shù)，利用w依據(jù)同化點和觀測點間的距離限制了卡爾曼增益的大小，討論了不同集合數(shù)情況下，權(quán)重因子對同化效果的影響。但研究仍存在一定的局限性，主要表現(xiàn)在：①實驗中使用的二維平流擴(kuò)散模型比較簡單，并且沒有考慮模式誤差，觀測資料由模型模擬生成，實際問題中結(jié)果將會受到一定的影響。②實驗是基于模擬的風(fēng)速場上進(jìn)行的，雖然與污染物的擴(kuò)散過程比較接近，但與實際環(huán)境相比較還是存在差異，所以存在一定的局限性。進(jìn)一步研究中需要將觀測點間的相關(guān)性融入進(jìn)來，進(jìn)一步提高集合卡爾曼濾波的同化效果。③污染源與觀測點的平行分布過于理想化，與實際情形相差太遠(yuǎn)，未來研究中，將進(jìn)一步考慮實際監(jiān)測工作的需要。

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Assimilation Research with Ensemble Kalman Filter Using Two-dimensional Advection Diffusion Model

BAI Yulong，You Yuanhong，SHAO Yu，XU Baoxiong

College of Physics and Electrical Engineering, Northwest Normal University, Lanzhou 730070, China

A simulation data assimilation system aiming at pollutant concentration was built for further improving environmental numerical predication level. Ensemble Kalman filter had been applied to real-time adjust state variables of the two-dimensional advection diffusion model, which could simulate and forecast pollutant concentration. Sensitivity tests were conducted with the change of ensemble numbers, observation variance and assimilation window’s length. Comparing the forecast effects by the different distances between the locations of observation point with pollution source, the assimilation strategies under optimum conditions were discussed, and then a novel method to adjust Kalman gain weight by distances was presented. In addition, the proposed methods could reduce computational cost and obtain better assimilation effect with the smaller ensemble sizes.

data assimilation；advection diffusion model；ensemble Kalman filter

2015-09-22；

2015-11-03

國家自然科學(xué)基金(41461078)；蘭州市科技計劃項目(2015-3-34)

擺玉龍(1973-)，男，甘肅會寧人，博士，教授。

X830.3

A

1002-6002(2016)06- 0123- 07

10.19316/j.issn.1002-6002.2016.06.20