考慮鋼筋約束效應(yīng)雙裂紋砼梁的動(dòng)力響應(yīng)?

胡成，陳得良

（長(zhǎng)沙理工大學(xué)土木與建筑學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410004）

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考慮鋼筋約束效應(yīng)雙裂紋砼梁的動(dòng)力響應(yīng)?

胡成，陳得良

（長(zhǎng)沙理工大學(xué)土木與建筑學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410004）

摘要：在考慮縱向鋼筋約束和裂紋區(qū)應(yīng)力集中雙效應(yīng)的基礎(chǔ)上，基于Euler-Bernoulli梁理論，建立了含雙裂紋鋼筋砼梁受迫振動(dòng)下的動(dòng)力響應(yīng)模型；運(yùn)用Galerkin方法對(duì)含雙裂紋梁的動(dòng)力響應(yīng)方程進(jìn)行分析，探討了裂紋深度、裂紋位置、裂紋間距及鋼筋約束效應(yīng)對(duì)具裂紋鋼筋砼梁動(dòng)力響應(yīng)的影響。結(jié)果表明，分析含裂紋鋼筋砼梁的動(dòng)力響應(yīng)時(shí)不能忽略縱向鋼筋的約束效應(yīng)，同時(shí)裂紋位置和深度等參數(shù)會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)產(chǎn)生影響。

關(guān)鍵詞：橋梁；鋼筋砼梁；雙裂紋；受迫振動(dòng)；鋼筋約束；動(dòng)力響應(yīng)

圖1　鋼筋砼雙裂紋梁模型

鋼筋位移模式為：

式中：us、ws分別為鋼筋在X和Z方向任意點(diǎn)的位移；σsxx、εsxx分別為鋼筋在X方向的應(yīng)力和應(yīng)變。

砼位移模式為：

式中：uc、wc分別為砼在X和Z方向的位移；σcxx、εcxx分別為砼在X方向的應(yīng)力和應(yīng)變；Ts為零時(shí)表示鋼筋砼梁不存在裂紋，為1時(shí)表示鋼筋砼梁存在裂紋；φj（x，z）為引進(jìn)裂紋影響因子函數(shù)，沿梁軸方向表現(xiàn)出指數(shù)衰減，其形式見(jiàn)式（3）。

式中：aj為第j個(gè)裂紋的深度；d為半梁高；xcj為第j個(gè)裂紋所在位置；u（d-a-z）為Heaviside函數(shù)，其表達(dá)式見(jiàn)式（4）。

基于Hamilton能量原理建立具有多條裂紋的鋼筋砼梁的動(dòng)力學(xué)控制方程，利用變分原理和邊界條件可得：

式中：δ為變分符號(hào)；T為動(dòng)能；U為應(yīng)變能；V為結(jié)構(gòu)外力勢(shì)能；t為時(shí)間變量。

砼梁動(dòng)能為：

鋼筋動(dòng)能為：

式中：Vc為砼體積；ρc為砼密度；Ac為砼梁截面面積；Vs為鋼筋體積；ρs為鋼筋的密度；為受壓區(qū)鋼筋面積；為受拉區(qū)鋼筋面積。

砼部分和鋼筋部分應(yīng)變能為：

式中：Ec為砼的彈性模量；Es為鋼筋的彈性模量；的計(jì)算公式見(jiàn)式（9）。

外力勢(shì)能V為：

式中：q（x，t）為分布荷載。

利用式（5）～（9）可得到含雙裂紋鋼筋砼梁受迫振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程：

對(duì)式（10）分離變量求解，設(shè)：

將式（11）、式（12）代入式（10），可得：

式中：

式（14）兩邊同時(shí)乘以sin（jπx/l），并沿梁長(zhǎng)積分，可得：

將式（15）寫(xiě)成矩陣的形式：

式中：T=［T1，T2，…，Tn］T為n階列向量；M為質(zhì)量矩陣；K為剛度矩陣；Q為廣義力矩陣。

M、K、Q可寫(xiě)成：

2　數(shù)值算例

以長(zhǎng)l=6 m、高d=0.2 m、寬b=0.1 m的鋼筋砼梁為例進(jìn)行分析。砼的彈性模量Ec=2.8× 104MPa，鋼筋的彈性模量Es=2.1×105MPa；砼密度ρc=2 460 kg/m3，鋼筋密度ρs=7 860 kg/m3；分別為受壓和受拉區(qū)鋼筋面積，截面面積均為158×10-2m2。

2.1鋼筋約束的影響

圖2為不同裂紋深度雙裂紋梁在跨中處作用P =8 000 N、頻率為10 Hz的正弦荷載時(shí)的動(dòng)力響應(yīng)。其中裂紋一位于1/4L處，裂紋二位于3/4L處，兩裂紋深度一樣。由圖2可以看出：對(duì)于含裂紋鋼筋砼梁，不計(jì)縱向鋼筋的約束效應(yīng)時(shí)得到的位移響應(yīng)大于計(jì)縱向鋼筋約束效應(yīng)時(shí)的位移響應(yīng)。表明含裂紋鋼筋砼梁的動(dòng)力響應(yīng)研究中不應(yīng)忽略縱向鋼筋的約束效應(yīng)。

圖2　不同裂紋深度時(shí)鋼筋約束對(duì)含裂紋鋼筋砼梁位移響應(yīng)的影響

2.2裂紋深度的影響（對(duì)稱裂紋）

圖3為裂紋處于不同位置時(shí)含裂紋鋼筋砼梁的動(dòng)力響應(yīng)。圖3表明：裂紋在不同對(duì)稱位置時(shí)，隨著裂紋深度的增加，梁的位移響應(yīng)增大。

2.3裂紋間距的影響

圖4為裂紋一位于1/6L處，鋼筋砼梁動(dòng)力響應(yīng)隨裂紋二位置變化的情況。裂紋深度a=0.05 m。從圖4可以看出：裂紋二處于3/6L時(shí)，位移響應(yīng)值最大；裂紋二處于5/6L時(shí)，位移響應(yīng)值最小。說(shuō)明裂紋間距從2/6L增加到4/6L的過(guò)程中，隨著裂紋間距的增加，位移響應(yīng)越來(lái)越小。

圖3　裂紋處于不同位置時(shí)裂紋深度對(duì)含裂紋鋼筋砼梁位移響應(yīng)的影響

圖4　裂紋深度a=0.05 m時(shí)裂紋間距對(duì)含裂紋鋼筋砼梁位移響應(yīng)的影響

3　結(jié)論

該文基于Euler-Bernoulli梁理論，引入應(yīng)力影響因子函數(shù)，分別建立了含裂紋鋼筋砼梁中鋼筋和砼部分的能量表達(dá)式；利用Hamilton變分原理，得到了受迫振動(dòng)下雙裂紋梁的動(dòng)力響應(yīng)控制方程，在此基礎(chǔ)上研究了縱向鋼筋約束效應(yīng)及裂紋深度、裂紋位置、裂紋間距等參數(shù)對(duì)雙裂紋鋼筋砼梁受迫振動(dòng)的影響。結(jié)論如下：

（1）考慮縱向鋼筋約束效應(yīng)時(shí)含裂紋鋼筋砼梁的位移響應(yīng)小于不考慮縱向鋼筋約束效應(yīng)時(shí)的值，研究鋼筋砼梁時(shí)其縱向鋼筋的約束效應(yīng)不應(yīng)忽略。

（2）在裂紋位置不變時(shí)，具裂紋鋼筋砼梁的位移響應(yīng)隨著裂紋深度的增加而增加。

（3）裂紋深度不變時(shí)，雙裂紋梁的位移響應(yīng)隨著裂紋之間間距的增大而減小。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 羅青松.含裂縫的預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土梁固有頻率的有限元分析［J］.華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)：城市科學(xué)版，2006，22（增刊2）.

［2］ 張煒，毛崎波，聶彥平.含任意數(shù)目裂紋梁的振動(dòng)分析［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2012（10）.

［3］ Roberto Capozucca.A reflection on the application of vibration tests for the assessment of cracking in PRC/ RC beams［J］.Engineering Structures，2013，48.

［4］ 王洪霞，李學(xué)平.含表面裂紋簡(jiǎn)支梁的非線性振動(dòng)分析［J］.動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2010，8（2）.

［5］ 林纓，李學(xué)平.結(jié)構(gòu)多位置裂縫識(shí)別的有限元方法［J］.南京師大學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，35（1）.

［6］ 王文亭，陳得良，劉峰.考慮鋼筋約束效應(yīng)的開(kāi)裂混凝土梁的自由振動(dòng)［J］.長(zhǎng)沙理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，8（2）.

［7］ D Chen，F(xiàn) Liu.Free vibration of a single-edge cracked RC beam strengthened with FRP［J］.Journal of Engineering Mechanics，2014，140（6）.

研究中作如下假定：鋼筋砼為均質(zhì)的彈性材料；應(yīng)變沿著梁截面高度線性變化；裂紋微小且屬于不閉合裂紋；裂紋張開(kāi)時(shí)，考慮鋼筋約束效應(yīng)。

中圖分類號(hào)：U448.34

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1671-2668（2016）03-0161-04

基金項(xiàng)目：?湖南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2015JJ4006）；長(zhǎng)沙理工大學(xué)橋梁工程湖南省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金項(xiàng)目
鋼筋砼梁結(jié)構(gòu)是重要的承重結(jié)構(gòu)，在現(xiàn)代土木工程中應(yīng)用廣泛，無(wú)論是橋梁還是建筑結(jié)構(gòu)其都很重要。然而鋼筋砼結(jié)構(gòu)在制造和使用過(guò)程中極易產(chǎn)生各種形式的裂紋，裂紋的存在將對(duì)結(jié)構(gòu)剛度、撓度及結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和使用壽命產(chǎn)生很大影響。為此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)具裂紋砼結(jié)構(gòu)的靜、動(dòng)力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了深入研究。羅青松利用有限元法分析了預(yù)應(yīng)力鋼筋砼一階固有頻率與鋼筋預(yù)應(yīng)力大小、布筋方式、裂縫深度及裂縫位置的關(guān)系；張煒等通過(guò)遞推方法，分析了含任意數(shù)目裂紋梁在多種邊界條件下的振動(dòng)問(wèn)題；Roberto Capozucca對(duì)具裂紋PRC/RC梁的振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了試驗(yàn)研究，并將相關(guān)試驗(yàn)結(jié)果和理論分析結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析，研究表明砼梁材料的非均勻性和非線性對(duì)砼開(kāi)裂梁的動(dòng)力學(xué)特性有重要影響；王洪霞、林纓等數(shù)值模擬了簡(jiǎn)支梁的非線性振動(dòng)問(wèn)題；王文亭等在考慮縱向鋼筋約束效應(yīng)和裂紋區(qū)應(yīng)力集中效應(yīng)的基礎(chǔ)上，對(duì)含單裂紋鋼筋砼梁的自由振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了研究。該文基于文獻(xiàn)［6］～［7］，在考慮縱向鋼筋約束效應(yīng)和裂紋區(qū)應(yīng)力集中效應(yīng)的基礎(chǔ)上，將相關(guān)含單裂紋鋼筋砼梁的研究成果推廣到含雙裂紋鋼筋砼梁的動(dòng)力響應(yīng)研究中，研究雙裂紋下鋼筋砼的位移情況及裂紋深度、裂紋位置、鋼筋約束對(duì)雙裂紋鋼筋砼梁的影響。
1考慮鋼筋約束效應(yīng)的雙裂紋砼梁受迫振動(dòng)方程
圖1為含雙裂紋鋼筋砼梁模型，梁長(zhǎng)為l，梁高為2d，梁寬為2b。梁中性軸以上布置縱向受壓鋼筋，面積為As1；中性軸以下布置縱向受拉鋼筋，面積為As2。兩種鋼筋中心與中心軸的距離分別為Za1和Za2。鋼筋砼梁上存在與梁端距離分別為xc1和xc2的2條裂紋，裂紋深度分別為a1和a2。p sin（ωt）為外界受迫荷載。

收稿日期：2016-02-13