基于自動(dòng)微分技術(shù)的含UPFC電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流

錢臻，劉建坤，陳靜，張寧宇，李海欣（.河海大學(xué)能源與電氣學(xué)院，江蘇南京　00；.江蘇省電力公司電力科學(xué)研究院，江蘇南京　006；.國(guó)網(wǎng)福建省電力公司福州供電公司，福建福州　5000）

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基于自動(dòng)微分技術(shù)的含UPFC電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流

錢臻1，劉建坤2，陳靜2，張寧宇2，李海欣3
（1.河海大學(xué)能源與電氣學(xué)院，江蘇南京211100；2.江蘇省電力公司電力科學(xué)研究院，江蘇南京210036；3.國(guó)網(wǎng)福建省電力公司福州供電公司，福建福州350003）

摘要：根據(jù)UPFC的穩(wěn)態(tài)潮流模型，提出了基于原對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法與自動(dòng)微分（AD）技術(shù)相結(jié)合的含UPFC最優(yōu)潮流算法。采用自動(dòng)微分技術(shù)實(shí)現(xiàn)了雅可比矩陣和海森矩陣的自動(dòng)生成，減少了微分表達(dá)式的推導(dǎo)，從而提高了開發(fā)效率。算例仿真結(jié)果表明，該算法對(duì)含UPFC的OPF模型具有良好的適用性和收斂性。

關(guān)鍵詞：統(tǒng)一潮流控制器；自動(dòng)微分技術(shù)；原對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法；最優(yōu)潮流

Project SuPPorted bY Nationa1 Natura1 Science Foundation of China（51277052）；the Science and Techno1ogY Project of State Grid （SGRI-DL-71-14-002）.

KEY W0RDS：unified Power f1ow contro11er；automatic differentiation；Prima1-dua1 interior Point method；oPtima1 Power f1ow

統(tǒng)一潮流控制器（unified Power f1ow contro11er，UPFC）是迄今為止功能最強(qiáng)大、控制方式最靈活的新一代柔性交流輸電（f1exib1e AC transmission sYstems，F(xiàn)ACTS）裝置，其綜合了多種FACTS裝置的控制方式。UPFC可以通過控制線路阻抗、相角、電壓三大參數(shù)，獨(dú)立地實(shí)現(xiàn)對(duì)輸電線路潮流和節(jié)點(diǎn)電壓的控制［1-3］。其不但可以有效地改善電力系統(tǒng)的潮流分布，而且能夠提高電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性，具有廣闊的應(yīng)用前景［4-6］。我國(guó)的UPFC示范工程也將于2016年在江蘇南京落地。

最優(yōu)潮流（oPtima1 Power f1ow，OPF）因能夠同時(shí)考慮電力系統(tǒng)的安全性、經(jīng)濟(jì)性以及電能質(zhì)量，在電力系統(tǒng)優(yōu)化運(yùn)行領(lǐng)域得到廣泛運(yùn)用［7-8］。文獻(xiàn)［9］提出了一種利用直接非線性原-對(duì)偶路徑跟蹤內(nèi)點(diǎn)算法求解含UPFC的OPF問題的算法，但是采用該算法，在模型發(fā)生變化的情況下，程序的適用性和可擴(kuò)展性不高；文獻(xiàn)［10］探討了用牛頓法求解含UPFC 的OPF問題，并推導(dǎo)了UPFC所連節(jié)點(diǎn)注入功率以及等效串、并聯(lián)電源的偏導(dǎo)公式，但是UPFC的引入以及其控制方式的多樣性將使雅可比矩陣和海森矩陣的求解變得十分復(fù)雜，使得編程難度大大增加。因此，尋找一種快速有效的方法來求解含UPFC的OPF問題具有重要意義。

自動(dòng)微分（automatic differentiation，AD）技術(shù)是計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算和分析領(lǐng)域內(nèi)的一項(xiàng)嶄新的技術(shù)。AD技術(shù)將微分定義為代數(shù)運(yùn)算，只需要輸入函數(shù)的解析表達(dá)式即可自動(dòng)計(jì)算函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)，因此大大降低了編程和計(jì)算的復(fù)雜度。目前，AD技術(shù)已在電力系統(tǒng)潮流計(jì)算、狀態(tài)估計(jì)以及OPF計(jì)算等方面得到廣泛應(yīng)用［11-15］。

本文基于UPFC的穩(wěn)態(tài)功率模型，實(shí)現(xiàn)了計(jì)及UPFC的最優(yōu)潮流計(jì)算，考慮到其具有多種功能和控制方式，采用自動(dòng)微分技術(shù)實(shí)現(xiàn)了雅可比矩陣和海森矩陣的自動(dòng)生成，簡(jiǎn)化了編程的難度。算例仿真結(jié)果表明，本文所提算法具有很好的適用性和良好的收斂性，有效地提高了含UPFC的OPF問題的求解效率。

1　自動(dòng)微分技術(shù)

AD技術(shù)的軟件代碼能自動(dòng)獲取函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，它以鏈規(guī)則為數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。由于任何解析函數(shù)被分解成一系列的基本運(yùn)算，例如+、-、×、÷、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)等，鏈規(guī)則都能夠得到這些基本運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)。因此，任何簡(jiǎn)單原始函數(shù)的導(dǎo)數(shù)能夠被推導(dǎo)出來。

自動(dòng)微分有正向和反向模式［16］。例如：

本例的計(jì)算圖如圖1所示，x4～x9為中間變量，并令x9等于y。

圖1　（fx1，x2，x3）的計(jì)算圖Fig. 1 Computational diagram of（fx1，x2，x3）

正向模式直接利用鏈規(guī)則的優(yōu)勢(shì)，分別由一個(gè)自變量計(jì)算所有因變量的偏導(dǎo)數(shù)。反之，反向模式由所有自變量計(jì)算一個(gè)因變量的導(dǎo)數(shù)。在反向模式下實(shí)現(xiàn)函數(shù)f（x1，x2，…，xn），偏導(dǎo)數(shù)δy/δx可以由函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)δy/δxj和式（2）得到：

表1　正向模式和反向模式Tab. 1 The forward model and the reverse model

AD技術(shù)的反向模式的一個(gè)明顯的缺點(diǎn)是需要存儲(chǔ)整個(gè)計(jì)算圖來完成導(dǎo)數(shù)計(jì)算，在解決大規(guī)模問題時(shí)需要相當(dāng)大的內(nèi)存。正向模式避免了存儲(chǔ)整個(gè)計(jì)算圖，相比于反向模式，節(jié)省了CPU時(shí)間和內(nèi)存。因此，本文采用AD技術(shù)的正向模式。

2　含UPFC的OPF模型

2.1UPFC穩(wěn)態(tài)模型

圖2為UPFC的雙電壓源模型等值電路［17-18］，UPFC安裝在線路sm的首端s側(cè)。r為新增節(jié)點(diǎn)，其將UPFC所在的支路分解為UPFC支路sr和原線路支路rm，使UPFC成為獨(dú)立的支路參與系統(tǒng)潮流計(jì)算和最優(yōu)潮流計(jì)算。

圖2　UPFC雙電壓源等值電路Fig. 2 Equivalent dual voltage sources circuit of UPFC

在潮流或最優(yōu)潮流計(jì)算中，需要求出UPFC所在支路兩端節(jié)點(diǎn)s、r的注入功率Ps+jQs、Pr+jQr。

然后將注入功率代入潮流方程中，UPFC的作用將被等效為兩端的節(jié)點(diǎn)注入功率，節(jié)點(diǎn)s、r之間等效為不再相連，大大減少了計(jì)算難度。

2.2含UPFC的OPF

含UPFC的OPF問題可表示為非線性優(yōu)化模型：

式中：x為待優(yōu)化變量；f（x）為目標(biāo)函數(shù)；h（x）和g（x）分別為等式約束和不等式約束，為不等式約束上、下限。

1）以發(fā)電費(fèi)用最小作為目標(biāo)函數(shù)：

式中：a2i、a1i、a0i為第i臺(tái)發(fā)電機(jī)的經(jīng)濟(jì)費(fèi)用參數(shù)；PGi為第i臺(tái)發(fā)電機(jī)的有功出力。

2）以系統(tǒng)網(wǎng)損最小作為目標(biāo)函數(shù)

式中：PDi為節(jié)點(diǎn)i的有功負(fù)荷。

2.2.2等式和不等式約束

含UPFC的OPF模型中等式約束包括一般節(jié)點(diǎn)功率平衡方程、UPFC的首末端節(jié)點(diǎn)功率平衡方程、UPFC有功功率平衡方程、UPFC控制目標(biāo)約束。

1）節(jié)點(diǎn)功率平衡方程為：

式中：ΔPi、ΔQi為節(jié)點(diǎn)功率殘差；Pi、Qi為節(jié)點(diǎn)等效注入功率；Vi、Vj為節(jié)點(diǎn)電壓幅值；θij、Gij、Bij分別為節(jié)點(diǎn)i、j間的相角差、電導(dǎo)以及電納。

需要指出的是，在UPFC所在支路的首末節(jié)點(diǎn)還應(yīng)加入Ps+jQs、Pr+jQr作為UPFC所在支路首末端節(jié)點(diǎn)的附加注入功率。

2）UPFC有功功率平衡方程為：

式（8）保證了穩(wěn)態(tài)時(shí)并聯(lián)側(cè)的有功輸入與串聯(lián)側(cè)的有功輸出相等，即UPFC既不吸收系統(tǒng)的有功功率，也不對(duì)系統(tǒng)注入有功功率。

3）UPFC控制目標(biāo)約束。UPFC的控制目標(biāo)有并聯(lián)側(cè)的節(jié)點(diǎn)電壓Vs、UPFC支路末端有功Pr和無功Qr，其方程為：

一般不等式約束包括發(fā)電機(jī)出力有功無功上下限、節(jié)點(diǎn)電壓幅值限制、線路功率約束；在計(jì)及UPFC的模型中，還包括UPFC等效電壓源幅值限制等，表達(dá)式為：

3　AD技術(shù)在含UPFC的OPF計(jì)算中的應(yīng)用

3.1AD技術(shù)在基于內(nèi)點(diǎn)法的OPF中的應(yīng)用

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)來求解式（4）所示非線性規(guī)劃問題［19］：

式中：y、z、w為拉格朗日乘子；l、u為不等式約束的松弛變量；μ為障礙函數(shù)的罰因子。

將庫(kù)恩-塔克（karush-kuhn-tucker，KKT）條件線性化后，用牛頓-拉夫遜法進(jìn)行求解。求解的過程中，需要計(jì)算多個(gè)雅克比矩陣和海森矩陣，而引入U(xiǎn)PFC和改變UPFC的控制方式將使得f（x）、g（x）、h（x）出現(xiàn)不同程度的改變，因此微分表達(dá)式的推導(dǎo)和實(shí)現(xiàn)都將變得更加復(fù)雜。

自動(dòng)微分技術(shù)將求解復(fù)雜的雅克比矩陣和海森矩陣的工作交給計(jì)算機(jī)自動(dòng)完成，能夠快速而準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)含UPFC的OPF問題計(jì)算。以h（x）為例，運(yùn)用AD技術(shù)求雅克比、海森矩陣的具體步驟如下。

1）為AD申請(qǐng)內(nèi)存，聲明活躍變量：自變量X和因變量H（X）。

2）將系統(tǒng)變量x的數(shù)值傳遞給活躍變量X。

3）用自變量X寫出H（X）的表達(dá)式。

4）將H（X）的數(shù)值傳遞給h（x）。

通過步驟1）～4）實(shí)現(xiàn)的基于AD技術(shù)的含UPFC 的OPF，只需為求解程序提供問題模型的表達(dá)式，即可自動(dòng)完成其余計(jì)算，在式（9）的UPFC控制方式改變時(shí)，只需修改對(duì)應(yīng)的UPFC控制目標(biāo)約束。

3.2求解步驟

基于AD技術(shù)內(nèi)點(diǎn)法對(duì)含UPFC的OPF進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，其具體求解步驟如圖3所示。

圖3　基于AD技術(shù)計(jì)算含UPFC的0PF計(jì)算流程Fig. 3 Calculation flow chart of 0PF with UPFC based on AD

4　算例分析

4.1UPFC控制效果測(cè)試

采用IEEE-14系統(tǒng)對(duì)UPFC在最優(yōu)潮流中的控制效果進(jìn)行測(cè)試分析，加裝UPFC于線路4～5的節(jié)點(diǎn)4側(cè)。需要添加新節(jié)點(diǎn)15于4～5線路之間，以發(fā)電費(fèi)用最小為目標(biāo)。所用計(jì)算機(jī)處理器主頻3.4 GHz，內(nèi)存4 GB，運(yùn)行平臺(tái)為Windows 7。

設(shè)計(jì)如下幾種UPFC控制方式：

3）不設(shè)置控制值。

需要說明的是，方式3）表示不限定各控制量的值，這樣做的意義在于，最優(yōu)潮流模型中增加了UPFC變量，方式3）不加任何控制條件，使得尋優(yōu)空間變大，理論上將會(huì)獲得更優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)值。這其實(shí)是在解最優(yōu)潮流的同時(shí)，尋找UPFC最優(yōu)控制策略的過程。同理，方式1）表示對(duì)Vs_ref不設(shè)置控制值。

表2　各控制方式下的UPFC參數(shù)和目標(biāo)函數(shù)Tab. 2 Parameters and calculation results of UPFC in different control modes

由表2可知，本文提出的算法對(duì)于UPFC多種控制方式均能優(yōu)化，具有較強(qiáng)的適應(yīng)性，其中控制方式1）、2）的不同，導(dǎo)致了UPFC控制參數(shù)的很大差異，這也說明了UPFC擁有靈活的控制能力。另外，控制方式1）UPFC的加入，能夠使OPF目標(biāo)函數(shù)進(jìn)一步降低，但控制方式2）比控制方式1）多一個(gè)約束條件，使得問題的尋優(yōu)空間減小，其最優(yōu)值反而大于無UPFC的情況；而控制方式3）相比于其他情況，其目標(biāo)函數(shù)值是最優(yōu)的，這是因?yàn)榭刂品绞?）能夠?qū)崿F(xiàn)自動(dòng)尋優(yōu)，它是一種非常適合于最優(yōu)潮流的控制方式，能夠使UPFC在最優(yōu)潮流中發(fā)揮最大作用。

4.2算法收斂性測(cè)試

首先，對(duì)IEEE-14系統(tǒng)在各種UPFC控制方式下的最優(yōu)潮流收斂性進(jìn)行分析。選取不加裝UPFC、控制方式1）、控制方式3）3種情況的最優(yōu)潮流作為對(duì)象，求得的收斂曲線如圖4所示。

從收斂曲線中容易得到，加裝UPFC后的OPF的兩種補(bǔ)償間隙減小速率明顯慢于無UPFC的OPF。無UPFC經(jīng)過10次迭代完成收斂，而控制方式1）、3）分別經(jīng)過15、21次才收斂，且含UPFC的OPF的收斂曲線的波動(dòng)性更大。表明UPFC將改變最優(yōu)潮流的收斂特性，且不同控制方式由于尋優(yōu)范圍不同導(dǎo)致收斂特性不同。

圖4　補(bǔ)償間隙收斂曲線和最大潮流差收斂曲線Fig. 4 Convergence curve of compensation clearance and maximum flow difference

4.3某市78節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)優(yōu)化效果

受負(fù)荷和電源分布等因素影響，某市電網(wǎng)內(nèi)存在220 kV線路輸送功率不均的情況，線路重載和輕載情況并存，局部地區(qū)少量重載線路的存在導(dǎo)致電網(wǎng)整體供電能力難以提升。

該系統(tǒng)總負(fù)荷6 429.1 MW，輸電線路132條，其中變壓器20臺(tái)?，F(xiàn)考慮在該市加裝兩臺(tái)UPFC裝置［20］，并采用最優(yōu)潮流控制策略，研究含UPFC的OPF對(duì)該市供電能力的影響。其中UPFC的安裝選址有兩種方案：

1）加裝于線路8～26的雙回路上，記為1號(hào)；

2）分別加裝于線路26～27和線路41～39，記為2號(hào)。

UPFC的控制方式都采用的控制方式3），其計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3　目標(biāo)函數(shù)值比較Tab. 3 Comparison of the objective function values

由表3可知，含UPFC的OPF的網(wǎng)損值都優(yōu)于傳統(tǒng)的OPF，證明了加裝UPFC提高了該市電網(wǎng)的經(jīng)濟(jì)運(yùn)行能力。而在2種UPFC加裝方案中，方案1的優(yōu)化效果優(yōu)于方案2，說明UPFC選址對(duì)最優(yōu)結(jié)果有一定影響，2種加裝方案下UPFC控制策略如表4所示。

表4　UPFC最優(yōu)目標(biāo)參數(shù)Tab. 4 The optimal parameters of UPFC

由于該市電網(wǎng)存在潮流不均、部分線路重載等問題，限定線路傳輸功率上下限為原來的75%，加入以上限制后的計(jì)算結(jié)果如表5所示。

表5　計(jì)及限制后的UPFC參數(shù)和目標(biāo)函數(shù)Tab. 5 Parameters and calculation results of UPFC considering limits

由表5可知，加入限制后UPFC參數(shù)發(fā)生了較大變化，程序找到了新的最優(yōu)點(diǎn)；而目標(biāo)值相比于未限制時(shí)有所增大，但依然小于不含UPFC的情況，證明UPFC具有強(qiáng)大的潮流控制能力，能夠解決線路重載問題。

綜上所述，UPFC的接入改善了該市電網(wǎng)輸送功率不均的狀況，提高了該市的供電能力，也提高了該市電網(wǎng)運(yùn)行的經(jīng)濟(jì)性。

5　結(jié)語(yǔ)

UPFC具有多種控制方式，給定UPFC參數(shù)可以改善系統(tǒng)運(yùn)行特性，提升電網(wǎng)供電能力；不給定UPFC參數(shù)可以擴(kuò)大最優(yōu)潮流的尋優(yōu)范圍，提高電網(wǎng)的經(jīng)濟(jì)運(yùn)行能力。算例仿真驗(yàn)證了AD技術(shù)和內(nèi)點(diǎn)法結(jié)合的實(shí)現(xiàn)方法對(duì)計(jì)及UPFC的OPF模型具有很好的適用性和良好的收斂性。

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［17］ZHANG F，CHEN J，LI C，et a1. An aPProach to embed Power f1ow contro1 mode1 of UPFC into PSASP based on user Program interface function［J］. Journa1 of ComPuters，2014，9（1）：146-152.

［18］周玲，王寬，錢科軍，等.計(jì)及UPFC的電力系統(tǒng)無功優(yōu)化［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2008，28（4）：37-41. ZHOU Ling，WANG Kuan，QIAN Kejun，et a1. Power sYstem reactive Power oPtimization considering UPFC insta11ation［J］. Proceedings of the CSEE，2008，28（4）：37-41（in Chinese）.

［19］衛(wèi)志農(nóng)，季聰，孫國(guó)強(qiáng)，等.含VSC-HVDC的交直流系統(tǒng)內(nèi)點(diǎn)法最優(yōu)潮流計(jì)算［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2012， 32（19）：89-95. WEI Zhinong，JI Cong，SUN Guoqiang，et a1. Interior-Point oPtima1 Power f1ow of AC-DC sYstem with VSC -HVDC［J］. Proceedings of the CSEE，2012，32（19）：89-95（in Chinese）.

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錢臻（1993—），女，碩士研究生，研究方向?yàn)橛?jì)及FACTS的電力系統(tǒng)分析；

劉建坤（1980—），男，高級(jí)工程師，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)計(jì)算和分析工作。

（編輯董小兵）

0ptimal Power Flow with UPFC Based on Automatic Differentiation

QIAN Zhen1，LIU Jiankun2，CHEN Jing2，ZHANG NingYu2，LI Haixin3
（1. Co11ege of EnergY and E1ectrica1 Engineering，Hohai UniversitY，Nanjing 211100，Jiangsu，China；2. Jiangsu E1ectric Power ComPanY Research Institute，Nanjing 210036，Jiangsu，China；3. Fuzhou E1ectric Power SuPP1Y ComPanY，State Grid Fujian E1ectric Power ComPanY，F(xiàn)uzhou 350003，F(xiàn)ujian，China）

ABSTRACT：The introduction of unified Power f1ow contro11er （UPFC）has comP1icated the so1ving Procedure of the oPtima1 Power f1ow（OPF）. This PaPer ProPoses an OPF a1gorithm incor-Porating UPFC（so1ved bY Prima1-dua1 interior Point method）on the basis of combination of the steadY state mode1 of UPFC and the automatic differentiation（AD）technique. The AD technique is emP1oYed to estab1ish the Jacobi and Hessian matrix automatica11Y. Thus，the efficiencY is imProved bY reducing the deduction of differentia1 exPressions. The ProPosed a1gorithm is verified on test cases to demonstrate its aPP1icabi1itY and convergence.

文章編號(hào)：1674-3814（2016）04-0024-06中圖分類號(hào)：TM711

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51277052）；國(guó)家電網(wǎng)公司科技項(xiàng)目（SGRI-DL-71-14-002）。

收稿日期：2015-09-06。

作者簡(jiǎn)介：