基于蒙特卡洛算法的精度試驗(yàn)序貫檢驗(yàn)方案設(shè)計(jì)

李志剛

（92941部隊(duì)94分隊(duì)，葫蘆島　125000）

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基于蒙特卡洛算法的精度試驗(yàn)序貫檢驗(yàn)方案設(shè)計(jì)

李志剛

（92941部隊(duì)94分隊(duì)，葫蘆島125000）

摘要：介紹了武器系統(tǒng)精度試驗(yàn)的序貫檢驗(yàn)方案，分析了方案設(shè)計(jì)時(shí)在設(shè)計(jì)計(jì)算中存在的問(wèn)題并提出了采用蒙特卡洛法進(jìn)行序貫檢驗(yàn)的方案。實(shí)例表明運(yùn)用蒙特卡洛隨機(jī)仿真模擬方法進(jìn)行序貫檢驗(yàn)方案設(shè)計(jì)，能夠得到滿足設(shè)計(jì)風(fēng)險(xiǎn)的檢驗(yàn)方案，可以作為序貫檢驗(yàn)方案設(shè)計(jì)的有效手段。

關(guān)鍵詞：精度試驗(yàn)；序貫檢驗(yàn)；蒙特卡洛法

序貫檢驗(yàn)方案是武器系統(tǒng)精度試驗(yàn)等領(lǐng)域常用的檢驗(yàn)方法之一，在序貫檢驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)中，由于目標(biāo)函數(shù)不能用數(shù)學(xué)表達(dá)式寫(xiě)出［1］，使得傳統(tǒng)的采取離散的方法進(jìn)行方案設(shè)計(jì)出現(xiàn)了問(wèn)題：設(shè)計(jì)計(jì)算復(fù)雜而且參數(shù)精度不高，導(dǎo)致檢驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)擬合不夠好。蒙特卡洛（Monte-Carlo）方法，是對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)，用數(shù)值方法求取問(wèn)題的近似解。這種方法是通過(guò)概率分布或概率密度進(jìn)行求解，是在全概率的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，因而其模擬結(jié)果是精確的。蒙特卡洛法的求解過(guò)程是：第一，建立問(wèn)題的概率模型或隨機(jī)過(guò)程，讓其參數(shù)與問(wèn)題的解相等；第二，通過(guò)觀察或抽樣，對(duì)模型或過(guò)程需要求取的參數(shù)統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行計(jì)算；第三，得到所求參數(shù)的近似解，并且可以用估值的標(biāo)準(zhǔn)誤差描述解的精度，即通過(guò)所謂“抽簽試驗(yàn)”來(lái)確定包含大量隨機(jī)因素的物理過(guò)程的概率特性。因此，通過(guò)蒙特卡洛法，可以解決精度試驗(yàn)序貫檢驗(yàn)方案設(shè)計(jì)的問(wèn)題。

1　序貫檢驗(yàn)基本思想

序貫檢驗(yàn)是Wald A在二次大戰(zhàn)期間創(chuàng)立的，之后得到了快速發(fā)展并被各個(gè)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。序貫檢驗(yàn)方法的樣本容量在試驗(yàn)前并不事先約定，在試驗(yàn)時(shí)，根據(jù)試驗(yàn)過(guò)程中的觀察值，通過(guò)統(tǒng)計(jì)推斷作出判斷，從而決定是否繼續(xù)試驗(yàn)；如果繼續(xù)試驗(yàn)，則根據(jù)整個(gè)試驗(yàn)的觀察值（包含前期所有試驗(yàn)的觀察值），通過(guò)統(tǒng)計(jì)推斷進(jìn)行判斷，直至能夠得出試驗(yàn)結(jié)論為止。對(duì)于武器系統(tǒng)精度試驗(yàn)而言，其序貫檢驗(yàn)就是按上述方法，一次一次地進(jìn)行試驗(yàn)和判斷，直到能夠得出結(jié)論，可以確定結(jié)束試驗(yàn)為止。因此，整個(gè)系統(tǒng)精度序貫檢驗(yàn)的樣本量是隨機(jī)的，最終的樣本量是在試驗(yàn)結(jié)束時(shí)才知道結(jié)果，而在試驗(yàn)過(guò)程中，相當(dāng)于劃分了一個(gè)既不能接收也不能拒收的繼續(xù)試驗(yàn)區(qū)，子樣落在這一區(qū)域時(shí)不能夠做出接收和拒收的判斷，因而要選擇繼續(xù)試驗(yàn)，這樣就能避免固定樣本條件下微小的子樣變化可能導(dǎo)致不同決策結(jié)果的弊端。由于系統(tǒng)精度序貫檢驗(yàn)是在試驗(yàn)進(jìn)行過(guò)程中，通過(guò)對(duì)整個(gè)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)做出推斷，這樣所有試驗(yàn)信息都得到了有效利用，因此序貫檢驗(yàn)最大的好處還在于有可能縮小試驗(yàn)次數(shù)。

武器系統(tǒng)射擊精度即射擊命中問(wèn)題，一般服從二項(xiàng)分布，因此有統(tǒng)計(jì)假設(shè)：

式中，p0為命中概率設(shè)計(jì)指標(biāo)，p1為使用方不希望但能接受的最低命中概率值［2］。

在進(jìn)行武器系統(tǒng)精度試驗(yàn)序貫檢驗(yàn)時(shí)，選擇生產(chǎn)和使用方雙方風(fēng)險(xiǎn)分別為α、β，選擇與α和β有關(guān)的兩個(gè)常數(shù)A和B，A和B的關(guān)系需滿足0＜A＜1＜B，然后對(duì)武器系統(tǒng)精度涉及的隨機(jī)變量試驗(yàn)，在每次試驗(yàn)（例如第n次試驗(yàn)）以后，求得似然比On［3］，若A＜On＜B，則選擇繼續(xù)試驗(yàn)；若On≤A，則選擇接收假設(shè)H0，試驗(yàn)終止；若On≥B，則選擇拒絕假設(shè)H0，此時(shí)同樣要結(jié)束試驗(yàn)［4，5］。A、B的取值可以由以下不等式確定［6］：

式（2）僅僅表述了A、B的取值范圍，并不是A、B的確切表達(dá)式。A.Wald已證明A、B存在確定的值，盡管選擇的A、B值需要與α、β有關(guān)，但想用α、β表示其確切值是困難的，因此，A.Wald建議用下式代替A、B取值：

這樣選取的是A、B的近似值，其結(jié)果是繼續(xù)試驗(yàn)范圍擴(kuò)大了，而且還會(huì)導(dǎo)致實(shí)際試驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)α*≤α、β*≤β，并有可能增加實(shí)際試驗(yàn)數(shù)。所以，這樣的選擇不符合武器系統(tǒng)精度的試驗(yàn)設(shè)計(jì)要求。因此，為了得到A、B的“真值”，采用通過(guò)蒙特卡洛法進(jìn)行隨機(jī)模擬的方法，尋找A、B“真值”，使試驗(yàn)雙方實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)α*=α、β*=β，并盡可能減少實(shí)際試驗(yàn)次數(shù)。

序貫檢驗(yàn)主要解決三個(gè)方面問(wèn)題：確定常數(shù)A、B；評(píng)價(jià)檢驗(yàn)結(jié)果的好壞；確定平均試驗(yàn)次數(shù)［7，8］。

2　序貫檢驗(yàn)方案設(shè)計(jì)模型的確定

選擇生產(chǎn)和使用方雙方風(fēng)險(xiǎn)分別為α0、β0。武器系統(tǒng)精度試驗(yàn)序貫檢驗(yàn)方案如圖1所示。

圖1　武器系統(tǒng)精度序貫檢驗(yàn)方案

試驗(yàn)過(guò)程中，若滿足On≤A，則接收H0，其臨界線L0為：

同樣，若On≥B，則拒絕H0，其臨界線L1為：

如果在武器系統(tǒng)精度試驗(yàn)序貫檢驗(yàn)方案中，實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)為α*、β*，那么蒙特卡洛法隨機(jī)模擬的目的，是尋找A、B的值，使α*=α0、β*=β0。根據(jù)上面的敘述，序貫檢驗(yàn)設(shè)計(jì)模型如下：

設(shè)計(jì)變量：A、B，其取值范圍為［9］：

目標(biāo)函數(shù)

式（7）中，ε是足夠小的正數(shù)。

優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果為：A*、B*、α*、β*及平均試驗(yàn)數(shù)n*。

3　序貫檢驗(yàn)方案設(shè)計(jì)的尋優(yōu)方法

在序貫檢驗(yàn)中，α*、β*是關(guān)于A、B的函數(shù)，即：

顯然，若果想壓縮繼續(xù)試驗(yàn)區(qū)，就相當(dāng)于要增大A，減小B，這樣會(huì)導(dǎo)致α*、β*均增大，以上表述可表示為：（A↑，B↓）→（α*↑，β*↑）

同樣，

擴(kuò)展繼續(xù)試驗(yàn)區(qū)：（A↓，B↑）→（α*↓，β*↓）；

上移繼續(xù)試驗(yàn)區(qū)：（A↓，B↓）→（α*↑，β*↓）；

下移繼續(xù)試驗(yàn)區(qū)：（A↑，B↑）→（α*↓，β*↑）。

于是，得到如下尋優(yōu)準(zhǔn)則：

式中：hA，hB為優(yōu)化步長(zhǎng)。

式（9）給出了武器系統(tǒng)精度試驗(yàn)序貫檢驗(yàn)的自動(dòng)尋優(yōu)過(guò)程，它可以按照試驗(yàn)雙方設(shè)計(jì)風(fēng)險(xiǎn)需求，通過(guò)調(diào)整A、B的值來(lái)改善實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)α*、β*，進(jìn)而滿足武器系統(tǒng)精度試驗(yàn)設(shè)計(jì)要求。在精度試驗(yàn)序貫檢驗(yàn)的方案設(shè)計(jì)中，對(duì)式（9）的變量A、B還需進(jìn)行歸一處理。令歸一處理的A、B對(duì)應(yīng)值分別為xA、xB，則xA、xB的變化區(qū)間均為（0，1），其計(jì)算公式如下：

于是，式（9）式改寫(xiě)為：

A、B用下式還原：

4　序貫檢驗(yàn)方案設(shè)計(jì)的隨機(jī)仿真模擬

4.1蒙特卡洛隨機(jī)仿真模擬方法

在序貫檢驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)中，由于目標(biāo)函數(shù)不能用數(shù)學(xué)表達(dá)式寫(xiě)出，因此通過(guò)蒙特卡洛隨機(jī)仿真模擬對(duì)其進(jìn)行計(jì)算，用迭代法實(shí)現(xiàn)具體設(shè)計(jì)，其算法框圖如圖2所示。

在圖2的隨機(jī)仿真模擬中，精度試驗(yàn)序貫檢驗(yàn)的雙方實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)α*、β*計(jì)算步驟如下：

a.成敗型二項(xiàng)分布的模擬抽樣

1）產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)r～U（0，1）；

2）若r≤p，令x=1，反之x=0；

得到的x為成敗型二項(xiàng)分布的抽樣結(jié)果。

圖2　序貫檢驗(yàn)算法框圖

b.對(duì)一次序貫檢驗(yàn)進(jìn)行隨機(jī)模擬

1）對(duì)H0假設(shè)進(jìn)行抽樣，令P=P0，按A、B的給定值計(jì)算，框圖圖3所示。

2）把P0換為P1，按1）的方法，對(duì)H1假設(shè)按A、B給定值隨機(jī)模擬，計(jì)算結(jié)果為n1、x1、SH1。

以上兩個(gè)步驟是武器系統(tǒng)精度序貫檢驗(yàn)的一次隨機(jī)模擬過(guò)程。

c.計(jì)算雙方實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)α*、β*和試驗(yàn)的平均試驗(yàn)數(shù)

圖3　一次序貫試驗(yàn)（P=P0）隨機(jī)模擬計(jì)算框圖

表1　檢驗(yàn)方案隨機(jī)仿真模擬結(jié)果

同樣，記：P=P1時(shí)，N次隨機(jī)模擬中采納H0的次數(shù)為SH1，則拒絕H0次數(shù)為N-SH1，并得到試驗(yàn)樣本數(shù)nli，（i =1，2，…，N），有：

對(duì)于隨機(jī)模擬次數(shù)N的取值，在對(duì)事件A發(fā)生的概率P進(jìn)行隨機(jī)模擬時(shí)，為了使概率誤差不大于ε，隨機(jī)模擬次數(shù)N一般不應(yīng)少于：

式中，θ可以取一個(gè)預(yù)先的粗略估計(jì)值。在武器系統(tǒng)精度序貫檢驗(yàn)中，事件A是指計(jì)算α*、β*，式14中的θ可用α0或β0代替。

4.2仿真實(shí)例

假定命中概率設(shè)計(jì)指標(biāo)p0為0.5，鑒別比λ為0.5或0.67，雙方風(fēng)險(xiǎn)α0、β0選取相同風(fēng)險(xiǎn)0.2或0.3進(jìn)行了二組仿真模擬；假定命中概率設(shè)計(jì)指標(biāo)p0為0.5，雙方風(fēng)險(xiǎn)α0、β0選取相同風(fēng)險(xiǎn)0.2或0.3進(jìn)行了一組仿真模擬。在仿真模擬中，選取的風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算誤差ε為0.02，模擬次數(shù)N取5000，仿真模擬結(jié)果見(jiàn)表1。

5　結(jié)論

運(yùn)用Monte—Carlo方法進(jìn)行隨機(jī)仿真模擬，通過(guò)模擬可以制定給定條件下的試驗(yàn)方案，這樣在試驗(yàn)過(guò)程中每進(jìn)行一次試驗(yàn)就可以迅速判斷試驗(yàn)是否繼續(xù)進(jìn)行，及時(shí)給出接收還是拒收的結(jié)論；通過(guò)仿真模擬方案試驗(yàn)，預(yù)期的實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)與設(shè)計(jì)風(fēng)險(xiǎn)擬合較好，能夠得出滿足設(shè)計(jì)風(fēng)險(xiǎn)的試驗(yàn)結(jié)論，可以作為方案制定的有效手段。

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Design of Sequential Inspection Scheme for Precision Test Based on Monte-Carlo Method

LI Zhigang
（Unit 94，No. 92941 Troops of PLA，Huludao 125001）

Abstract：Introduces sequential inspection scheme of weapon system precision test，analyzes the problems existing in the design and Monte Carlo method is presented.Examples show that using Monte Carlo stochastic simulation method for sequential inspection scheme design，can meet the design risk for inspection plan，can be used as an effective means of sequential inspection scheme.

Key words：precision test；sequential inspection；Monte-Carlo method

中圖分類(lèi)號(hào)：E911

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1672-9870（2016）02-0086-04

收稿日期：2015-09-01

作者簡(jiǎn)介：李志剛（1971-），男，碩士，高級(jí)工程師，E-mail：1106915758@qq.com