基于逆運動學的6-UPS并聯(lián)機構運動學參數(shù)辨識方法

趙海波，李巍，王一建

（中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，長春　130033）

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基于逆運動學的6-UPS并聯(lián)機構運動學參數(shù)辨識方法

趙海波，李巍，王一建

（中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，長春130033）

摘要：為了提高6-UPS并聯(lián)機構的定位精度，研究了一種基于逆運動學的6-UPS并聯(lián)機構運動學參數(shù)辨識方法。首先基于逆運動學建立了6-UPS并聯(lián)機構的運動學參數(shù)辨識模型，然后通過Levenberg-Marquardt最小二乘法對模型進行求解，最后對該算法進行了仿真驗證。結果表明該算法可以很快收斂，在測量設備沒有測量誤差的理想狀態(tài)下，參數(shù)辨識精度達到10-10mm。在測量設備存在1μm、1″的誤差狀態(tài)下，參數(shù)辨識精度達到10-3mm，足以滿足大部分應用場合下6-UPS的位姿精度要求。

關鍵詞：6-UPS并聯(lián)機構；逆運動學；運動學參數(shù)辨識；最小二乘法

6-UPS并聯(lián)機構具有剛度大、運動精度高、動態(tài)性能優(yōu)越、實時控制簡易等優(yōu)點，在精密定位領域有著重要應用［1，2］。位姿調節(jié)精度是6-UPS并聯(lián)機構的關鍵指標［3］，該機構的制造和裝配誤差會對其定位精度造成很大影響，進而影響其工作性能。為提高6-UPS并聯(lián)機構的性能，就必須減小其位姿誤差，提高定位精度，對于定位精度要求極高的6-UPS并聯(lián)機構，僅靠提高加工制造精度來達到其定位精度的要求，目前的加工裝配水平是無法實現(xiàn)的。相比而言，通過參數(shù)辨識進而對誤差進行補償?shù)姆椒▉硖岣?-UPS并聯(lián)機構的精度是十分可行的。

1　運動學參數(shù)辨識

運動學參數(shù)辨識，又稱精度補償，是提高并聯(lián)機構精度的有效手段［4，5］。根據(jù)并聯(lián)機構的機構特點，確定其參數(shù)辨識具體參數(shù)，建立參數(shù)辨識模型，利用測量工具對并聯(lián)機構的位姿進行測量，構造機構位姿與參數(shù)辨識參數(shù)之間的關系方程，利用參數(shù)辨識算法進行辨識，根據(jù)辨識的結果修改控制系統(tǒng)的模型控制參數(shù)，進行誤差補償。

目前，并聯(lián)機構的參數(shù)辨識方法按照測量方法的不同主要分為自參數(shù)辨識法和外參數(shù)辨識法兩種［6］。利用自參數(shù)辨識法進行參數(shù)辨識時需要利用內(nèi)部觀測器獲取信息，其一般需要在鉸鏈處安裝傳感器［7］。這種方法在實際應用中往往受到傳感器種類和尺寸的限制，不能辨識機構所有的幾何參數(shù)。利用外參數(shù)辨識法進行參數(shù)辨識時需要利用外部測量工具來測量運動平臺的位姿信息。該方法可以辨識并聯(lián)機構所有的幾何參數(shù)。6-UPS并聯(lián)機構需要辨識的幾何參數(shù)一共42項，參數(shù)較多，故選擇外參數(shù)辨識方法，用外部測量設備測量動平臺的位姿。

另外，按照運動學模型的不同，并聯(lián)機構的參數(shù)辨識方法又可以分為基于正運動學的參數(shù)辨識法和基于逆運動學的參數(shù)辨識法兩種。6-UPS并聯(lián)機構的正運動學求解是一個迭代求解過程，算法較為復雜，耗時較長，而逆運動學求解過程則不需要迭代求解，耗時短，效率高，因此，本文決定以逆運動學算法為基礎構建6-UPS并聯(lián)機構的運動學辨識模型。

2　6-UPS并聯(lián)機構的逆運動學

6-UPS并聯(lián)機構的結構如圖1所示，由六根可自由伸縮的支桿通過虎克鉸和球鉸將動平臺和定平臺連接在一起。以定平臺中心為坐標原點建立定坐標系｛B｝，其z軸垂直定平臺；以動平臺的旋轉中心為坐標原點建立動坐標系｛P｝，ri為虎克鉸中心Ai在定坐標系｛B｝中的位置矢量；Pi為球鉸中心Bi在動坐標系｛P｝中的位置矢量。6-UPS并聯(lián)機構的逆運動學：已知動平臺位姿P和機構的幾何參數(shù)u，求解六支桿長度l。

圖1　6-UPS并聯(lián)機構結構示意圖

由圖1中的矢量關系可得：

式中：

Δli-第i個支桿長度變化量；

l0i-第i個支桿在初始零位的長度；

R -坐標系｛P｝到坐標系｛B｝的旋轉變換矩陣；

X -坐標系｛P｝原點在坐標系｛B｝中的位置矢量。

3　6-UPS并聯(lián)機構參數(shù)辨識模型

由6-UPS并聯(lián)機構的逆運動學可知，給定動平臺的位姿［R，X］T，以及6-UPS并聯(lián)機構的幾何參數(shù)：ui=［ri，Pi，l0i］T，即可求得各個支桿長度變化量Δli，i =1，2，…，6；6-UPS并聯(lián)機構的參數(shù)辨識是指已知動平臺的真實位姿［Rj，Xj］T和各個支桿長度變化量Δli，j（i =1，2，…，6；j =1，2，…，m；m為測得的位姿數(shù)）情況下，求6-UPS并聯(lián)機構的幾何參數(shù)：ui=［ri，Pi，l0i］T，共42個參量。

3.16-UPS并聯(lián)機構參數(shù)辨識模型的構建

根據(jù)式（2）所示的殘差函數(shù)fi，j，可構建6-UPS并聯(lián)機構參數(shù)辨識模型，即支桿長度變化量殘差平方的和C：

若6-UPS并聯(lián)機構幾何參數(shù)的辨識結果與實際值越接近，其由運動學逆解計算得到的支桿長度變化量與測得的支桿長度變化量的差值越小，支桿長度變化量殘差平方的和C越接近于零，當C= 0時，辨識的機構幾何參數(shù)值等于其實際值。6-UPS并聯(lián)機構的參數(shù)辨識問題轉化為最優(yōu)化問題，即為求解使式（3）中的C值最小機構的42個幾何參數(shù)。

3.26-UPS并聯(lián)機構參數(shù)辨識模型的雅克比矩陣

對6-UPS并聯(lián)機構的運動學逆解式（1）等式兩邊微分可得：

化簡得：

所以，6-UPS并聯(lián)機構單桿參數(shù)辨識模型的雅克比矩陣為：

由單桿參數(shù)辨識模型的雅克比矩陣可得6-UPS并聯(lián)機構整體參數(shù)辨識模型的雅克比矩陣：

4　參數(shù)辨識模型求解算法

由6-UPS并聯(lián)機構的參數(shù)辨識模型可知，共有42個需要辨識的幾何參數(shù)，而其動平臺的每個位姿包含6個相互獨立的變量，因此，最少需測量7組位姿，為使辨識的結果具有良好的魯棒特性，應選取不少于20個位姿構造一個超定殘差方程。具體的解法，本文選用最小二乘法［8］。最小二乘法中最常用的是Guss-Newton法，但是該方法的迭代公式中需要對矩陣求逆，容易出現(xiàn)奇異性導致求解失效，而且，當其探索方向與該點處的負梯度方向正交或者接近正交時，Guss-Newton法收斂速度會減慢，甚至會出現(xiàn)假收斂。Levenberg-Marquardt方法可以很好的解決以上問題，不會出現(xiàn)奇異性并且收斂速度快。

采用Levenberg-Marquardt算法求解6-UPS并聯(lián)機構的參數(shù)辨識模型的步驟如下所示：

（1）選取初始幾何參數(shù)u0，給定初始參數(shù)α0，放大因子β，以及允許誤差ε，k =0；

（3）檢查是否滿足終止準則：若C（u（k））≤ε，則終止迭代，u（k）為最終所辨識的幾何參數(shù)；否則，下一步；

（6）放大參數(shù)：αk=βαk，返回步驟（4）；

（7）縮小參數(shù)：αk=αk/β，u（k）=u（k）+sk， k=k+1，返回步驟（2）；

Levenberg-Marquardt算法流程圖如圖2所示：

圖2　Levenberg-Marquardt算法流程圖

5　仿真實驗

5.1設定初始參數(shù)

給定6-UPS并聯(lián)機構的設計參數(shù)如下：

表1　6-UPS并聯(lián)機構初始設計參數(shù)

表1中，Ru、Rd分別表示動平臺、靜平臺鉸鏈中心所在分布圓的半徑，φu、φd分別表示動平臺、靜平臺兩個相鄰鉸鏈在分布圓上的夾角的一半，h、H分別表示動平臺旋轉中心與動平臺、靜平臺鉸鏈中心所在平面的初始距離。通過上述6個名義上的結構參數(shù)可以計算出6-UPS并聯(lián)機構名義上的42個運動學參數(shù)。實際加工裝配后的6-UPS并聯(lián)機構必然存在誤差，假定其真實誤差如表2所示。但實際上，真實誤差難以直接測量，需要通過實際測量的動平臺的姿態(tài)進行求解，不斷使42個參數(shù)逼近真實值。為使辨識的參數(shù)具有良好的魯棒特性，本次仿真實驗在6-UPS并聯(lián)機構的工作空間內(nèi)均勻的選取20組測量的位姿（通過正運動學仿真生成）作為動平臺的實際位姿。

表2　假定6-UPS并聯(lián)機構的運動學參數(shù)誤差（mm）

5.2參數(shù)辨識結果

將5.1小節(jié)所述的平臺真實位姿數(shù)據(jù)代入6-UPS并聯(lián)機構的運動學辨識模型中，通過Levenberg-Marquardt算法對辨識模型進行求解，我們可以得到其參數(shù)辨識效果。其桿長變化量殘差函數(shù)的變化曲線分別如圖3所示。由圖3可知，該算法可以迅速收斂，在迭代10次之后殘差即可小于10-9mm。

圖3　桿長變化量殘差變化曲線圖

圖4所示為參數(shù)辨識前6-UPS并聯(lián)機構的運動學參數(shù)誤差，量級在1mm以內(nèi)。圖5則表示在假設測量設備和支桿長度傳感器均無誤差的情況下，參數(shù)辨識后6-UPS并聯(lián)機構的運動學參數(shù)誤差。由圖5可知，根據(jù)本文所構建的6-UPS并聯(lián)機構的運動學參數(shù)辨識方法基本可以使各個參數(shù)的辨識誤差接近為零（10-10mm），運動學參數(shù)辨識結果基本與實際值相同。但是實際測量設備不可能沒有誤差，假設測量設備的誤差為±1μm和±1″，其參數(shù)辨識結果如圖6所示。由圖6可知，當存在誤差時，6-UPS并聯(lián)機構的運動學參數(shù)辨識精度有所下降，達到10-3mm，基本與外部測量設備的精度在同一數(shù)量級，可以通過6-UPS并聯(lián)機構所要求的精度指標得知測量設備和測量方法所需的精度。

圖4　辨識前的42個運動學參數(shù)誤差

圖5　測量設備無誤差的情況下，辨識后的42個運動學參數(shù)誤差

圖6　測量設備存在誤差的情況下，辨識后的42個運動學參數(shù)誤差

6　結論

本文構建了一種基于逆運動學分析的6-UPS并聯(lián)機構運動學參數(shù)辨識模型，采用Levenberg-Marquardt最小二乘法求解辨識模型，并且設計了仿真實驗。結果表明，該模型可以快速收斂。在測量設備沒有誤差的理想狀況下，參數(shù)辨識精度可以達到10-10mm，在測量設備存在±1μm和±1″的測量誤差時，其參數(shù)辨識精度也可以達到10-3mm，可以滿足大部分應用場合下的6-UPS的精度要求。另外，在設備有測量誤差的狀況下，其參數(shù)識別誤差基本與測量設備在同一數(shù)量級上，據(jù)此可以為測量方法和測量設備的選擇提供一定依據(jù)。

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A Method of Kinematic Parameter Identification for 6-UPS Parallel Robot Using the Inverse Kinematics Algorithm

ZHAO Haibo，LI Wei，WANG Yijian
（Changchun Insitute of Optics，F(xiàn)ine Mechanics and Physics，Chinese Academy of Sciences，Changchun 130033）

Abstract：A method of kinematic parameter identification for 6-UPS parallel robot using the inverse kinematics algorithm was proposed in order to improve the positioning accuracy of the 6-UPS parallel robot.Firstly，a model of kinematic parameter identification for 6-UPS parallel robot using the inverse kinematics algorithm was built.Then the model was solved by the least square method of Levenberg-Marquardt.Finally，a simulation experiment for this method was conducted.The result of the simulation experiment shows that the algorithm can converge rapidly.The identification precision of 10-10mm can be implement under the ideal condition that the measure instruments have no error.And the identification precision is 10-3mm under the condition that the measure instruments have the position error of 1micron and the gesture error of 1 arcsecond. The identification precision can meet the majority applicable situation of using the 6-UPS parallel robot.

Key words：6-UPS parallel robot；inverse kinematics；kinematic parameter identification；the least square method

中圖分類號：TP242

文獻標識碼：A

文章編號：1672-9870（2016）02-0073-04

收稿日期：2015-10-30

作者簡介：趙海波（1989-），男，碩士，研究實習員，E-mail：zhaohaibo07@sina.com