一類含有求最大運算的非線性時滯Volterra－Fredholm型積分不等式

黃春妙，王五生

一類含有求最大運算的非線性時滯Volterra－Fredholm型積分不等式

黃春妙，王五生*

(河池學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西宜州546300)

建立一類新的含有求最大運算的非線性時滯Volterra－Fredholm型積分不等式，式中非線性函數(shù)沒有要求單調(diào)性.為了給出未知函數(shù)的估計，采用單調(diào)化技巧，構(gòu)造單調(diào)化序列，使得后一項比前一項具有更強的單調(diào)性.利用分析技巧，給出不等式中未知函數(shù)的估計.其結(jié)果可以用來研究相應(yīng)類型的微分積分方程.

Volterra－Fredholm型積分不等式;求最大運算;迭代積分;分析技巧

Gronwall－Bellman不等式［1－2］是研究微分方程、積分方程解的存在性、有界性、穩(wěn)定性、唯一性和不變流型等定性性質(zhì)的重要工具.在過去幾十年，數(shù)學(xué)工作者出于各種研究目的建立了大量既有用又有趣的積分不等式(參見文獻［3－16］及其參考文獻).

B.G.Pachpatte［3］為了研究Volterra－Fredholm型積分方程解的性質(zhì)，建立了具有時滯的線性Volterra－Fredholm型積分不等式

Q.Ma等［5］研究了具有時滯的非線性Volterra－Fredholm型積分不等式A.Golev等［6］討論了具有最大運算的初值問題

為了研究這個問題解的性質(zhì)，需要建立一種具有最大運算的積分不等式作為研究它的工具.最近，J.Henderson等［7］研究了下面的具有最大運算的積分不等式

Y.Yan［8］進一步研究了下面的較為復(fù)雜的具有最大運算的積分不等式

本文受文獻［5，8］的啟發(fā)，討論了一個新的具有最大運算的時滯非線性多重積分不等式

式中k、h是正常數(shù).(4)式?jīng)]有要求φi(i=1，2，3)具有單調(diào)性，為了給出未知函數(shù)的估計，文中首先采用了單調(diào)化技巧，構(gòu)造單調(diào)化序列，使得后一項比前一項具有更強的單調(diào)性.即利用非單調(diào)函數(shù)φi(z)構(gòu)造出單調(diào)函數(shù)wi(z)，并且w2(z)/w1(z)，w3(z)/ w1(z)，w3(z)/w2(z)也都是單調(diào)函數(shù).然后利用變量替換技巧、不等式放大技巧、微分積分技巧、逆函數(shù)技巧、常量與變量的辯證關(guān)系，給出了不等式中未知函數(shù)的估計.最后利用不等式的研究結(jié)果給出了具有最大運算的Volterra－Fredholm時滯積分方程解的估計.

1 主要結(jié)果及其證明

約定R表示實數(shù)集合，R+=［0，+∞)，I=［t0，T］;C(M，S)和C1(M，S)分別表示定義于集合M，取值于集合S的所有連續(xù)函數(shù)的集合和所有連續(xù)可微函數(shù)的集合.α'(t)表示函數(shù)α(t)的導(dǎo)函數(shù).

定理1假設(shè)fi(t)，hi(t)∈C(I，R+)，i=1，2，3.假設(shè)α∈C1(I，I)是不減函數(shù)，且滿足對任意t∈I有α(t)≤t;φ、φi都是R+上的函數(shù)，φ是嚴(yán)格增函數(shù)，且滿足φ(t)=∞，對任意t＞0，φi(t)＞0.如果是嚴(yán)格增函數(shù).假設(shè)H2(u)=0在［k，∞)上有一個解c.如果u(t)滿足不等式(4)，那么u(t)有估計式

其中

證明令u(t):=φ(v(t))，則v(t)=φ－1(u (t)).由(4)式推出

根據(jù)(10)～(12)式，可以看出wi(i=1，2，3)是連續(xù)、非負、單調(diào)不減函數(shù)，且滿足關(guān)系式

還滿足wi+1(s)/wi(s)，i=1，2也是單調(diào)不減函數(shù)，即文獻［14］中定義的比較單調(diào)性

從(7)～(9)式看出函數(shù)Wi(i=1，2，3)是嚴(yán)格增函數(shù)，它們的逆函數(shù)存在，也是連續(xù)的增函數(shù).由(10)～(12)和(13)式推出

令z1(t)表示不等式(15)的右端，則它是區(qū)間I上正的不減函數(shù).由不等式(15)得到

求函數(shù)z1(t)的導(dǎo)函數(shù)，利用(16)式得

不等式(18)兩邊同除w1(z1(t))得到

先把不等式(19)中的t替換成τ，然后不等式(19)兩邊從t0到t進行積分，得到

T1是任意選取的，W1由(7)式定義.令z2(t)表示不等式(20)的右端，則它是區(qū)間［t0，T1］上正的不減函數(shù).由(20)式推出

求函數(shù)z2(t)的導(dǎo)函數(shù)，利用(21)式和函數(shù)z2、W－11、w2/w1、w3/w1的單調(diào)性以及函數(shù)α的性質(zhì)得到

不等式(23)兩邊同除

得到

由(24)式推出

令z3(t)表示不等式(25)的右端，則它是區(qū)間［t0，T1］上正的不減函數(shù).由(25)式看出

求z3(t)的導(dǎo)數(shù)，利用(26)式得對任意t∈［t0，T1］都有

不等式(28)兩邊同除w3(W－11(W－12(z3(t))))/ w2(W－11(W－12(z3(t))))得

積分不等式(29)兩邊得

綜合(21)、(26)和(30)式得到

把(22)和(27)式代入(31)式得到

由于T1是任意選擇的，故由(32)式可以得到

另一方面，由(17)式和z1的定義有

由(33)和(34)式推出

即

根據(jù)H2的定義和定理1的假設(shè)，由(35)式得到

由于定理假設(shè)H2是增函數(shù)，從上式看出z1(t0)＜c.把z1(t0)＜c代入(32)式，利用關(guān)系式(16)得到所求的估計式(6).

2 應(yīng)用

現(xiàn)在考慮時滯Volterra－Fredholm型積分方程

推論1假設(shè)β(t)∈C1(I，I)是嚴(yán)格增加的函數(shù)，且滿足β(t)≤t.假設(shè)|x0|，h是正常數(shù)，x∈C(I，R).假設(shè)F1∈C(I×R2，R)，F(xiàn)2∈C(I×R，R)滿足下列條件

其中，f1(s)、h1(s)、h2(s)、φ1(s)和φ2(s)滿足定理1的要求.假設(shè)函數(shù)

是嚴(yán)格增函數(shù)，H3(t)=0有解c＞|x0|.如果x(t)是方程(36)和(37)在I上的解，那么有方程解的模的估計式

其中，W1、W2、和與1中的定義相同.

證明利用條件(38)和(39)，由方程(36)和(37)推出

由于(42)式具有不等式(4)的形式，且滿足定理1中的相應(yīng)條件，利用定理1就可以得到所求的方程解的模的估計式(41).

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A Class of Nonlinear Volterra-Fredholm Type Integral Inequalities with Maxima

HUANG Chunmiao，WANG Wusheng
(School of Mathematics and Statistics，Hechi College，Yizhou 546300，Guangxi)

In this paper，we establish a new nonlinear retarded Volterra-Fredholm type integral inequality with maxima and we don’t require monotonicity of nonlinear functions.We monotonize those functions to make a sequence of functions in which each possesses stronger monotonicity than previous one so as to give an estimation for the unknown function.By adopting novel analysis techniques，the upper bounds of the embedded unknown functions are estimated explicitly.The derived results can be applied in the study of solutions of ordinary differential equations and integral equations.

Volterra-Fredholm type integral inequality;maxima;iterated integrals;analysis technique

O175.5

A

1001－8395(2016)03－0382－06

10.3969/j.issn.1001－8395.2016.03.015

(編輯周俊)

2015－12－09

國家自然科學(xué)基金(11561019和11161018)、廣西自然科學(xué)基金(2012GXNSFAA053009)和廣西高等學(xué)?？蒲许椖?KY2015ZD103和KY2015LX341)

*通信作者簡介:王五生(1960—)，男，教授，主要從事微分方程及積分不等式的研究，E－mail:wang4896@126.com

2010 MSC:26D15;26D20;34A40