帶無界非線性項(xiàng)的兩點(diǎn)邊值振蕩問題

何勇，徐博

帶無界非線性項(xiàng)的兩點(diǎn)邊值振蕩問題

何勇，徐博

(重慶科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，重慶401331)

假定非線性項(xiàng)為次線性的，利用Ekland變分原理證明非線性常微分分方程u″(t)+u(t)+f(t，u(t))=0存在無窮多解.

Ekeland變分原理;次線性;振蕩;第一特征值;局部極小;極大極小法

1 主要結(jié)論

考慮兩點(diǎn)邊值問題

其中f:［0，π］×R→R為連續(xù)可測泛函.

令f(t，x)是有界的，即存在h∈L1(0，π;R+)，使得對(duì)于任意的x∈R和t∈［0，π］有

［1－3］中，方程(1)在條件

或條件

得出在有界條件(2)下，方程(1)具有無窮多個(gè)解.在文獻(xiàn)［5］中，方程的非線性項(xiàng)滿足如下2式

其中

其中

t∈［0，π］，s∈R，|s|≤δ，c3，c4，δ＞0，τ＞1

得出了合適條件下的多重性結(jié)論.在本文中，假設(shè)非線性項(xiàng)是次線性的，即存在g，h∈L1(0，π;R+)，α∈［0，1］使得

本文的主要結(jié)論為如下定理.

定理1在H10上定義泛函φ如下

于是對(duì)方程(1)有如下結(jié)論:

1)存在一個(gè)解序列(un)，所有解都是泛函φ的極小極大型臨界點(diǎn)，且當(dāng)n→∞時(shí)，φ(un)→+∞;

2)存在另一個(gè)解序列(u*n)，所有解都是泛函φ的局部極小，且當(dāng)n→∞時(shí)，φ(u*n)→－∞.

推論1假設(shè)f(t，x)滿足(3)式.進(jìn)一步假設(shè)

于是對(duì)方程(1)有如下結(jié)論:

1)存在一個(gè)解序列(un)，所有解都是泛函φ的極小極大型臨界點(diǎn)，且當(dāng)n→∞時(shí)，φ(un)→+∞;

注1文獻(xiàn)［4］中的定理1是本文定理1在α =0時(shí)的一個(gè)特例.此外本文的結(jié)論區(qū)別于之前的其他結(jié)論.

2 定理證明

眾所周知問題(1)的弱解是泛函φ的臨界點(diǎn).

證明由條件(3)可得(8)和(9)式，故有

C1、C2為正常數(shù)且u∈.從以上不等式知命題成立.

證明令u=珔u+珘u，其中珔u=b sin t，珘u∈珟H.對(duì)每一個(gè)ε＞0，由Cauchy不等式［7］和估計(jì)(8)式

其中C(ε)、C3(ε)、C4、C5正常數(shù).令ε=1/8C2有

由條件(5)和上述不等式知命題成立.

定理1的證明令

因此由cn≥M及命題2有，對(duì)于所有較大的n，

對(duì)于如此的n，在Sn中存在序列(γk)使得當(dāng)k→∞時(shí)有

現(xiàn)在證明序列(vk)在上有界.對(duì)于充分大的k有

且存在wk∈γk(［0，1］)使得

對(duì)于固定的n，由命題3，存在m，使得γk(［0，1］)與超平面{sin t}+珟H不相交.令wk=珔wk+珘wk，其中珔wk=dksin t且珘wk∈，于是

此外

C6、C7、C8為正常數(shù).于是(t)有界.因此，wk有界.同時(shí)vk在上有界.

現(xiàn)在vk是有界的，由文獻(xiàn)［2］中命題4.1的證明可知，vk中可得到一個(gè)收斂子列，仍記為vk.令un，則有

因此，un是一個(gè)臨界點(diǎn)且cn是泛函φ的臨界值.對(duì)于任意的γ∈Sn，如果＜＜，則γ相交于超平面={sin t}+.于是，

由此不等式和命題3可推出

所以定理1的第一個(gè)結(jié)論得證.

對(duì)于u∈Pn有

其中C9、C10、C11是正常數(shù)，則φ在Pn上下方有界.

定義

令(uk)是Pn上的極小化序列，即當(dāng)k→∞時(shí)，φ(uk)→μn.從上述不等式知，(uk)在上有界.于是存在一個(gè)子序列，仍記為(uk)，使得uk?.由于Pn是的閉凸子集，∈Pn.且φ是弱下半連續(xù)的，故有

由命題2有

定理1證明完畢.

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Two Point Boundary Value Oscillating Problem with Unbounded Nonlinearity

HE Yong，XU Bo
(Department of Mathematics and Physics，Chongqing University of Science and Techonology，Chongqing 401331)

In this paper，we employ the Ekeland’s variational principle to prove the existence of infinitely many solutions for the nonlinear ordinary differencial equation u″(t)+u(t)+f(t，u(t))=0，and so that the nonlinearity is sublinear.

Ekeland’s variational principle;sublinear;oscillating;first eigenvalue;local minimum;minimax methods

O175.8

A

1001－8395(2016)03－0369－04

10.3969/j.issn.1001－8395.2016.03.012

(編輯周俊)

2016－01－04

國家自然科學(xué)基金青年基金(61201065)

何勇(1982—)，男，講師，主要從事概率統(tǒng)計(jì)的研究，E－mail:heyongmath@163.com

2010 MSC:34B10;34B15