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    非交換環(huán)上的強(qiáng)余撓模

    2016-06-05 14:18:13胡晴王芳貴熊濤
    關(guān)鍵詞:內(nèi)射模維數(shù)命題

    胡晴,王芳貴,熊濤

    非交換環(huán)上的強(qiáng)余撓模

    胡晴,王芳貴*,熊濤

    (四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院,四川成都610066)

    設(shè)R是任何環(huán),L是R-模.若對(duì)任何平坦維數(shù)有限的模M,有Ext1R(M,L)=0,則L稱為強(qiáng)余撓模.證明(F∞,SC)是余撓理論當(dāng)且僅當(dāng)l.FFD(R)<∞,其中F∞和SC分別表示平坦維數(shù)有限的模類和強(qiáng)余撓模類.還證明若w.gl.dim(R)<∞,則強(qiáng)余撓模是內(nèi)射模.最后證明每一R-模是強(qiáng)余撓模當(dāng)且僅當(dāng)R是左完全環(huán),且l.FFD(R)=0.

    余撓模;強(qiáng)余撓模;平坦維數(shù);左完全環(huán);環(huán)的弱finitistic維數(shù)

    1 預(yù)備知識(shí)

    本文恒設(shè)R是有單位元的結(jié)合環(huán),所有的模均指左模.用fdRL和pdRL分別表示R-模L的平坦維數(shù)和投射維數(shù);gl.dim(R)和w.gl.dim(R)分別表示環(huán)R的整體維數(shù)和弱整體維數(shù).

    D.K.Harrison[1]為了刻畫非有限的Abelian群的結(jié)構(gòu)性質(zhì),引入了余撓模的概念.R-模C稱為余撓模,是指對(duì)一切平坦模F,都有Ext1R(F,C)=0.其后E.E.Enochs[2]對(duì)余撓模的刻畫做了大量的研究工作.J.Z.Xu[3]系統(tǒng)地討論了余撓模的相關(guān)性質(zhì),證明了平坦模類F與余撓模類C二者構(gòu)成了余撓理論,還證明了每個(gè)R-模是余撓模當(dāng)且僅當(dāng)環(huán)R是左完全環(huán).L.Bican等[4]解決了平坦蓋的猜測,即證明了對(duì)任何環(huán)R,每一R-模都有平坦蓋;等價(jià)于說,每一R-模都有余撓包.

    余撓模的研究按照平坦維數(shù)在進(jìn)一步發(fā)展.S.B.Lee[5]引入弱內(nèi)射模來刻畫幾乎完全整環(huán).R-模W稱為弱內(nèi)射模,是指對(duì)任何平坦維數(shù)不超過1的模M,都有Ext1R(M,W)=0.交換環(huán)R稱為幾乎完全環(huán),是指R的任何真商環(huán)都是完全環(huán)[6].借助于弱內(nèi)射模,文獻(xiàn)[7-9]證明了整環(huán)R是幾乎完全整環(huán),當(dāng)且僅當(dāng)平坦維數(shù)不超過1的模的投射維數(shù)也不超過1;當(dāng)且僅當(dāng)可除模是弱內(nèi)射模.

    E.E.Enochs等[10]按照余撓模的研究思路考察了更一般的情形,他們稱之為n-余撓模.不過n-余撓模的不同的定義在文獻(xiàn)[11]已經(jīng)出現(xiàn),熊濤[12]遵循S.B.Lee[5]的思路,把Enochs意義下的n-余撓模稱為Ln-內(nèi)射模.R-模L稱為Ln-內(nèi)射模,是指對(duì)任何平坦維數(shù)不超過n的模M,都有Ex(M,L)=0.

    在這些研究的基礎(chǔ)上,討論文獻(xiàn)[3]引入的強(qiáng)余撓模.R-模L稱為強(qiáng)余撓模,是指對(duì)任何平坦維數(shù)有限的模M,都有Ext1R(M,L)=0.D.Bennis等[13]證明了若R是交換環(huán),則每一R-模是強(qiáng)余撓模當(dāng)且僅當(dāng)R是完全環(huán).H.Y.Yan[14]在一般的非交換環(huán)上也討論了強(qiáng)余撓模的性質(zhì).本文借助環(huán)的弱finitistic維數(shù)來刻畫強(qiáng)余撓模的相關(guān)性質(zhì).

    2 強(qiáng)余撓模的基本性質(zhì)

    定義2.1[3]設(shè)L是R-模.若對(duì)任何平坦維數(shù)有限的模M有

    Ext1R(M,L)=0,則L稱為強(qiáng)余撓模.

    例2.21)顯然,內(nèi)射模是強(qiáng)余撓模;

    2)對(duì)任何n≥0,強(qiáng)余撓模是Ln-內(nèi)射模.因此,強(qiáng)余撓模是弱內(nèi)射模(自然也余撓模).

    命題2.3對(duì)任何R-模L,以下等價(jià):

    1)L是強(qiáng)余撓模;

    3)形如0→L→B→C→0的正合列是分裂的,其中fdRC<∞;

    4)若0→A→B→C→0是正合列,其中fdRC<∞,則

    0→HomR(C,L)→HomR(B,L)→HomR(A,L)→0也是正合列.

    證明1)?2)設(shè)0→A→P→M→0是正合列,其中P是投射模.于是對(duì)任何k≥1有

    ExtkR(A,L)≌Extk+1R(M,L).

    注意fdRA<∞.于是斷言由對(duì)k使用歸納法即證.

    2)?1)顯然.

    1)?3)由文獻(xiàn)[15]的推論7.20即知.

    1)?4)由Ext1R(C,L)=0即得.

    4)?1)考慮正合列0→A→P→C→0,其中P是投射模.于是

    是正合列.由假設(shè)得到正合列

    0→Ext1R(C,L)→0,

    因此有Ext1R(C,L)=0,即L是強(qiáng)余撓模.

    命題2.4設(shè)0→A→B→C→0是正合列.若A是強(qiáng)余撓模,則B是強(qiáng)余撓模當(dāng)且僅當(dāng)C是強(qiáng)余撓模.

    證明設(shè)M是R-模,fdRM<∞,由正合列

    并引用命題2.3的2)即得.

    命題2.5設(shè){Li}是一簇R-模,則∏iLi是強(qiáng)余撓模當(dāng)且僅當(dāng)每一Li是強(qiáng)余撓模.

    證明設(shè)M是R-模,fdRM<∞.由同構(gòu)關(guān)系即得所證.

    下面給出強(qiáng)余撓模是內(nèi)射模的一個(gè)充分條件.

    定理2.6設(shè)L是強(qiáng)余撓模.若fdRL<∞,且fdRE(L)<∞,其中E(L)是模L的內(nèi)射包,則L是內(nèi)射模.

    證明考慮正合列0→L→E(L)→C→0,由條件有fdRC<∞.由命題2.3,此正合列分裂,因此有L是內(nèi)射模.

    因此,可以得到如下推論:

    推論2.7若w.gl.dim(R)<∞,則每一強(qiáng)余撓模是內(nèi)射模.

    在文獻(xiàn)[16]中定義了模的余撓維數(shù)和環(huán)的整體余撓維數(shù)(cot.D(R)).相應(yīng)地,在文獻(xiàn)[13]中也定義了模的強(qiáng)余撓維數(shù)和環(huán)的整體強(qiáng)余撓維數(shù)S.cot.D(R).由于w.gl.dim(R)<∞時(shí)強(qiáng)余撓模就是內(nèi)射模,故得到下面的結(jié)果.

    推論2.8[16]若w.gl.dim(R)<∞,則

    gl.dim(R)=S.cot.D(R).

    回顧環(huán)R稱為左IF環(huán),是指每一內(nèi)射R-模是平坦模[17].由定理2.6,可以得到以下推論.

    推論2.9若R是左IF環(huán),L是強(qiáng)余撓模,且fdRL<∞,則L是內(nèi)射模.

    3 模類F∞與模類SC

    設(shè)(A,B)是一個(gè)模類對(duì).記

    A⊥={B∈RM|對(duì)任何A∈A,Ex(A,B)=0},以及

    ⊥B={A∈RM|對(duì)任何B∈B,Ex(A,B)=0}.若A=⊥B,且B=A⊥,則(A,B)稱為一個(gè)余撓對(duì)或一個(gè)余撓理論.J.Z.Xu[3]證明了平坦模類與余撓模類(F,C)構(gòu)成了余撓理論.S.B.Lee[5]證明了平坦維數(shù)不超過1的模類與弱內(nèi)射模類(F1,WI)構(gòu)成了余撓理論.更一般地,用Fn表示平坦維數(shù)不超過n的模類,Ln表示Ln-內(nèi)射模類,熊濤[12]證明了(Fn,Ln)構(gòu)成了余撓理論.用F∞表示平坦維數(shù)有限的模類,SC表示強(qiáng)余撓模類.由定義2.1知SC= F∞

    ⊥,F(xiàn)∞?⊥SC.下面證明一般地有(F∞,SC)不構(gòu)成余撓理論.

    命題3.1

    證明第一個(gè)等式是顯然的,第二個(gè)等式在文獻(xiàn)[10]中已經(jīng)指出.

    定義3.2[18]環(huán)R的弱finitistic維數(shù)定義為

    命題3.3若l.FFD(R)=∞,則存在R-模M,使得fdRM=∞,但對(duì)任何L∈SC有

    證明由條件l.FFD(R)=∞,有對(duì)任何正整數(shù)n,存在R-模Mn,使得fdRMn=n.令

    由于對(duì)任何L∈SC,有Ext1R(Mn,L)=0,因此有

    推論3.4若l.FFD(R)=∞,則(F∞,SC)不構(gòu)成余撓理論.

    引理3.5設(shè)R為環(huán),F(xiàn)∞=⊥SC當(dāng)且僅當(dāng)F∞在直和下封閉.

    證明參見文獻(xiàn)[14]的命題2.14.

    文獻(xiàn)[14]證明了(F∞,SC)構(gòu)成余撓理論當(dāng)且僅當(dāng)F∞在直和下封閉.也可以用弱finitistic維數(shù)給出(F∞,SC)何時(shí)構(gòu)成余撓理論的刻畫.為此,需要下面的引理.

    引理3.6設(shè)n是自然數(shù),M和L是R-模,則:

    1)M∈Fn當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何

    2)L∈Ln當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何證明參見文獻(xiàn)[12].

    定理3.7對(duì)環(huán)R,以下各條等價(jià):

    1)l.FFD(R)<∞;

    2)存在自然數(shù)n,使得Fn=F∞;

    3)存在自然數(shù)n,使得Ln=SC;

    4)存在自然數(shù)n,使得每一Ln-內(nèi)射模是強(qiáng)余撓模;

    5)(F∞,SC)構(gòu)成余撓理論.

    證明1)?2)設(shè)l.FFD(R)=n,則當(dāng)fdRM<∞時(shí),就有fdRM≤n.由此得到Fn=F∞.

    2)?3)顯然,這是因?yàn)?/p>

    3)?4)這是平凡的.

    4)?1)設(shè)M是R-模,fdRM<∞,則對(duì)任何L∈Ln,由條件,L是強(qiáng)余撓模,故由引理3.6,fdRM≤n.于是有l(wèi).FFD(R)≤n<∞.

    2)+3)?5)由文獻(xiàn)[12],(Fn,Ln)構(gòu)成余撓理論.

    5)?1)由推論3.4可知.

    對(duì)定理3.7的證明作適當(dāng)變更,容易得以下定理.

    定理3.8設(shè)n是自然數(shù),對(duì)環(huán)R,以下各條等價(jià):

    1)l.FFD(R)≤n;

    2)Fn=F∞;

    3)Ln=SC;

    4)每一Ln-內(nèi)射模是強(qiáng)余撓模.

    推論3.9每一余撓模是強(qiáng)余撓模當(dāng)且僅當(dāng)l.FFD(R)=0.

    推論3.10每一R-模是強(qiáng)余撓模當(dāng)且僅當(dāng)R是左完全環(huán),且l.FFD(R)=0.

    證明若每一R-模是強(qiáng)余撓模,則每一R-模是余撓模.由文獻(xiàn)[3]的命題3.3.1,R是左完全環(huán).由推論3.9,l.FFD(R)=0.

    反之,設(shè)R是左完全環(huán),且l.FFD(R)=0.設(shè)C是任何R-模,M是R-模,fdRM<∞.由于

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    Strongly Cotorsion Modules over Non-commutative Rings

    HU Qing,WANG Fanggui,XIONG Tao
    (College of Mathematics and Software Science,Sichuan Normal University,Chengdu 610066,Sichuan)

    Let R be a ring and L an R-module.If Ext1R(M,L)=0 for all R-module M with finite flat dimension,then L is called strongly cotorsion.In this paper,it is shown that(F∞,SC)is a cotorsion theory if and only if l.FFD(R)<∞,where F∞and SC denote respectively the class of modules with finite flat dimension and the class of strongly cotorsion modules.It is also shown that if w.gl.dim (R)<∞,then all strongly cotorsion modules are injective.It is finally proved that every R-module is strongly cotorsion if and only if R is left perfect with l.FFD(R)=0.

    cotorsion module;strongly cotorsion module;flat dimension;left perfect ring;weak finitistic dimension of a ring

    O154

    A

    1001-8395(2016)03-0314-04

    10.3969/j.issn.1001-8395.2016.03.002

    (編輯陶志寧)

    2014-08-30

    國家自然科學(xué)基金(11171240)和教育部博士點(diǎn)專項(xiàng)科研基金(20125134110002)

    *通信作者簡介:王芳貴(1955—),男,教授,主要從事交換代數(shù)、同調(diào)代數(shù)與代數(shù)K-理論的研究,E-mail:wangfg2004@163.com

    2010 MSC:16D50;16E10;16E30

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