三角代數(shù)的三重導(dǎo)子

謝樂平

（懷化學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南懷化418008）

三角代數(shù)的三重導(dǎo)子

謝樂平

（懷化學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南懷化418008）

設(shè)A，B是有單位元的交換環(huán)R上的代數(shù)，M為（A，B）-雙模，Δ為三角代數(shù).構(gòu)造了三個自然線性映射，結(jié)合模論的方法，得到三角代數(shù)Δ的三重導(dǎo)子能表示為三個標(biāo)準(zhǔn)三重導(dǎo)子之和.

三角代數(shù)；三重導(dǎo)子

假定A，B是環(huán)R上的代數(shù)，M是一個（A，B）-雙模，三角代數(shù)（有時稱為形式三角矩陣代數(shù)）指具有通常的矩陣運算的如下代數(shù)

人們對這種三角代數(shù)（環(huán)）進行了許多研究.如文獻[1]系統(tǒng)地研究了各種環(huán)論性質(zhì)（如左kasch模，右極小內(nèi)射環(huán)，clear環(huán)，環(huán)，右PF環(huán)等）的形式三角矩陣環(huán).文獻[2]研究了三角代數(shù)的交換映射，即使[L（a），a]的線性映射L，這里a是三角代數(shù)的任一元素.文獻[3]證明了三角代數(shù)的每個Lie導(dǎo)子都能表示成一個導(dǎo)子與一個映到其中心的映射之和.文獻[4]研究了三角代數(shù)上雙可加映射（B（x，x）x=xB（x，x）），作為應(yīng)用由此確定了三角代數(shù)上的交換保持映射和Lie自同構(gòu).文獻[5]得出了三角代數(shù)的Jordan同構(gòu)或者是同構(gòu)，或者是反同構(gòu).文獻[6]證明了三角代數(shù)的Jordan導(dǎo)子都是導(dǎo)子等等.

關(guān)于各種（Lie）代數(shù)上的導(dǎo)子，Lie導(dǎo)子，Jordan導(dǎo)子等已有很多研究結(jié)果，如文獻[3，6-9]等（未全列出）.近年來，有些學(xué)者將導(dǎo)子的概念進行了推廣，提出了雙導(dǎo)子的定義，如文獻[10]證明了非交換素環(huán)上的雙導(dǎo)子都是內(nèi)雙導(dǎo)子.文獻[11]給出了雙導(dǎo)子在某些域上的應(yīng)用，文獻[7，12，13]等都是研究雙導(dǎo)子的.更進一步，文獻[14-17]把導(dǎo)子的概念推廣到了三重，參閱這些文獻可以看出研究三重導(dǎo)子是有意義的工作，所以我們研究三角代數(shù)上的三重導(dǎo)子.

假定R是有單位元的交換環(huán)，A，B是環(huán)R上有單位元的代數(shù)，M為環(huán)R上的（A，B）-雙模，也就是M既是左A-模，又是右B-模，且?a∈A，m∈M，b∈B，有（am）b=a（mb）.為了簡便并且不會混淆，我們用1表示所有環(huán)和代數(shù)的單位元.φ稱為Δ上的三重導(dǎo)子，是指對任意X，Y，Z∈Δ，R-線性映射φ∶Δ→Δ滿足

構(gòu)造三重導(dǎo)子φ對應(yīng)的三個R-自然線性映射：

那么有

先給出Δ的三重導(dǎo)子的一些結(jié)果.

引理1如果φ為三角代數(shù)Δ的三重導(dǎo)子，則φ3（I）=eφ（I）f=0.

證因為efI=0，又φ為三重導(dǎo)子，根據(jù)三重導(dǎo)子定義有

再結(jié)合式（1，2）化得

引理2如果φ為三角代數(shù)Δ的三重導(dǎo)子，則φ（I）≡0（modCΔ）.

因為是在交換環(huán)R上討論，所以結(jié)合式（6），（7）得只有如下兩種情況：

情況1φ1（e）g=gφ2（f）=0.

情況22φ1（e）g=2gφ2（f）=0（即φ1（e）g=gφ2（f）且特征為2）.

不難看出，情況1實際上是情況2的特殊情形.為了具體刻畫三角代數(shù)Δ上的三重導(dǎo)子，先給出三個標(biāo)準(zhǔn)的定義：

定義2如果R-線性映射ψ∶Δ→Δ滿足?X∈Δ，ψ（X）=eXeg1+g2fXf，其中g(shù)1，g2∈ΔM并且g1+g2=0，則稱ψ為三角代數(shù)Δ上的中心三重導(dǎo)子.

根據(jù)引理3，φ3是φ限制在M上的作用，所以如果忽略作用范圍可以理解為φ=φ3，類似的給出下面的定義3.

定義3如果R-線性映射τ∶Δ→Δ滿足eτf=τ，同時τ還是一個三重導(dǎo)子，并且?a∈A，m∈M，b∈B有τ（amb）=aτ（m）b（即τ是雙模同態(tài)），那么稱τ為模三重導(dǎo)子.

由上述定義，可得以下性質(zhì)1，2.

性質(zhì)1當(dāng)R的特征為2時，κ為三重導(dǎo)子.

即κ為三重導(dǎo)子.

性質(zhì)2ψ∶Δ→Δ為定義2中的線性映射，則ψ為三重導(dǎo)子.

證任取X，Y，Z∈Δ，一方面ψ（XYZ）=e（XYZ）eg1+g2f（XYZ）f.另一方面，ψ（X）YZ=（eXeg1+g2fXf）YZ=eXeg1fYZf+g2fXYZf.類似可得

又因為g1+g2=0，所以

因此有ψ（X）YZ+Xψ（Y）Z+XYψ（Z）=eXYZeg1+g2fXYZf=ψ（XYZ）.

以下定理是本文的主要結(jié)論.

定理設(shè)A，B是有單位元的交換環(huán)R上的代數(shù)，M是（A，B）-雙模，Δ為三角代數(shù)，φ是Δ上的三重導(dǎo)子，則存在倍乘映射κr∶Δ→Δ，中心三重導(dǎo)子ψ∶Δ→Δ，以及模三重導(dǎo)子τ∶Δ→Δ，使得φ=κr+ψ+τ.

證因為情況1是情況2的特殊情形，所以假設(shè)滿足情況2.

根據(jù)式（6）有φ1（e）m=mφ2（f）.取r1=φ1（e），r2=φ2（f），結(jié)合式（1，2）有

同樣可得f（φ-κ）（X）f=0.結(jié)合式（1，2）和引理3得

取g1=eφ（e）f，g2=eφ（f）f，根據(jù)式（4）有g(shù)1+g2=0，接下來我們引入一個中心三重導(dǎo)子ψ滿足ψ（X）=eXeeφ（e）f+eφ（f）ffXf=eφ1（X）f+eφ2（X）f.

計算（φ-κ）（X）-ψ（X）=（φ-κ-ψ）（X）=eφ3（X）f-eκ（X）f.由性質(zhì)1，2有κ，ψ均是三重導(dǎo)子，所以τ=φ-κ-ψ也是Δ上的三重導(dǎo)子.下面來說明τ還是雙模同態(tài)（注意：因為τ實際可視為τ∶Δ→M，所以下面有時候就用τ表示eτf）.

也就是說，τ是雙模同態(tài).

如果滿足情況1.則在上述證明過程中取r=0.完全類似可得

還可得φ-κ-ψ也是模三重導(dǎo)子.

[1]A.haghany，K.Varajan.Studyofformal triangular matrixrings[J].Comm.Algebra，1999，27（11）：5507-5525.

[2]W.S.Cheung.Commutingmaps oftriangular algebras[J].J.London.Math.Soc，2001，63（2）：117-127.

[3]W.S.Cheung.Lie derivations oftriangular oftriangular algebras[J].Linear Multilinear Algebra，2003，51：299-310.

[4]D.Benkovic，D.Eremita.Commutingtraces and commutativetypreservingmaps on triangular algebras[J].J.Algebra，2004，280：797-824.

[5]T.L.Wong.Jordan isomorphisms oftriangular rings[J].Proc.Amer.Math.Soc，2005，133：3381-3388.

[6]J.H.Zhang，W.Y-yua.Jordan derivations oftriangular algebras[J].Linear Algebra Appl，2006，419：251-255.

[7]D.Benkovic.Bidervations oftriangular algebras[J].Linear Algebra Appl，2009，431（9）：1587-1602.

[8]CoelhoS.P.Derivation ofupper matrixrings[J].Linear Algebra Appl，1993，187：263-267.

[9]Jondrup S.Automorphisms and derivations ofupper triangular matrixring[J].Linear Algebra Appl，1995，221：205-218.

[10]M.Bre?ar，W.S.Martindale，C.R.Miers，et al.Centralizingmaps in prime rings with involution[J].J.Algebra，1993，161：342-357.

[11]M.Bre?ar.Commutingmaps：Asurvey[J].Taiwanese J.Math，2004，8：361-397.

[12]J.H.Zhang，S.Feng，H.X.Li，R.H.Wu.Generalized biderivations ofnest algebras[J].Linear Algebra Appl，2006，418：225-233.

[13]M.Bre?ar.On generalized biderivations and related maps[J].J.Algebra，1995，172（3）：764-786.

[14]C.R.Miers.Lie triple derivations ofV-Nalgebras[J].Amer.Math.Soc，1978，71：57-61.

[15]Ji Peisheng，WangLin.Lie triple derivations ofTUHF algebra[J].Linear Algebra Appl，2005，403：399-408.

[16]J.H.Zhang，B.W.Wu，H.X.Cao.Lie triple derivations ofnest algebra[J].Linear Algebra Appl，2006，416：559-567.

[17]H.T.Wang，Q.G.Li.Lie triple derivations ofLie algebra ofstrictlyupper triangular matrixover a commutative ring[J].Linear Algebra Appl，2009，430：66-77.

Triple Derivations of Triangular Algebra

XIE Le-ping
（College of Mathematics and Computational Science，Huaihua University，Huaihua，Hunan 418008）

Let A，B be algebras over commutative unital ring R，M be an（A，B）bimodule.We give an explicit description of any triple derivations of the triangular algebra Δ.

triangular matrix ring；triple derivation

O151.21

A

1671－9743（2016）11－0014－04

2016-06-14

謝樂平，1976年生，男，湖南寧鄉(xiāng)人，講師，研究方向：代數(shù).