部分電容實(shí)驗(yàn)中互有電位系數(shù)的測(cè)量方法

郝 麗， 袁建生

(清華大學(xué) 電機(jī)系 電力系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100084)

部分電容實(shí)驗(yàn)中互有電位系數(shù)的測(cè)量方法

郝 麗， 袁建生

(清華大學(xué) 電機(jī)系 電力系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100084)

對(duì)于如何測(cè)量多導(dǎo)體系統(tǒng)的互有電位系數(shù)，現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書(shū)上未見(jiàn)介紹，已有方法需要先測(cè)出自有電位系數(shù)。本文給出了互有電位系數(shù)的定義式測(cè)量方法，該方法利用了存儲(chǔ)示波器的暫態(tài)波形記錄功能，不需先測(cè)出自有電位系數(shù)。文中對(duì)該方法進(jìn)行了理論分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果表明該方法準(zhǔn)確、可靠，可運(yùn)用于本科生電磁場(chǎng)課程的部分電容實(shí)驗(yàn)中。

電磁場(chǎng)；部分電容實(shí)驗(yàn)；互有電位系數(shù)

0 引言

部分電容實(shí)驗(yàn)是本科生“電磁場(chǎng)”課程靜電場(chǎng)部分的主要實(shí)驗(yàn)之一，該實(shí)驗(yàn)的目的是測(cè)定多導(dǎo)體系統(tǒng)的電位系數(shù)α、靜電感應(yīng)系數(shù)β和部分電容C，再由測(cè)定的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證α、β和C之間的關(guān)系[1-5]。

目前實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書(shū)對(duì)β、C以及自有電位系數(shù)的測(cè)量方法和電路連線進(jìn)行了敘述，但是缺少對(duì)互有電位系數(shù)測(cè)量方法的介紹[1-3]。文獻(xiàn)[4]給出了一種測(cè)量互有電位系數(shù)的方法，該方法需要先測(cè)出自有電位系數(shù)，然后再進(jìn)行互有電位系數(shù)的測(cè)量，使得互有電位系數(shù)的測(cè)量精度依賴(lài)于自有電位系數(shù)的測(cè)量結(jié)果。

本文先對(duì)互有電位系數(shù)的現(xiàn)行測(cè)量方法進(jìn)行介紹，然后再給出其定義式測(cè)量方法，并給出該方法的理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證。

1 部分電容概念與現(xiàn)行測(cè)量方法

如圖1所示的三導(dǎo)體系統(tǒng)，設(shè)導(dǎo)體編號(hào)分別為0、1和2，其中0號(hào)為參考導(dǎo)體，則導(dǎo)體1和2上的電荷與電位的關(guān)系可以用方程組式(1)和(2)來(lái)表示，其分別是電位系數(shù)方程式和部分電容方程式。

圖1 三導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)示意

(1)

(2)

其中αjk(j=1,2,k=1,2)稱(chēng)為電位系數(shù)，當(dāng)j和k相等時(shí)稱(chēng)為自有電位系數(shù)，當(dāng)j和k不相等時(shí)稱(chēng)為互有電位系數(shù)。φj是導(dǎo)體j的電位，qj表示導(dǎo)體j上的電荷，Cjk是各導(dǎo)體間的部分電容[1]。

目前在電位系數(shù)計(jì)量時(shí)，基本思路是利用穩(wěn)壓電源給導(dǎo)體兩端加電壓，即電壓已知，然后再利用沖擊檢流計(jì)測(cè)出此充電狀態(tài)下導(dǎo)體上的電荷，最終通過(guò)計(jì)算得到各電位系數(shù)。傳統(tǒng)上，采用這種“加壓求流”的測(cè)量方案是與當(dāng)時(shí)儀器的發(fā)展水平密切相關(guān)的，由于當(dāng)時(shí)的示波器測(cè)量電容放電時(shí)的暫態(tài)電壓是很困難的，但是可以利用沖擊檢流計(jì)測(cè)出電容上存儲(chǔ)的電荷。

對(duì)于互有電位系數(shù)來(lái)說(shuō)，采用上述傳統(tǒng)的測(cè)量思路不能實(shí)現(xiàn)利用其定義式測(cè)量。以互有電位系數(shù)α12為例，其定義式為當(dāng)q1=0時(shí)，

α12=φ1/q2

(4)

實(shí)驗(yàn)時(shí)，給導(dǎo)體2充電，導(dǎo)體1懸空，然后，需要測(cè)出此時(shí)導(dǎo)體1上的電位。此電位是一個(gè)暫態(tài)值，由于利用以前的示波器實(shí)現(xiàn)測(cè)量很困難，所以之前的實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書(shū)都沒(méi)有介紹互有電位系數(shù)的測(cè)量。

而文獻(xiàn)[4]給出的現(xiàn)行測(cè)量方案也是延續(xù)傳統(tǒng)的測(cè)量思路，由方程組式(1)的第一個(gè)方程可推導(dǎo)出方程式(5)。

α12=(φ1-α11q1)/q2

(5)

以自有電位系數(shù)α11為已知條件設(shè)計(jì)α12的測(cè)量電路，從而回避了測(cè)量暫態(tài)電壓這一問(wèn)題。這樣，在教學(xué)中容易給學(xué)生造成互有電位系數(shù)很難測(cè)甚至是不能利用其定義式進(jìn)行測(cè)量的誤解。下面將給出互有電位系數(shù)的定義式測(cè)量方法。

2 互有電位系數(shù)定義式測(cè)量方法

下面仍以系數(shù)α12為例來(lái)說(shuō)明互有電位系數(shù)的測(cè)量。從方程組式(1)的第一個(gè)方程中可以得到當(dāng)q1=0的條件下其定義式(4)。

q1=0的條件采用如下方法實(shí)現(xiàn)，先將導(dǎo)體1、2和0接觸，進(jìn)行電荷的中和，然后再將導(dǎo)體1斷開(kāi)，則可保證導(dǎo)體1上的電荷為0。所以，充電電路設(shè)計(jì)為將導(dǎo)體2連至電源正極，導(dǎo)體0連至電源負(fù)極，導(dǎo)體1懸空，如圖2所示。此時(shí)，導(dǎo)體2上感應(yīng)出正電荷q2，導(dǎo)體0上有等量負(fù)電荷，導(dǎo)體1上電荷量為0，但導(dǎo)體1上存在電位φ1。只要將此電路狀態(tài)下的q1和φ1測(cè)出來(lái)，利用式(5)即可計(jì)算得到α12。

2.1 電位φ1的測(cè)量

圖2 α12的測(cè)量電路

如圖2所示，先將開(kāi)關(guān)K1合向上方，導(dǎo)體2被充電，導(dǎo)體1上瞬間有電位φ1，也就是說(shuō)導(dǎo)體1和參考導(dǎo)體0之間存在電壓(φ1-0)。

然后，將開(kāi)關(guān)K1換至中間位置斷掉電源，需要注意用一般的電壓表是無(wú)法測(cè)量到φ1的，因?yàn)橐坏┻B接上電壓表，導(dǎo)體1與導(dǎo)體0之間會(huì)發(fā)生電荷重新分配，φ1頃刻間會(huì)變化，直至降為零，就是說(shuō)，電壓表上的電壓會(huì)是一個(gè)暫態(tài)值，無(wú)法讀取到。但利用記憶示波器卻可以獲得φ1的變化曲線，由此可以得到φ1的數(shù)值。

如圖2所示，將K2合上，在導(dǎo)體0和導(dǎo)體1之間接入示波器，導(dǎo)體0和1通過(guò)示波器構(gòu)成回路進(jìn)行電荷重新分配，使得導(dǎo)體1與導(dǎo)體0等電位，即導(dǎo)體1上的電位衰減為0。

此時(shí)電路可等效為一階電路的零輸入響應(yīng)，等效電路如圖3所示。

其中R為示波器的內(nèi)阻，φ1為電容兩端的初始電壓，Uc為放電過(guò)程中電容上的電壓。由電路原理知識(shí)，可推導(dǎo)出當(dāng)開(kāi)關(guān)K合上時(shí)，Uc的表達(dá)式如式(6)所示[6]。從式(6)可以看出，電容兩端的電壓波

圖3 等效電路圖

形是按指數(shù)規(guī)律衰減的，波形的峰值就是電容兩端的初始電壓φ1。所以，只要觀測(cè)并記錄下示波器上波形的峰值，即可得到導(dǎo)體1上的電位φ1。此波形為一瞬態(tài)波形，需要利用示波器的觸發(fā)功能采集并將其穩(wěn)定下來(lái)。

(6)

2.2 電荷q2的測(cè)量

測(cè)完導(dǎo)體1上的電位以后，再利用檢流計(jì)測(cè)得導(dǎo)體2的電荷q2。圖2中G代表檢流計(jì)。首先，將開(kāi)關(guān)K2打開(kāi)，再將開(kāi)關(guān)K1合向下方，這時(shí)導(dǎo)體2接檢流計(jì)正極，導(dǎo)體0和1接檢流計(jì)負(fù)極，此時(shí)檢流計(jì)測(cè)出的就是導(dǎo)體2上所帶的電荷。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

構(gòu)建已知參數(shù)的電容網(wǎng)絡(luò)，組成三導(dǎo)體系統(tǒng)。其參數(shù)為導(dǎo)體0和1之間的電容為9.51*10-9F，導(dǎo)體0和2之間的電容為9.55*10-9F，導(dǎo)體1和2之間電容為9.5*10-9F。

由上述已知參數(shù)可作如推導(dǎo)：C由β和C之間的關(guān)系可推導(dǎo)得β矩陣，再對(duì)β矩陣求逆，即可得α矩陣，計(jì)算得到α12的真實(shí)值為3.49*107V/C。

下面利用本文中提到的方法測(cè)出互有電位系數(shù)α12。首先，對(duì)一個(gè)已知電容(9.46*10-9F)充放電測(cè)出檢流計(jì)常數(shù) ，測(cè)量數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 檢流計(jì)常數(shù)

然后，按照?qǐng)D2所示的測(cè)量電路進(jìn)行測(cè)量。導(dǎo)體2上的電荷的測(cè)量數(shù)據(jù)如表2所示，示波器采集到的導(dǎo)體1上的電壓波形如圖4所示，兩次測(cè)量采集到的電壓波形的峰值分別為0.272 V和0.288 V。由式(4)可計(jì)算得到α12的測(cè)量值為3.598*107V/

C，與真實(shí)值3.49*107V/C相比，測(cè)量誤差為3.09%。因此本文給出的測(cè)量方法是可行的。

表2 導(dǎo)體2上的電荷

圖4 導(dǎo)體1上的電壓波形

4 結(jié)語(yǔ)

靜電系統(tǒng)中電容上的電壓利用一般電壓表無(wú)法測(cè)量，但可以利用示波器通過(guò)抓取電壓波形而得到電壓值。

基于示波器測(cè)量電壓值的方法，可以實(shí)現(xiàn)互有電位系數(shù)的定義式測(cè)量。該實(shí)驗(yàn)比較容易實(shí)施，且由于是按定義式實(shí)現(xiàn)的測(cè)量，所以實(shí)驗(yàn)過(guò)程有利于學(xué)生更好地理解互有電位系數(shù)的物理意義。

該實(shí)驗(yàn)可以使學(xué)生進(jìn)一步熟悉示波器的暫態(tài)波形采集方法，也可幫助學(xué)生加深對(duì)一階電路理論知識(shí)的理解，是場(chǎng)路貫通的一個(gè)應(yīng)用實(shí)例。

[1] 馬信山,張濟(jì)世,王平.電磁場(chǎng)基礎(chǔ)[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，1995.

[2] 馮慈璋.電磁場(chǎng)實(shí)驗(yàn)與演示[M]. 北京：高等教育出版社，1987.

[3] 張克潛，宮蓮.電磁場(chǎng)學(xué)習(xí)指導(dǎo)[M]. 北京：中央廣播電視大學(xué)出版社，1988.

[4] 許道展,楊佳珠.《部分電容》實(shí)驗(yàn)的改進(jìn). 北京：北京工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào).1989.

[5] 郝麗,董甲瑞.“電磁場(chǎng)”課程中部分電容的實(shí)驗(yàn)方法討論[J].南京：電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào).2011，33(4):58-60

[6] 邱關(guān)源.電路[M]. 北京：高等教育出版社，1989.

The Measurement of Mutual Potential Coefficient in Partial Capacities Experiment

HAO Li, YUAN Jian-sheng

(TheStateKeyLaboratoryofElectricPowerSystem，DepartmentofElectricalEngineering，TsinghuaUniversity，Beijing100084，China)

At present, the experimental guide books have no introductions for measuring mutual potential coefficient in partial capacitance experiment. With the existing measurement method the self potential coefficient should be measured firstly. This paper gives a measurement method based on the definition of mutual potential coefficients, the waveform recording function of oscilloscope is used to obtain the transient voltage, the self potential coefficient does not need to be measured firstly.. In this paper, the theoretical analysis and experimental results of the method are given. The experimental results show that, the method is accurate and reliable, and it can be used in the partial capacities experiment for undergraduate students.

electromagnetic field; partial capacities experiment; mutual potential coefficient

2015-07-17;

2015-09- 24

郝 麗(1981-)，女，碩士，工程師，主要從事電工電子實(shí)驗(yàn)教學(xué)及其課程建設(shè)工作，E-mail：haol02@mails.tsinghua.edu.cn

TP206+.1

A

1008-0686(2016)03-0107-03