劉明騫, 李兵兵, 郭萬里
(西安電子科技大學(xué) 通信工程學(xué)院, 陜西 西安 710071)
“隨機(jī)信號分析”課程中功率譜及估計(jì)的研討
劉明騫, 李兵兵, 郭萬里
(西安電子科技大學(xué) 通信工程學(xué)院, 陜西 西安 710071)
本文首先分析“隨機(jī)信號分析”課程中功率譜密度和自相關(guān)函數(shù),然后分別介紹了功率譜的估計(jì)方法,并以實(shí)驗(yàn)為例說明功率譜的估計(jì)方法,最后以無線通信系統(tǒng)中OFDM信號的帶寬估計(jì)為例,說明功率譜估計(jì)方法在實(shí)際工程中的應(yīng)用。本文對于功率譜及其估計(jì)的教學(xué)有一定的指導(dǎo)作用,并且有助于學(xué)生更好地理解理論和工程應(yīng)用。
隨機(jī)信號分析;功率譜;維納辛欽定理;功率譜估計(jì)
功率譜及其估計(jì)是“隨機(jī)信號分析”課程教學(xué)中的重要部分,對于工程應(yīng)用中譜估計(jì)有著重要的指導(dǎo)意義[1-3]。
關(guān)于功率譜的教學(xué),重點(diǎn)在于理解功率譜密度的定義和性質(zhì)、掌握功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜估計(jì)的方法及其運(yùn)用。在理論教學(xué)和實(shí)驗(yàn)教學(xué)中,學(xué)生普遍反映功率譜估計(jì)的方法難以掌握和應(yīng)用。
筆者認(rèn)為,在功率譜的教學(xué)中不能脫離實(shí)際的工程應(yīng)用背景,在“隨機(jī)信號分析”課程教學(xué)中,展開功率譜及功率譜估計(jì)的研討是有必要的。
1.1 功率譜密度
由實(shí)平穩(wěn)過程X(t)的樣本函數(shù)x(t)構(gòu)造一個(gè)截尾函數(shù)xT(t),其表達(dá)式為
(1)
對樣本函數(shù)x(t)在時(shí)間區(qū)間(-T,T)內(nèi)求其時(shí)間平均功率為
(2)
其中,F(xiàn)x(ω,T)為xT(t)的傅里葉變換。令T→∞,則x(t)在(-∞,∞)上的平均功率為
(3)
其中,等號右邊表達(dá)式被稱作函數(shù)x(t)的平均功率譜密度,簡稱功率譜密度[1]。將上述關(guān)于確定函數(shù)x(t)的功率譜密度的概念推廣到隨機(jī)過程X(t),可得隨機(jī)過程X(t)的功率譜密度為
(4)
上述的功率譜密度SX(ω)又稱為“雙邊譜密度”,對ω的正負(fù)值都是有定義的。在工程上為了便于實(shí)際測量,常根據(jù)平穩(wěn)過程的SX(ω)的偶函數(shù)性質(zhì)把負(fù)頻率范圍內(nèi)的譜密度折算到正頻率范圍內(nèi),從而定義“單邊譜密度”GX(ω) ,表示為
(5)
單邊譜密度有時(shí)也稱為物理譜,GX(ω)和SX(ω)之間的關(guān)系如圖1所示。一般在討論到功率譜密度時(shí),若不加說明,則指雙邊譜密度。
圖1 單邊譜和雙邊譜之間的關(guān)系
1.2 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系
對于平穩(wěn)過程X(t),其自相關(guān)函數(shù)RX(τ)和功率譜密度SX(ω)是一對傅里葉變換:
(6)
在此假設(shè)RX(τ)滿足絕對可積的條件,這就是維納—辛欽定理[4]。
利用自相關(guān)函數(shù)RX(τ)和功率譜密度SX(ω)均為偶函數(shù)的性質(zhì),可將式(6)寫成另外一種形式:
(7)
在實(shí)際問題中,一些平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)或功率譜密度的傅里葉變換或逆變換通常是不存在的,若利用δ函數(shù)的傅里葉變換的性質(zhì),就可解決此問題。
功率譜密度函數(shù)表示隨機(jī)信號各頻率成分的功率分布情況,在隨機(jī)信號處理中應(yīng)用廣泛。功率譜的估計(jì)方法一般分為兩大類:一類是線性估計(jì)法,又稱經(jīng)典法,線性估計(jì)法是有偏的譜估計(jì)方法,功率譜的分辨率隨數(shù)據(jù)的長度增加而提高,主要包括自相關(guān)法、自協(xié)方差法和周期圖法等經(jīng)典譜估計(jì)以及AR模型的現(xiàn)代譜估計(jì)[4]。另外一類是非線性估計(jì)法,非線性估計(jì)方法大多是無偏的譜估計(jì)方法,可以獲得高的譜分辨率,主要包括最大似然法、最大熵法等[5]。
2.1 功率譜的線性估計(jì)法
功率譜的線性估計(jì)法可以分為經(jīng)典譜估計(jì)和現(xiàn)代譜估計(jì)。下面我們以周期圖法為例來介紹經(jīng)典譜估計(jì)方法。
周期圖法通過計(jì)算x0,x1,…,xN-1的離散傅里葉變換X(ejω),再取其幅頻特性平方乘以1/N作為功率譜估計(jì),其表達(dá)式為
(8)
(9)
由于經(jīng)典譜估計(jì)不是功率譜的一致估計(jì),而且當(dāng)N值愈大時(shí)起伏更加激烈, 因此需要對此進(jìn)行改進(jìn)。在實(shí)際應(yīng)用中,功率譜估計(jì)改進(jìn)的途徑大致有兩種:一種是對同一過程作多次周期圖估計(jì),再加以平均;另外一種是用加窗的辦法對單一功率譜估計(jì)加以平滑。
2.2 功率譜的非線性估計(jì)法
功率譜的非線性估計(jì)法主要包括最大似然法、最大熵法等。下面我們以最大似然法為例來簡單介紹非線性估計(jì)方法。
讓信號通過一個(gè)濾波器,通過選擇濾波器的參數(shù)使所關(guān)心的頻率的正弦波信號能夠無失真地通過,同時(shí),使所有其他頻率的正弦波通過這個(gè)濾波器后輸出的均方值最小。在這個(gè)條件下,信號經(jīng)過這個(gè)濾波器后輸出的均方值就作為其最大似然法的功率譜估值。
在此,給出一個(gè)功率譜估計(jì)的實(shí)驗(yàn),通過該實(shí)驗(yàn)使學(xué)生能掌握幾種功率譜分析方法并能進(jìn)行對比,以便學(xué)生能夠?qū)W以致用。
實(shí)驗(yàn)的參數(shù)設(shè)置為:輸入信號為方波信號x(t),方波信號基頻為1 kHz,幅值為1 V,n(t)為白噪聲,其中輸入信號的時(shí)域波形圖如圖2所示。自選Matlab或C/C++仿真軟件之一編程和仿真。
通過周期圖法和最大似然法編寫仿真程序并正確地運(yùn)行程序,用波形圖來表示出仿真的結(jié)果,對這兩種功率譜估計(jì)的方法進(jìn)行比較分析,總結(jié)它們各自的特點(diǎn)。
圖2 輸入信號的時(shí)域波形圖
學(xué)生在學(xué)習(xí)功率譜的定義和性質(zhì),以及功率譜估計(jì)理論的過程中,往往希望教師能夠說明其在工程或科研實(shí)踐中的應(yīng)用,從而實(shí)現(xiàn)理論與實(shí)際的結(jié)合。本部分以無線通信系統(tǒng)中OFDM信號的帶寬估計(jì)為例,說明功率譜估計(jì)方法的工程應(yīng)用。
OFDM信號的帶寬估計(jì)主要涉及三個(gè)步驟:步驟一是估計(jì)OFDM信號的功率譜;步驟二是消噪處理;步驟三是OFDM信號帶寬的計(jì)算,其中步驟二和步驟三可以參考文獻(xiàn)[4]和[5],步驟一的OFDM信號的功率譜估計(jì)可以采用上述的線性估計(jì)方法,本文分別以修正的平均周期圖法和AR模型的現(xiàn)代譜估計(jì)方法為例進(jìn)行分析說明。
4.1 修正的平均周期圖法(Welch 法)
將長度為N的數(shù)據(jù)x(n),n=0,1,…,N-1分成L段,每段有M個(gè)數(shù)據(jù),第i段數(shù)據(jù)表示為
xi(n)=x(n+iM-M), 0≤n≤M,1≤i≤L
(10)
然后把窗函數(shù)w(n)加到每一個(gè)數(shù)據(jù)段上,求出每一段的周期圖,第i段的周期圖為
體育課不同于文化課,它大多是室外課,或多或少會(huì)有一些突發(fā)事件發(fā)生,對于這些突發(fā)事件的處理,老師要靈活機(jī)智,以敏稅的眼光和機(jī)智的語言引導(dǎo)學(xué)生,巧妙地應(yīng)對和化解課程教學(xué)中的各種“意外”,讓學(xué)生以大無畏的精神迎難而上,提高學(xué)生積極參與體育運(yùn)動(dòng)的熱情。
(11)
式中,U被稱為歸一化因子,
(12)
將每一段的周期圖之間近似看成互不相關(guān),最后功率譜估計(jì)為
(13)
對式(13)求統(tǒng)計(jì)平均,得到
(14)
式中,
(15)
通過該方法可估計(jì)出OFDM信號的功率譜,如圖3所示[7]。
圖3 基于Welch法的OFDM功率譜估計(jì)
4.2 AR模型的現(xiàn)代譜估計(jì)方法
(16)
其中x(n),n=1,2…,N是長度為N的數(shù)據(jù),w(n)是均值為0,方差為σ2的白噪聲序列,m為AR模型的階數(shù),ak(k=1,2,…,m)為AR模型的參數(shù)。由式(16)可得AR模型的轉(zhuǎn)移函數(shù)為
(17)
則得到AR模型功率譜估計(jì)表達(dá)式為
(18)
其中,ω為角頻率.
在此,利用AIC準(zhǔn)則作為AR模型的定階準(zhǔn)則估計(jì)階數(shù)m[6];采用伯格法估計(jì)AR模型的參數(shù)ak和白噪聲序列的方差σ2[4];則按AR模型進(jìn)行OFDM信號的功率譜估計(jì),其仿真結(jié)果如圖4所示[7]。
圖4 基于AR模型的OFDM功率譜估計(jì)
本文分析了功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系以及功率譜的線性估計(jì)法和非線性估計(jì)法。由分析可見,功率譜及其估計(jì)涉及到維納辛欽定理和信號檢
測估計(jì)理論。功率譜及其估計(jì)內(nèi)容教學(xué)中,不但需要理論教學(xué),而且需要加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)舉例和實(shí)際的工程應(yīng)用,讓學(xué)生能夠?qū)W以致用,從而能夠更好地對理論內(nèi)容進(jìn)行理解和應(yīng)用。
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Discussion on Power Spectrum and Estimation of Random Signal Analysis Course
LIU Ming-qian, LI Bing-bing, GUO Wan-li
(SchoolofTelecommunicationsEngineering,XidianUniversity,Xi'an710071,China)
This paper firstly analyzes the power spectrum density and the autocorrelation function in Random Signal Analysis course. And then, the estimation methods of the power spectrum are introduced and illustrated by experiments respectively. Finally, the bandwidth of OFDM signal in wireless communication system is estimated as an example to illustrate the application of the power spectrum estimation method in practical engineering. This paper has some guidance to the teaching of power spectrum and its estimation, and it is helpful for the students to better understand the theory and engineering application.
random signal analysis; power spectrum; Wiener-Khintchine theorem; power spectrum estimation
2015-07-06;
2015-09- 27
西安電子科技大學(xué)教學(xué)質(zhì)量提升計(jì)劃項(xiàng)目(5050011401)
劉明騫(1982-),男,博士后,講師,主要從事隨機(jī)信號分析教學(xué)、通信信號處理和認(rèn)知無線電的研究,E-mail:mqliu@mail.xidian.edu.cn
G423
A
1008-0686(2016)03-0084-04