一維更鍵反鐵磁鏈的孤子激發(fā)*

汪 森，陳 浩，王瑞強(qiáng)

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院，廣東 廣州 510006)

一維更鍵反鐵磁鏈的孤子激發(fā)*

汪 森，陳 浩，王瑞強(qiáng)

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院，廣東 廣州 510006)

反鐵磁鏈；孤子；多重尺度法

磁性物質(zhì)在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中占有重要地位，對(duì)于它的理論研究一直是凝聚態(tài)物理學(xué)[1-3]、材料物理學(xué)等的熱點(diǎn)[4-7]。由于磁性物質(zhì)的許多物理現(xiàn)象都與其磁性鏈中的非線性元激發(fā)(孤子)有關(guān)，準(zhǔn)一維磁體的孤子激發(fā)問(wèn)題逐漸得到重視，并在理論研究上取得了一系列進(jìn)展[8-15],人們求出了一維磁性鏈中存在單離子各向異性、交換作用各向異性等非線性項(xiàng)時(shí)的孤子解。 由于很多磁性物質(zhì)具有更鍵的特點(diǎn)，文獻(xiàn)[10]已經(jīng)對(duì)一維更鍵鐵磁鏈的孤子激發(fā)進(jìn)行了研究。 一維更鍵反鐵磁物質(zhì)同樣重要，而且得到廣泛研究[16-19]，尤其是二聚化而導(dǎo)致更鍵的反鐵磁鏈[14,18-19]，成為近年研究的熱點(diǎn)，但一維更鍵反鐵磁的孤子激發(fā)問(wèn)題還沒(méi)得到很好的解決。

對(duì)于一維反鐵磁鏈，很多模型中都考慮了Dzyaloshinskii-Moriya(DM)相互作用[11,13,15]，DM相互作用存在于很多反鐵磁體中，根源于粒子自旋和軌道耦合的反對(duì)稱性，是由Dzyaloshinskii[20]和Moriya[21]分別提出，是一種各向異性超交換相互作用。因?yàn)榭捎贸粨Q作用模型解釋反鐵磁自發(fā)磁化的起因[22]，所以在反鐵磁模型中考慮超交換作用是很有必要的。Moriya在1960年給出了DM相互作用的表達(dá)式，常見的所研究的反鐵磁鏈模型中[11,13,15]，DM相互作用都是交錯(cuò)的，其所對(duì)應(yīng)的哈密頓量為

(1)

上式中DZ=(0，0，D)，代表DM相互作用矢量，已取該矢量方向?yàn)閆方向，D為其大??；Si和Si+1分別代表格點(diǎn)i和i+1上的自旋矢量。

DM相互作用是依賴于媒介而實(shí)現(xiàn)的，其大小一般情況下遠(yuǎn)小于最近鄰直接交換作用，如文獻(xiàn)[23-24]所述的苯甲酸銅和CsCuCl3這兩種物質(zhì)，因此在一維反鐵磁鏈中，考慮DM相互作用的同時(shí)，有必要考慮與其大小大致處于同一量級(jí)的次近鄰直接交換作用。

本文求出了一維更鍵反鐵磁鏈的亮孤子解，在鏈中考慮了DM相互作用、外磁場(chǎng)作用、最近鄰和次近鄰相互作用。 在此基礎(chǔ)上，討論了波數(shù)k、更鍵強(qiáng)弱對(duì)孤子峰值、寬度、能量等的影響。

1 模型的哈密頓量和運(yùn)動(dòng)方程

對(duì)于在外磁場(chǎng)作用下、具有DM相互作用的一維更鍵Heisenberg反鐵磁鏈，考慮到次近鄰相互作用時(shí)，其哈密頓量H可表示為:

(2)

(3)

可采用雙子格模型，設(shè)每個(gè)子格中自旋數(shù)為N,總的磁離子數(shù)為2N,并設(shè)2j、 2j+1兩子格中自旋分別沿+Z、-Z方向，利用Holstain-Primakoff變換[25]

(4a)

(4b)

(5)

在低溫情形下，對(duì)式(4a)、(4b)做展開，并略去算符的三階以上項(xiàng)，代入到式(3)中，結(jié)合式(5)以及各物理量的大小特點(diǎn)，得到

(6)

(7)

哈密頓量(6)式所描述的系統(tǒng)的量子態(tài)可表示為|ψ〉,滿足

(8)

利用海森伯運(yùn)動(dòng)方程，可得到算符a2j、b2j-1的運(yùn)動(dòng)方程，令Vj=α2j、φj=β2j-1，得

(J1S+J1′S-μB)Vj+J2S(Vj+1+Vj-1-2Vj)+

(9)

(J1S+J1′S+μB)φj+J2′S(φj+1+φj-1-2φj)+

(10)

2 多重尺度方法求解

利用準(zhǔn)分立近似和多重尺度相結(jié)合的方法[27-28]，將Vj(t)和φj(t)按下述方式展開：

(11)

(12)

(13)

其中

(14)

(15)

上式中,yj(t)代表Vj(t)或φj(t)；ε是展開小量；τ、ξj、θj都是多重尺度變量，其中θj為快變量，τ、ξj為慢變量；b則為最鄰近元胞的間距；t為時(shí)間，vg、ω為待求量。

把式(11)、(12)、(13)、(14)、(15)代入式(9)、(10)，并比較ε的不同冪次項(xiàng)。為了方便表達(dá)，定義如下：

(16)

(17)

(18)

1)比較ε的一次項(xiàng)，得到

(19)

(20)

由式(19)、(20)，得

(21)

由式(19)、(20)、(21)可得

(22)

(23)

上式中θj=kjb-ωt,其中的ω、A1為

(24)

(25)

(26)

(27)

C3=(J1S-iDS)exp(ikb)+

(28)

由以上計(jì)算過(guò)程可知，式(24)中ω即系統(tǒng)在不考慮非線性項(xiàng)時(shí)的自旋波頻率，分為光學(xué)支ω+和聲學(xué)支ω-。

2)比較ε的二次項(xiàng)，得到

(29)

(30)

由式(29)、(30)以及式(22)、(23)可得

(31)

上式中，右端含有誘發(fā)久期項(xiàng)的exp(iθj)，為了消除久期項(xiàng)，要求右端方括號(hào)內(nèi)的值為零,得到

(32)

(33)

[ivgA1-b(J1S-iDS)exp(ikb)-i2J2′SbA1sinkb]

(34)

3)比較ε的三次項(xiàng)，得到

(35)

(36)

由式(35)、(36)，結(jié)合式(22)、(23)、(32)、(33)、(34)可得

(37)

上式中，右端含有誘發(fā)久期項(xiàng)的exp(iθj)，為了消除久期項(xiàng)，得到

(38)

其中

(39)

(40)

(41)

很顯然，上式即是標(biāo)準(zhǔn)的非線性薛定諤方程。

3 孤子解

當(dāng)式(39)、(40)中P>0、Q>0時(shí)，根據(jù)文獻(xiàn)[27],式(41)有著亮孤子解,即

exp{i[qxj-(q2P-γ)t]}

(42)

將上式代入F1(τ,ξj)=f(xj,t)/ε，再結(jié)合式(11)、(15)、(22)、(23)，可知，在Vj(t)、φj(t)取一級(jí)近似下，有

(43)

(44)

其中Ω=qvg+q2P-γ+ω，γ>0，γ、k、q是待定常數(shù)，x0是積分常數(shù),b則為最鄰近元胞的間距，A1、vg、P、Q分別由式(25)、(32)、(39)、(40)表達(dá)。

若將所討論的反鐵磁鏈閉合成一個(gè)環(huán)，則Vj(t)滿足周期邊界條件Vj(t)=Vj+N(t)，式中N為元胞的個(gè)數(shù),代入式(43)，可得

(45)

將式(43)、(44)代入式(8)，得

(46)

將上式歸一化，得

(47)

4 討論(取q=0)

圖1 m取不同值時(shí)ω的圖像Fig.1 The images of ω with different m

圖2 m取不同值時(shí)Q的圖像Fig.2 The images of Q with different m

由兩孤波中Ω=qvg+q2P-γ+ω，γ>0，當(dāng)q=0時(shí)，有Ω=-γ+ω，可知Ω<ω，即兩孤波能量量子相同，且小于不考慮非線性項(xiàng)時(shí)自旋波相應(yīng)能量量子，這表明由于非線性相互作用而導(dǎo)致的孤波解是穩(wěn)定解。

很明顯，A1為復(fù)數(shù)，A1的大小和相位都隨m的變化而變，也就是說(shuō)，更鍵的強(qiáng)弱不僅影響兩孤子的相對(duì)峰值大小，還影響相對(duì)相位。

圖3 m取不同值時(shí)Vj孤子峰值的圖像Fig.3 The images of the soliton peak of Vj with different m

圖4 m取不同值時(shí)φj孤子峰值的圖像Fig.4 The images of the soliton peak of φj with different m

圖6顯示了k=3時(shí)，Vj(t)(令x=jb)孤子的包絡(luò)振幅隨x、t變化的規(guī)律，可明顯看出，一維更鍵反鐵磁鏈中確實(shí)有孤子存在。

當(dāng)2qP+vg=0時(shí)，式(43)、(44)表示的孤子包絡(luò)振幅不隨時(shí)間而變化，代表局域模。

圖5 m取不同值時(shí)Vj孤子寬度的圖像Fig.5 The images of the soliton width of Vj with different m

圖6 k=3時(shí)Vj孤子振幅的圖像Fig.6 The image of the soliton amplitude of Vj with k=3

5 結(jié) 論

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Soliton excitation in a one-dimentional antiferromagnetic chain with bond alternation

WANGSen，CHENHao，WANGRuiqiang

(School of Physics and Telecommunication Engineering,South China Normal University,Guangzhou 510006,China)

antiferromagnetic chain； soliton； multi-scale method

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.03.015

2015-10-22

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11174088)

汪森( 1980年生) ，男;研究方向:低維非線性物理;通訊作者: 陳浩;E-mail:chenhao@ scnu.edu.cn

O482.51；O

A

0529-6579(2016)03-0089-08