高次Haar函數(shù)的推廣*

陳 偉，蔡占川

(1. 江南大學(xué)數(shù)字媒體學(xué)院, 江蘇 無(wú)錫 214122；2. 澳門科技大學(xué)資訊科技學(xué)院, 澳門)

高次Haar函數(shù)的推廣*

陳 偉1，蔡占川2

(1. 江南大學(xué)數(shù)字媒體學(xué)院, 江蘇 無(wú)錫 214122；2. 澳門科技大學(xué)資訊科技學(xué)院, 澳門)

k次V-系統(tǒng)是一類正交分段多項(xiàng)式函數(shù)系,Haar函數(shù)是當(dāng)k=0時(shí)的情形, 因而又稱為高次Haar函數(shù)。V-系統(tǒng)定義在區(qū)間[0,1]上的均勻剖分上, 經(jīng)過(guò)對(duì)所謂“生成元函數(shù)”進(jìn)行2n倍壓縮及平移得到。提出了一種正交非均勻分段多項(xiàng)式函數(shù)系的構(gòu)造方法, 稱之為高次非均勻Haar函數(shù)系。對(duì)于任意給定的區(qū)間[0,1]上的非均勻?qū)哟吻短灼史? 首先定義一組截?cái)鄦雾?xiàng)式，并證明了對(duì)這組截?cái)鄦雾?xiàng)式系進(jìn)行Gram-Schmidt過(guò)程, 結(jié)果便是相應(yīng)的高次非均勻Haar函數(shù), 原來(lái)的V-系統(tǒng)只是高次非均勻Haar函數(shù)系的特殊情形。證明了該函數(shù)系的正交性, 再生性及收斂性, 并給出了一個(gè)具體構(gòu)造實(shí)例。

V-系統(tǒng)；Haar函數(shù)；非均勻；Gram-Schmidt

正交變換在信號(hào)逼近、 壓縮、 特征提取等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用, 它的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)便是正交函數(shù)系[1-3]。在眾所周知的Fourier三角函數(shù)系以及諸多正交多項(xiàng)式系中, 每一個(gè)基函數(shù)不僅是連續(xù)的, 而且具有任意階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。 歷史上, 為了回答“是否存在非連續(xù)的完備正交函數(shù)系”這樣的反問(wèn), 匈牙利數(shù)學(xué)家Haar構(gòu)造了后人稱呼的“Haar函數(shù)”。如果不考慮規(guī)范系數(shù), Haar函數(shù)僅取值+1,-1或0, 因此可以看作是一類正交零次分段多項(xiàng)式函數(shù)系。當(dāng)小波分析興起后,Haar函數(shù)成為小波變換中典型的波函數(shù)代表[1]。

2007年, 國(guó)內(nèi)學(xué)者宋瑞霞等[4]構(gòu)造了一類L2[0,1]上的完備正交分段多項(xiàng)式函數(shù)系, 稱為k(k=0,1,2,…)次V-系統(tǒng),V-系統(tǒng)是一類有限區(qū)間上的正交多小波[5],Haar函數(shù)是k=0時(shí)的特殊情形, 因此V-系統(tǒng)又稱為高次Haar函數(shù)[6]。與傳統(tǒng)的連續(xù)正交函數(shù)不同,V-系統(tǒng)既包含光滑函數(shù), 又有各個(gè)層次的間斷函數(shù), 從而能夠表達(dá)更加復(fù)雜的信號(hào)。文獻(xiàn)[7-9]將V-系統(tǒng)應(yīng)用到幾何圖形表達(dá), 數(shù)據(jù)聚類, 三維模型重構(gòu)與檢索等實(shí)際問(wèn)題中, 取得了良好的結(jié)果。

V-系統(tǒng)是通過(guò)對(duì)所謂“生成元函數(shù)”作2n(n=1,2,…)倍壓縮得到, 這種構(gòu)造方式建立在區(qū)間[0,1]的均勻剖分基礎(chǔ)上, 因而基函數(shù)的分段點(diǎn)位置只出現(xiàn)在q/2p處。本文的目的, 是構(gòu)造非均勻剖分節(jié)點(diǎn)下的V-系統(tǒng), 稱之為非均勻高次Haar函數(shù)。

當(dāng)分段節(jié)點(diǎn)位置為非均勻分布時(shí), 原來(lái)的V-系統(tǒng)構(gòu)造方法不再有效。 也就是說(shuō), 不再能夠通過(guò)壓縮與平移操作得到。本文提出了一種高次非均勻Haar函數(shù)系的構(gòu)造方法, 根據(jù)給定的區(qū)間[0,1]上的非均勻?qū)哟吻短追指? 首先定義一類線性無(wú)關(guān)函數(shù)系。本文證明, 對(duì)這類線性無(wú)關(guān)函數(shù)系作Gram-Schmidt正交化手續(xù), 結(jié)果便是對(duì)應(yīng)非均勻節(jié)點(diǎn)分割上的高次Haar函數(shù)系, 原來(lái)的均勻V-系統(tǒng)只是它的一種特殊情形。進(jìn)一步地, 本文從理論上證明了高次非均勻Haar函數(shù)系的正交性, 再生性及收斂性。

1 V-系統(tǒng)

V-系統(tǒng)是一類正交分段多項(xiàng)式函數(shù)系, 其中既包含連續(xù)的基函數(shù), 又包含具有各種層次間斷性的基函數(shù)。因此V-系統(tǒng)能夠兼顧Fourier三角基與Haar函數(shù)的優(yōu)點(diǎn), 可以更好地表達(dá)信號(hào)。

其中

[f,g]

從第2組(n=2)開始，V-系統(tǒng)中的基函數(shù)均由生成元經(jīng)壓縮及平移直接得到，如下：

那么, 函數(shù)集合

即為k次V-系統(tǒng)。

圖1 均勻V-系統(tǒng)前10項(xiàng)基函數(shù)(k=1)Fig.1 The first 10 base functions of uniform V-system (k=1)

2 高次非均勻Haar函數(shù)

2.1 非均勻?qū)哟吻短追指?/p>

Haar函數(shù)及V-系統(tǒng)定義在區(qū)間[0,1]的自相似均勻分割上。本文構(gòu)造的高次Haar函數(shù)系, 同樣定義在一個(gè)具有層次嵌套關(guān)系的分割上。不同的是，各層的分割位置不再固定為q/2p處。

定義2 (非均勻?qū)哟吻短追指?

為區(qū)間[0,1]上的第n層非均勻剖分, 滿足如下條件：

(iv)Jn=2n;

圖2所示為當(dāng)n=0,1,2,3,4時(shí)的某一組非均勻?qū)哟吻短追指睢?/p>

圖2 區(qū)間[0,1]上的非均勻?qū)哟吻短追指頕ig. 2 Non-uniform hierarchical nested partition in the interval [0,1]

2.2 截?cái)鄦雾?xiàng)式

本文構(gòu)造的高次非均勻Haar函數(shù)系, 由于失去了原有自相似均勻剖分的特點(diǎn), 不再能夠直接通過(guò)生成元函數(shù)得到整個(gè)函數(shù)系。因此，首先定義一類截?cái)鄦雾?xiàng)式函數(shù)系。

稱為Xn上的截?cái)鄦雾?xiàng)式函數(shù)系。

2.3 高次非均勻Haar函數(shù)

證明 按截?cái)鄦雾?xiàng)式函數(shù)系中的函數(shù)按序排列并記為W1,W2,…,Wj,…, 相應(yīng)的正交化結(jié)果記為G1,G2,…,Gj,…, 而將k次非均勻Haar函數(shù)系記為V1,V2,…,Vj,…。

當(dāng)j=1時(shí), 可具體驗(yàn)證G1=W1=V1。

當(dāng)j=2時(shí), 可具體驗(yàn)證G2=W2=V2。

假定Gj=Vj對(duì)j=1,2,…,m-1(m≥4)成立, 根據(jù)Gram-Schmidt正交化手續(xù),

下面將證明上述事實(shí)對(duì)j=m也成立。

證畢。

2.4 性質(zhì)

定理2(標(biāo)準(zhǔn)正交性)k次非均勻Haar函數(shù)系是L2[0,1]上的標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系, 即

證明 根據(jù)定理1,k次非均勻Haar函數(shù)系由線性無(wú)關(guān)函數(shù)組經(jīng)Gram-Schmidt正交化手續(xù)得到, 從而得證。

定理3(再生性) 設(shè)f(x)是區(qū)間[0,1]上的分段k次多項(xiàng)式, 且分段點(diǎn)位于Xn{0,1}, 則f(x)可以用Xn上的k次非均勻Haar函數(shù)系的有限項(xiàng)基函數(shù)線性組合精確表示，即

其中Λ為有限的指標(biāo)集。

證明 根據(jù)定義2, 記Xn分割之下的分段k次多項(xiàng)式集合為Pk,Δn, 則

因而

此即說(shuō)明,Xn分割之下任一分段k次多項(xiàng)式都可以由k次非均勻Haar函數(shù)系的前2n(k+1)個(gè)基函數(shù)精確表達(dá)。證畢。

假設(shè)f(x)是給定的函數(shù), 定義

為函數(shù)f(x)的非均勻Haar級(jí)數(shù), 其中

記

為函數(shù)f(x)的非均勻Haar級(jí)數(shù)的部分和。那么, 有下面的定理。

另一方面,l(x)∈Pk,Δn, 即表明對(duì)于f(x)∈L2[0,1]來(lái)說(shuō), 存在h(x)∈Mk,n, 使得

定理3表明本文構(gòu)造的高次非均勻Haar函數(shù)系是L2[0,1]中的完備正交函數(shù)系[11]。

3 例 子

定理1從理論上給出了高次非均勻Haar函數(shù)系的構(gòu)造方法，這里以一個(gè)具體例子進(jìn)行驗(yàn)證。

給定如下非均勻?qū)哟吻短追指頧3, 通過(guò)本文方法, 構(gòu)造出相應(yīng)的高次非均勻Haar函數(shù)系。

運(yùn)用本文方法, 可以得到任意k次的非均勻Haar函數(shù)系。 限于篇幅, 這里只列出該非均勻分割上的1次與2次Haar函數(shù)系的基函數(shù)圖像, 見圖3與圖4, 并列出1次非均勻Haar函數(shù)的前8項(xiàng)基函數(shù)表達(dá)式。

n=0:

n=1:

n=2:

圖3 非均勻高次Haar函數(shù)(k=1)Fig.3 The high order non-uniform Haar functions (k=1)

圖4 非均勻高次Haar函數(shù)(k=2)Fig.4 The high order non-uniform Haar functions (k=2)

4 結(jié) 論

現(xiàn)有的正交分段多項(xiàng)式函數(shù)系定義在有限區(qū)間的均勻分割上, 本文構(gòu)造了一類非均勻正交分段多項(xiàng)式函數(shù)系, 稱之為高次非均勻Haar函數(shù)系。傳統(tǒng)的V-系統(tǒng)是它的一種特殊情形。根據(jù)給定的非均勻?qū)哟吻短追指? 根據(jù)本文方法, 可以自動(dòng)高效地得到相應(yīng)的任意k次非均勻Haar函數(shù)系, 并且該函數(shù)系具有正交性, 再生性及收斂性。

[1] 齊東旭, 宋瑞霞, 李堅(jiān). 非連續(xù)正交函數(shù)—U-系統(tǒng)、V-系統(tǒng)、多小波及其應(yīng)用[M]. 北京：科學(xué)出版社, 2011.

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[11]BOORCD.Apracticalguidetothesplines(revrisededition)[M].NewYork:Springer-Verlag, 2001.

The generalization of high order Haar functions

CHENWei1,CAIZhanchuan2

(1. School of Digital Media, Jiangnan University, Wuxi 214122, China;2. Faculty of Information Technology, Macau University of Science and Technology, Macau, China)

ThekdegreeV-systemisaclassoforthogonalpiecewisepolynomialfunctionswhichisalsonamedashighorderHaarfunctions.V-systemisdefinedontheuniformpartitionofinterval[0,1]andobtainedbymulti-scalesqueezingandshiftingoperationsontheso-calledgenerators.TheV-systemtothecaseofnon-uniformpartitionisgeneralized,andthecorrespondingresultisnamedashighordernon-uniformHaarfunctions.Foranygivenpartitionontheinterval[0,1],asetoftruncatedmonomialswasfirstlydefined.Itisprovedthatthenon-uniformHaarfunctionscanbeobtainedthroughtheGram-Schmidtorthogonalizationprocess.Theorthogonality,reproducibilityandconvergenceoftheproposedfunctionsareproved,andaspecificconstructiveexampleisalsogiven.

V-system; Haar functions; non-uniform; Gram-Schmidt

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.03.010

2015-07-07

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61402201)；澳門科技發(fā)展基金資助項(xiàng)目(110/2014/A3)；浙江大學(xué)CAD&CG國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題資助項(xiàng)目(A1513，A1609)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)資助項(xiàng)目(JUSRP11416)

陳偉(1986年生)，男；研究方向：信號(hào)處理;E-mail:chenwei.must@gmail.com

TP

A

0529-6579(2016)03-0059-05