順從群作用的測(cè)度中心與極小吸引中心*

王麗娟，周云華

(重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 401331)

順從群作用的測(cè)度中心與極小吸引中心*

王麗娟，周云華

(重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 401331)

研究順從群作用的動(dòng)力系統(tǒng)的測(cè)度中心和極小吸引中心。具體地，首先給出了順從群作用的動(dòng)力系統(tǒng)的測(cè)度中心和極小吸引中心的定義，然后證明了主要結(jié)論：一個(gè)非空集合的測(cè)度中心與極小吸引中心相同。此結(jié)果是周作領(lǐng)所得結(jié)論在順從群作用系統(tǒng)中的推廣。

測(cè)度中心；極小吸引中心；順從群作用

(i)Γ(eG,x)=x,?x∈X；這里eG是G的單位元；

(ii)Γ(g1,Γ(g2,x))=Γ(g1g2,x),?g1,g2∈G,?x∈X。

本文以下總假定X是帶有距離d的緊度量空間，G是可數(shù)離散順從群并作用在X上形成一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)。關(guān)于順從群作用動(dòng)力系統(tǒng)的更多內(nèi)容，可以參考文[2-4]等。

1 預(yù)備知識(shí)及主要結(jié)果

首先回顧一下F (G)上實(shí)函數(shù)的一個(gè)極限定義。

給定F∈F (G)，δ>0，如果E∈F (G)滿足|{s∈E:Fs?E}|>1-δ|E|，則稱E是(F,δ)-不變的[1,5]。給定函數(shù)φ：F (G)→R，若存在L∈R滿足?ε>0，?F0∈F (G)，δ>0使得對(duì)任意(F0,δ)-不變的F，有|φ(F)-L|<ε，則記

下面我們?cè)倩仡橣 (G)上實(shí)函數(shù)上下極限的定義。

對(duì)F1,F2∈F (G)及δ1,δ2>0，若F1?F2且δ1≤δ2，則記(F1,δ1)?(F2,δ2)。令Λ={(F,δ):F∈F (G),δ>0}，則(Λ,)是一個(gè)方向集。

令

J(F,δ)={E∈F (G)：E是(F,δ)-不變的}

易知當(dāng)(F1,δ1)?(F2,δ2)時(shí)有J(F1,δ1)?J(F2,δ2)。

給定函數(shù)φ：F (G)→R，定義

及

容易看出，

B(X)表示X上的Borelσ-代數(shù)。

M(X)表示X上所有概率測(cè)度的集合。

M(X,G)表示X上所有G-不變概率測(cè)度的集合。即M(X,G)={μ∈M(X) :μ(g-1B)=μ(B),?B∈B(X),?g∈G}。

眾所周知，M(X)在弱*拓?fù)湎率强啥攘烤o凸空間，M(X,G)是M(X)的緊致凸子集。

定義2 設(shè)X0?X非空，子集合A?X稱為X0的吸引中心，如果

(ii)gA=A，?g∈G；

(iii)Px(v(A,ε))=1，?ε>0，?x∈X0，這里V(A,ε)={x∈X:d(x,A)<ε}。

A稱為X0的極小吸引中心，如果A是X0的吸引中心，但無(wú)A的真子集也是X0的吸引中心。X0的極小吸引中心記為CX0。當(dāng)X0={x}(x∈X)時(shí)，記CX0=Cx，稱作x的極小吸引中心；當(dāng)X0=X時(shí)，記CX0=C(G)，稱作G的極小吸引中心。

定義3X0?X非空，子集合A?X稱為X0相對(duì)于MX0的測(cè)度中心，如果

(v)gA=A，?g∈G；

(vi)μ(A)=1，?μ∈MX0；

(vii) 無(wú)A的真子集滿足以上三個(gè)條件。

X0相對(duì)于MX0的測(cè)度中心記為MX0。當(dāng)X0=X時(shí)，記MX0=M(G)，稱作G的測(cè)度中心。

周作領(lǐng)在文獻(xiàn)[8]中給出了緊可度量空間上連續(xù)自映射的極小吸引中心的定義，并證明了極小吸引中心與測(cè)度中心相等。本文將這一結(jié)果推廣到順從群作用的動(dòng)力系統(tǒng)中。

定理1 設(shè)(X,G)為可數(shù)無(wú)限順從群G作用在緊度量空間X上的一G-系統(tǒng)，X0為X的一個(gè)非空子集，則MX0=CX0。特別地，C(G)=M(G)。

2 主要結(jié)果的證明

下面的引理可見(jiàn)文[6]推論6.1.2或[9]定理6.4后面的注記。

由于

故

引理2證畢。

給定μ∈M(X)，μ的支撐Sμ定義為

引理3的證明可由文[8]引理3的證明直接修改得到，故略去其過(guò)程。

因此，存在{Fn}?F (G)滿足

與μ(MX0)=1矛盾。

下證CX0?MX0。

這與CX0的定義矛盾。定理證畢。

[1]HUANGW,YEX,ZHANGG.Localentropytheoryforacountablediscreteamenablegroupaction[J].JFunctAnal, 2011, 261(4): 1028-1082.

[2] 王蘇華.Amenable群作用的一維動(dòng)力系統(tǒng)[D]. 蘇州：蘇州大學(xué), 2009: 15-20.

[3]LIANGB.YANK.Topologicalpressureforsub-additivepotentialsofamenablegroupactions[J].JFunctAnal, 2012, 262: 584-601.

[4]HUAUGW,YEX,ZHANGG.Loweringtopologicalentropyoversubsets[J].ErgodicTheoryDynamSystems, 2010, 30: 181-209.

[5]LINDENSTRAUSSE.Pointwisetheoremsforamenablegroups[J].InventMath, 2001, 146(2): 259-295.

[6] 孫文祥.遍歷論[M]. 北京:北京大學(xué)出版社, 2012.

[7] 周作領(lǐng), 尹建東, 許紹元.拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)——從拓?fù)浞椒ǖ奖闅v理論方法[M]. 北京:科學(xué)出版社, 2011.

[8] 周作領(lǐng). 測(cè)度中心與極小吸引中心[J].科學(xué)通報(bào)，1992, 23: 2115-2118.

[9]WALTERSP.Anintroductiontoergodictheory[M].Berlin-Heidelberg-NewYork:SpringerVerlag, 1981.

Measure center and minimal contracting center for amenable group actions

WANGLijuan,ZHOUYunhua

(College of Mathematics and Statistics, Chongqing University, Chongqing 401331, China)

The measure center and minimal contracting center for amenable group actions are investigated. More precisely, the definitions of the measure center and the minimal contracting center for amenable group actions are given firstly. Then the main result that the measure center of a nonempty set equals to its minimal contracting center is proven. It generalizes the conclusion of Zhou to amenable group actions.

measure center; minimal contracting center; amenable group action

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.03.008

2015-07-07

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11471056)

王麗娟(1990年生)，女；研究方向：拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng);E-mail:dujuan645421351@163.com

O

A

0529-6579(2016)03-0052-03