基于O-U模型的天氣衍生品定價(jià)研究

◎陳雪娟

基于O-U模型的天氣衍生品定價(jià)研究

◎陳雪娟

本文通過(guò)對(duì)鄭州市1951-2013年日均氣溫?cái)?shù)據(jù)進(jìn)行分析，建立均值回復(fù)O-U模型，對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并檢驗(yàn)?zāi)Ｐ皖A(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度，研究表明：基于均值回復(fù)O-U模型的時(shí)間序列能夠很好的對(duì)氣溫進(jìn)行預(yù)測(cè)。最后通過(guò)蒙特卡洛模擬方法進(jìn)行多條路徑模擬得到收斂的期權(quán)價(jià)格。

天氣衍生品是針對(duì)一般天氣風(fēng)險(xiǎn)設(shè)計(jì)的金融衍生工具，它以氣溫、降雨量、降雪量、霜凍等天氣因子計(jì)算出的天氣指數(shù)作為標(biāo)的物的金融衍生品。

早期的研究者是通過(guò)對(duì)天氣指數(shù)HDDs(heating degree days)和CDDs(cooling degree days)來(lái)直接進(jìn)行建模的。Geman和Leonardi[i]分析了HDD和AccHDD的統(tǒng)計(jì)特性和數(shù)學(xué)意義，認(rèn)為直接對(duì)HDD建模是不合適的。

最近，更多的研究是直接對(duì)溫度的動(dòng)態(tài)變化進(jìn)行模擬，估計(jì)模型可以推導(dǎo)出相應(yīng)的指數(shù)和天氣衍生品價(jià)格。Jewson、Brix和Ziehmann[ii]認(rèn)為直接對(duì)氣溫指數(shù)進(jìn)行計(jì)算，如HDDs，可能會(huì)造成常見(jiàn)天氣與極端天氣信息的丟失。Dischel[iii]是第一個(gè)提出天氣預(yù)測(cè)的連續(xù)隨機(jī)模型。Dornier和Queruel[iv]在對(duì)挪威的日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)進(jìn)行擬合時(shí)用的是均值回復(fù)的O-U過(guò)程。Swishchuk和Cui[v]對(duì)加拿大兩天日平均氣溫進(jìn)行建模并得出關(guān)于衍生品定價(jià)的應(yīng)用。G?ncü[vi]提出了季節(jié)波動(dòng)模型，并通過(guò)均值回復(fù)O-U過(guò)程對(duì)北京、上海、深圳的日平均氣溫進(jìn)行估計(jì)，而且對(duì)合約的敏感性進(jìn)行近似的分析。他們的結(jié)果證實(shí)了蒙特卡洛模擬的收斂性及近似結(jié)果。

溫度建模

天氣衍生品在國(guó)外作為對(duì)沖天氣風(fēng)險(xiǎn)的金融產(chǎn)品，在中國(guó)金融市場(chǎng)的發(fā)展也將迅速發(fā)展，所以我們關(guān)注氣溫衍生品的建模及定價(jià)問(wèn)題。在本文中，采用對(duì)氣溫?cái)?shù)據(jù)進(jìn)行建模，以免因?yàn)橹苯訉?duì)天氣指數(shù)建模而丟失信息?；镜慕？蚣苋缦拢簹v史日均氣溫收集；對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行必要的修正；建立氣溫模型；氣溫模型的檢驗(yàn)。

數(shù)據(jù)收集

通過(guò)中國(guó)氣象數(shù)據(jù)網(wǎng)，收集了1951~2013年鄭州氣象站的鄭州的日均氣溫?cái)?shù)據(jù)。為了消除閏年對(duì)數(shù)據(jù)的影響，我們將閏年的2月29號(hào)數(shù)據(jù)剔除，這樣每一年都有365天的日均氣溫?cái)?shù)據(jù)，相應(yīng)的，我們獲得一個(gè)63年共計(jì)22995的數(shù)據(jù)集。

圖1顯示了鄭州從1951年-2013年的日均氣溫。這個(gè)圖也展示了日均氣溫有強(qiáng)烈的季節(jié)性與周期性。日均氣溫往復(fù)的來(lái)回運(yùn)動(dòng)，并且定期通過(guò)高溫（夏天）和低溫（冬天）。

通過(guò)日均氣溫的概率分布，如圖2所示，它的統(tǒng)計(jì)特性如表1所示?？梢院芮逦目闯鲟嵵莸幕緶囟葪l件。在這里，為了使數(shù)據(jù)更加容易觀察，將氣溫?cái)?shù)據(jù)擴(kuò)大至十倍。

表1 鄭州氣溫?cái)?shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特性

氣溫模型建立

用1951~2012年數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，2013年數(shù)據(jù)作為檢測(cè)數(shù)據(jù)，檢測(cè)模型。

考慮到氣溫的季節(jié)性變動(dòng)和長(zhǎng)期趨勢(shì)，用均值回復(fù)的O-U模型來(lái)描述氣溫的變化方式。從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，日均氣溫是圍繞著平均溫度往復(fù)運(yùn)動(dòng)的。用Q-Q圖來(lái)檢驗(yàn)溫差的正態(tài)性。圖3顯示的圖近似為一條直線，所以近似的認(rèn)為氣溫的隨機(jī)波動(dòng)為布朗運(yùn)動(dòng)。

為了模擬這個(gè)軌跡，需要將這個(gè)過(guò)程離散化。方程可以被改寫(xiě)為

通過(guò)對(duì)上式進(jìn)行運(yùn)算，并對(duì)參數(shù)進(jìn)行改寫(xiě)簡(jiǎn)化可以得到

其中

假設(shè)波動(dòng)率是周期函數(shù)，將1951年-2012年62年數(shù)據(jù)分為365組，每組62個(gè)數(shù)據(jù)計(jì)算出波動(dòng)率序列，也即σt=σt+365*k其中t=1,2,…,365，k=1,2,3,…。在計(jì)算鄭州天氣時(shí)，用4級(jí)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，即I=J=4。

對(duì)波動(dòng)率用非線性回歸來(lái)計(jì)算參數(shù)，得到的結(jié)果是：

估計(jì)均值回復(fù)率:在建立的氣溫預(yù)測(cè)模型中α是常數(shù)，根據(jù)Bhowan給出的相關(guān)定理得到均值回復(fù)率

α的無(wú)偏估計(jì)為

將數(shù)據(jù)帶入，通過(guò)運(yùn)算得出結(jié)果如下：α=0.3198。

模型檢驗(yàn)

對(duì)模型的有效性進(jìn)行檢驗(yàn)，可以從模型中預(yù)測(cè)得到的2013年數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，得到不同誤差，對(duì)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)。在本文中所用到的誤差有均值偏差(mean bias error)、均方根誤差（root mean squared error）、百分比平均誤差（mean proportionate error）以及絕對(duì)無(wú)偏百分比誤差（unbiased absolute percentage error）。

其中，X是觀測(cè)值，Y是預(yù)測(cè)值。得到的具體值是MBE=0.4301，RMSE=5.1763，UAPE=1.8839，MPE=0.2808，盡管這些值不大，但是沒(méi)有全部接近0，仍然可以認(rèn)為這個(gè)模型可以基本上對(duì)氣溫進(jìn)行預(yù)測(cè)。

用蒙特卡洛模擬出期權(quán)價(jià)格

對(duì)于一個(gè)HDD的歐式看漲期權(quán)來(lái)說(shuō)，假設(shè)r是貼現(xiàn)率，T2是合約的到期日，K是成交水平，Np是名義價(jià)格時(shí)，T1時(shí)刻看漲期權(quán)的價(jià)格為

用蒙特卡洛方法生成一組路徑，并在每一條路徑上都計(jì)算一個(gè)價(jià)格，然后計(jì)算平均價(jià)格即為衍生品的預(yù)期價(jià)格。得到了期權(quán)的定價(jià)公式為

其中N是模擬的數(shù)目。

在本文研究中，關(guān)于天氣衍生品市場(chǎng)有一個(gè)統(tǒng)一的定價(jià)方法，我們主要是用一個(gè)隨機(jī)模型來(lái)描述氣溫的變化，并以這個(gè)氣溫是作為天氣衍生品看漲期權(quán)的標(biāo)的物。以鄭州為例，基于62年的氣溫?cái)?shù)據(jù)建立了一個(gè)隨機(jī)模型，并用蒙特卡洛方法對(duì)HDD看漲期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。通過(guò)2013年的預(yù)測(cè)值與觀測(cè)值的比較驗(yàn)證了，這個(gè)隨機(jī)模型可以很好地描述鄭州的天氣變化。相對(duì)誤差證實(shí)了均值回復(fù)O-U模型能夠很好地描述鄭州氣溫的均值、波動(dòng)及均值回復(fù)率。因此均值回復(fù)O-U模型能夠幫助擬合天氣衍生品合約的價(jià)格。

（作者單位：華北水利水電大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院）