振動落砂機系統(tǒng)的擬周期碰撞設計*

伍　新，文桂林，何莉萍，徐慧東，魏克湘

(1.湖南大學 汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，湖南 長沙　410082；2.湖南工程學院 機械工程學院，湖南 湘潭　411104)

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振動落砂機系統(tǒng)的擬周期碰撞設計*

伍新1,2，文桂林1?，何莉萍1，徐慧東1，魏克湘2

(1.湖南大學 汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，湖南 長沙410082；2.湖南工程學院 機械工程學院，湖南 湘潭411104)

摘要：首先建立了落砂機系統(tǒng)周期運動的Poincaré映射，考慮到在設計過程中經(jīng)典的Neimark-Sacker分岔臨界準則需要直接計算特征值帶來的局限性，利用不直接依賴于特征值計算的顯式臨界準則，獲得了系統(tǒng)發(fā)生Neimark-Sacker分岔的兩參數(shù)區(qū)域圖，所獲得的參數(shù)區(qū)域圖有助于主動設計系統(tǒng)的擬周期碰撞運動.然后應用中心流形-正則形方法進一步分析了擬周期碰撞運動的穩(wěn)定性.最后數(shù)值仿真表明在選定的系統(tǒng)參數(shù)處能產(chǎn)生穩(wěn)定的擬周期碰撞運動.

關鍵詞：落砂機；沖擊振動；Neimark-Sacker分岔；擬周期碰撞運動；穩(wěn)定性

碰撞振動在實際工程領域中普遍存在，由于碰撞和沖擊過程中固有的不連續(xù)性造成的強非線性，使得系統(tǒng)的動力學響應十分復雜多變，產(chǎn)生豐富的非線性現(xiàn)象，如分岔和混沌現(xiàn)象等[1-6].

振動落砂機是一種利用碰撞振動原理對砂箱進行落砂的機械設備.這種周期碰撞的機械設備工作頻率單一，導致生產(chǎn)效率低、能耗高.而擬周期碰撞是典型的非線性振動，與簡單的周期碰撞相比，擬周期碰撞具有多頻性，以及振動加振蕩之復式激振品質，可提高系統(tǒng)的功能和效率，同時又沒有混沌運動的不可預測性和初始條件敏感性，該特性在實際工程領域具有應用潛力，能有效解決上述存在的一些缺陷.

近來，國內外一些學者對振動落砂機系統(tǒng)非線性特性開展了理論和數(shù)值模擬分析.羅冠煒等[7]通過理論分析和數(shù)值仿真揭示了振動落砂機周期運動經(jīng)概周期分岔和倍周期分岔通向混沌的演化過程.丁旺才等[8]使用中心流形-范式方法研究了振動落砂機系統(tǒng)在強共振下的兩參數(shù)開折的局部動力學行為并通過數(shù)值仿真進一步揭示了系統(tǒng)共振點附近的Hopf分岔不變環(huán)面和次諧分岔4-4周期運動.

隨著分岔理論和非線性動力學設計方法的發(fā)展，人們開始關注如何主動利用分岔特性來提高系統(tǒng)的功能與效率，通過主動選擇系統(tǒng)的參數(shù)來設計出具有所期望特性的分岔解.然而上述文獻中對振動落砂機系統(tǒng)的非線性現(xiàn)象的研究大部分是基于特征值的特性來描述的傳統(tǒng)的分岔準則.對于一個四維多參數(shù)的落砂機碰撞振動系統(tǒng)，如果按照傳統(tǒng)的Hopf分岔臨界準則，逐點試算特征值是否滿足分岔的存在條件，這對于通過設計來主動實現(xiàn)分岔解具有一定的局限性.針對傳統(tǒng)分岔準則的不足，文桂林等[9]提出了新的離散系統(tǒng)Hopf分岔準則，建立的Hopf分岔準則是由一些系統(tǒng)參數(shù)構成的代數(shù)等式和不等式組成的顯式分岔臨界準則，并不依賴于特征值的計算，這更適合分岔參數(shù)機理分析和設計.

本文以振動落砂機系統(tǒng)為研究對象，針對傳統(tǒng)的映射Hopf分岔臨界準則在主動設計方面存在的局限性，基于Neimark-Sacker分岔(二次Hopf分岔)理論，使用不直接依賴于特征值計算的顯式臨界準則來設計系統(tǒng)的參數(shù)，使其產(chǎn)生擬周期碰撞運動.然后，應用中心流形-正則形方法來分析擬周期碰撞運動的穩(wěn)定性.最后，通過選取適當?shù)南到y(tǒng)參數(shù)，數(shù)值實現(xiàn)了系統(tǒng)穩(wěn)定的擬周期碰撞運動.

1力學模型及其運動方程

對于振動落砂機系統(tǒng)的設計，僅考慮垂直方向振動，將振動落砂機系統(tǒng)簡化為圖1所示的兩自由度的質量彈簧阻尼器系統(tǒng).其中，質量塊M，m分別表示質量為M的振動基座和質量為m的砂箱(包括型砂和鑄件)，振動基座和基礎之間用剛度為K的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C的阻尼器連接，振動基座受到簡諧力Fsin(ωt+δ)的作用.圖中X，Y分別表示基座和砂箱的位移.砂箱和基座不發(fā)生碰撞時，砂箱只受重力作用，當基座和砂箱位移相同即X=Y，并且相對速度不為零時，它們會發(fā)生垂直方向的正碰.為了方便計算，振動落砂機系統(tǒng)采用文獻[10]中的無量綱運動微分方程來描述：

圖1　振動落砂機的力學模型

(1)

(2)

2振動落砂機系統(tǒng)周期運動的Poincaré映射

由無量綱方程(1)和(2)可知，在系統(tǒng)未發(fā)生碰撞時，基座和砂箱會遵循方程(1)做連續(xù)運動.當發(fā)生碰撞時，基座和砂箱的速度會遵循沖擊方程(2)發(fā)生突變，得到下一次做連續(xù)運動的初始值，因此系統(tǒng)會進行碰撞、連續(xù)運動、再碰撞的循環(huán)運動.為了使系統(tǒng)產(chǎn)生Neimark-Sacker分岔，求得一個周期沖擊運動.其無碰撞部分的解析表達式如下[8]：

xp(θ)=e-ζ(θ/z)(b10cosη(θ/z)+b20sinη(θ/z))+

sin(θ+τ0)，

(3)

(b20ζ+b10η)sinη(θ/z)]+cos(θ+τ0)，

(4)

yp(θ)=b30+b40θ-e1θ2/2，

(5)

(6)

表達式(3)～(6)中，確定的周期運動的相位角和積分常數(shù)如下

(7)

(8)

b30=b10+sin(τ0)，b40=e1π.

(9) 其中，s=e-ζ(2π/z)sinη(2π/z),c=e-ζ(2π/z)cosη(2π/z).由表達式(7), 可知周期運動需滿足下面的一個條件：

(10)

基于獲得的周期解(3)～(6)，選擇系統(tǒng)的Poincaré截面

S=R(mod2π).

這里，R表示實數(shù)，可建立如下的Poincaré映射

Xk+1=F(μ,Xk)=

(11)

3振動落砂機系統(tǒng)的擬周期碰撞運動

3.1振動落砂機系統(tǒng)Neimark-Sacker分岔的顯式臨界條件

為了設計出振動落砂機系統(tǒng)擬周期碰撞運動，主要任務就是確定適當?shù)南到y(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)(11)發(fā)生Neimark-Sacker分岔.如果采用傳統(tǒng)的分岔臨界準則，需要在參數(shù)空間內通過逐點取值來計算和驗證系統(tǒng)的特征值是否滿足Neimark-Sacker分岔的臨界準則，這種數(shù)值搜尋的方法具有一定的盲目性和不確定性，非常耗時.另外，雖然可以采用極點配置方法找到滿足特征值分布條件的系統(tǒng)參數(shù)點，但該方法也是先確定特征值后再確定參數(shù)，確定的參數(shù)對于系統(tǒng)仍存在機理不明確問題.特別是對于橫截條件，由于需要求特征值對分岔參數(shù)的導數(shù)，極點配置方法無法解決.因此為了克服傳統(tǒng)分岔臨界準則的局限性，本文采用不直接依賴于特征值計算的映射Neimark-Sacker分岔的顯式臨界條件來獲得系統(tǒng)參數(shù).

Pμ(λ)=λ4+a1λ3+a2λ2+a3λ+a4.

(12)

這里選取μ=(ρ,β)，ai=ai(ρ,β)是與分岔參數(shù)ρ和β有關的實數(shù)，i=1,…，4.針對建立的振動落砂機系統(tǒng)周期運動的Poincaré映射(11), 有如下的引理.

引理1[9]映射(11)在μ=μ0處發(fā)生Neimark-Sacker分岔，當且僅當滿足下列條件(Ⅰ)～(Ⅴ)

(Ⅱ) 1+a1+a2+a3+a4>0,1+a4>0，

1-a1+a2-a3+a4>0,1-a4>0,

(Ⅴ)cos(2π/m)≠ψ,m=3,4,5，…,

ψ=1-

其中條件(Ⅰ)保證有一對復共軛特征值位于單位圓上；條件(Ⅱ)保證其它的特征值位于單位圓內；條件(Ⅲ)保證映射不動點是合理存在的；條件(Ⅳ)保證在參數(shù)擾動下，位于單位圓上的特征值穿越單位圓的速度不為零；條件(Ⅴ)保證Neimark-Sacker分岔是非共振的.

3.2振動落砂機系統(tǒng)Neimark-Sacker分岔的存在性

ρ

圖2中白色區(qū)域Ⅰ和Ⅱ內的點都滿足引理1的條件(Ⅱ)-(Ⅲ)中的不等式，但在灰色區(qū)域Ⅲ和Ⅳ中至少有一個條件(Ⅱ)和(Ⅲ)中的不等式不成立.由曲線EA，AB，BC，CD和DE圍成的白色區(qū)域Ⅰ除了滿足條件(Ⅱ)-(Ⅲ)還滿足Δ>0，因此白色區(qū)域Ⅰ為系統(tǒng)周期運動的穩(wěn)定參數(shù)區(qū)域.曲線DE是由臨界條件(Ⅰ)中的Δ=0得到，曲線DE上由條件(Ⅴ)得到的點R3和R4分別為系統(tǒng)出現(xiàn)3階和4階強共振點.點劃線l和m由橫截條件(Ⅳ)不等式左邊的表達式取等號得到的，這樣兩曲線l和m和曲線DE的交點T1和T2不滿足Neimark-Sacker分岔的橫截條件(Ⅳ).由此在選取系統(tǒng)參數(shù)臨界點時應該避開這些強共振點和非橫截點.在由曲線DE，EF，F(xiàn)G和GD圍成的白色區(qū)域Ⅱ內，在曲線DE的附近是出現(xiàn)系統(tǒng)擬周期碰撞運動的潛在區(qū)域.為了分析分岔解的穩(wěn)定性，在分岔圖的白色區(qū)域內的Neimark-Sacker分岔臨界曲線DE上任取一點μ0=(ρ0,β0)=(0.6,0.954 41)作為臨界分岔值.

3.3振動落砂機系統(tǒng)擬周期碰撞運動的穩(wěn)定性

振動落砂機系統(tǒng)出現(xiàn)的擬周期碰撞運動的穩(wěn)定性，也即Neimark-Sacker分岔解(不變圈)的穩(wěn)定性取決于映射(11)的非線性項.采用中心流形-范式方法[10]或者頻域方法[11]都可以分析Neimark-Sacker分岔的穩(wěn)定性.本文使用投影法[12]來分析分岔的穩(wěn)定性.

取坐標變換

Yk=Xk-X*,ν=μ-μ0.

(13)

(13)式中的X*為映射(11)的不動點，μ0為臨界分岔參數(shù)值.

映射(11)經(jīng)過坐標變換(13)變換成

(14)

則通過變量變換后的新映射(14)的不動點和分岔點都轉化為了零點.這樣映射(11)發(fā)生Neimark-Sacker分岔后產(chǎn)生的擬周期碰撞運動的穩(wěn)定性可由引理2來確定.

(15)

(15)式中的g21，g20，g11和g02可通過中心流形-正則化方法得到，它們具有下面的形式：

(16)

根據(jù)(15)和(16)，在μ=μ0計算得到

α(0)=-0.089<0.

因此，根據(jù)引理2可判斷系統(tǒng)會產(chǎn)生一個穩(wěn)定的Neimark-Sacker分岔解，即系統(tǒng)穩(wěn)定的擬周期碰撞運動.

3.4數(shù)值實驗

為了驗證上述理論分析和研究振動落砂機系統(tǒng)在分岔點附近的動力學行為，其它三個參數(shù)不變，臨界參數(shù)ρ0不變，變化分岔參數(shù)β，在落砂機的分岔臨界點附近設置了6組參數(shù)擾動值，并做了相應的數(shù)值仿真，文中的數(shù)值仿真都采用4 000次碰撞.在Poincaré映射分岔圖的白色區(qū)域Ⅰ內的分岔臨界曲線DE附近取一組分岔參數(shù)μ=μ0+Δμ=(ρ0,β0-0.02)，其中Δμ是臨界參數(shù)擾動量，設置映射初始值X=X*+ΔX，其中ΔX=(0,0,0,0.001)T為不動點擾動量，在該參數(shù)點處系統(tǒng)處于穩(wěn)定的周期運動，即Poincaré映射上一個不動點，如圖3(a)所示.在Poincaré映射分岔圖的白色區(qū)域Ⅱ內并且充分接近曲線DE的參數(shù)區(qū)域內取分岔參數(shù)μ= (ρ0,β0+0.004)，在該參數(shù)點處系統(tǒng)處于穩(wěn)定的擬周期碰撞運動，即Poincaré映射上一個不變圈，如圖3(b)所示.繼續(xù)變化分岔參數(shù)值，當取分岔參數(shù)μ= (ρ0,β0+0.045 6)時，擬周期運動失穩(wěn)，產(chǎn)生鎖相運動，如圖3(c)所示.當取參數(shù)μ= (ρ0,β0+0.046)時系統(tǒng)退出鎖相運動，又產(chǎn)生擬周期吸引不變圈，如圖3(d)所示.當取控制參數(shù)μ= (ρ0,β0+0.1)時系統(tǒng)產(chǎn)生擬周期吸引不變圈，不變圈幅值更大，如圖3(e)所示.當繼續(xù)擾動參數(shù)值至μ= (ρ0,β0+0.22)時系統(tǒng)經(jīng)鎖相轉遷為混沌運動，如圖3(f)所示.通過以上仿真分析，振動落砂機系統(tǒng)展示出了豐富的動力學行為，在Hopf分岔臨界點附近作參數(shù)擾動，當參數(shù)擾動量足夠小的時候由Hopf分岔所產(chǎn)生的不變圈在形狀上類似于一個橢圓.隨著參數(shù)擾動量的增大，不變圈不斷增大，其形狀也變得越來越不規(guī)則.仿真顯示只有當系統(tǒng)的擾動參數(shù)很大時才發(fā)生混沌，說明系統(tǒng)的擬周期碰撞運動具有強的魯棒性和較大的穩(wěn)定域.因此，在設計系統(tǒng)參數(shù)時，在白色區(qū)域Ⅱ鄰域內靠近分岔臨界曲線DE處取系統(tǒng)參數(shù)可以產(chǎn)生穩(wěn)定的擬周期碰撞運動.

xk

xk

xk

xk

xk

xk

4結論

1)基于主動利用Neimark-Sacker分岔解特性的思想，通過選定合適的系統(tǒng)參數(shù)，設計出了穩(wěn)定的擬周期碰撞的振動落砂機系統(tǒng).

2)利用顯式的Neimark-Sacker分岔臨界準則獲得了落砂機系統(tǒng)產(chǎn)生擬周期碰撞運動的兩參數(shù)區(qū)域圖，此參數(shù)區(qū)域具有較大的分岔可行域范圍，可保障所產(chǎn)生的擬周期碰撞運動具有較大的穩(wěn)定域和較強的魯棒性.

3)數(shù)值分析實現(xiàn)了落砂機系統(tǒng)產(chǎn)生的穩(wěn)定的擬周期碰撞運動并調查了附近鎖相和混沌等動力學行為.

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Design of Quasi-periodic Impact Motion of an Impact Shaker System

WU Xin1，2, WEN Gui-lin1?, HE Li-ping1, XU Hui-dong1, WEI Ke-xiang2

(1.State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body, Hunan Univ, Changsha, Hunan410082,China；2.School of Mechanical Engineering, Hunan Institute of Engineering , Xiangtan, Hunan411104,China)

Abstract:The Poincaré map of periodic motion was established, and the bifurcation diagram of two parameters was obtained by using an explicit critical criterion without using eigen values when the difficulties caused by the classical Neimark-Sacker bifurcation critical criterion described by the properties of eigenvalues were considered. The bifurcation diagram helps to proactively design the quasi-periodic impact motion of the system. Then, the stability of the quasi-periodic impact motion was further analyzed by utilizing the center manifold and normal formal theory. Finally, numerical experiments verify that the stable quasi-periodic impact motion can be generated at chosen parameters points.

Key words:shaker system; impact vibration; Neimark-Sacker bifurcation; quasi-periodic impact motion; stability

中圖分類號：O322；TB123

文獻標識碼：A

作者簡介：伍新(1976-)，男，湖南新化人，湖南大學博士研究生，湖南工程學院講師?通訊聯(lián)系人，E-mail:glwen@hnu.edu.cn

基金項目：國家杰出青年科學基金資助項目(11225212)；國家自然科學基金資助項目(11172100,11002052),National Natural Science Foundation of China(11172100,11002052) ；湖南省自然科學基金資助項目(2016JJ4027)

收稿日期：2015-01-30

文章編號：1674-2974(2016)04-0038-06