六自由度微振動模擬平臺動力學分析

張樸真 楊建中，2 從強 張曉東

（1北京空間飛行器總體設計部，北京 100094）（2南京航空航天大學宇航學院，南京 210016）

六自由度微振動模擬平臺動力學分析

張樸真1楊建中1，2從強1張曉東1

（1北京空間飛行器總體設計部，北京 100094）（2南京航空航天大學宇航學院，南京 210016）

針對航天器的控制力矩陀螺微振動試驗對通用微振動振源的需求，在分析微振動形式的基礎上，提出了6－PUS并聯(lián)機構的六自由度微振動模擬平臺來模擬微振動試驗的新思路?；贜ewton－Euler法，給出了6－PUS并聯(lián)平臺動力學特性的分析方法，并建立了定平臺輸出力/力矩與支鏈驅動力之間的動力學模型。使用MATLAB軟件對模型進行了仿真計算，并與理論計算值進行了比較分析，驗證了動力學模型的正確性，可以為同類微振動模擬平臺動力學與控制研究提供參考。

航天器；動力學；并聯(lián)機構；微振動；振動模擬

1 引言

隨著航天技術的發(fā)展，星載相機的成像分辨率由米級提高到分米級，對由星上控制力矩陀螺（CMG）引起的微振動越來越敏感。為了抑制微振動，須要研制CMG減隔振裝置。本文研究的6－PUS并聯(lián)機構的六自由度微振動模擬平臺，可以模擬微振動力幅值1～10N，力矩幅值0．1～1Nm、一倍頻頻率為30～200Hz的小型CMG的微振動，從而為小型CMG減隔振裝置的試驗提供通用的微振動振源，以提高微振動試驗的效率與有效性。

由于轉速調(diào)整等運動狀態(tài)的變化或動不平衡等因素的影響，CMG等運動部件在正常工作中會在安裝平面產(chǎn)生六自由度的微振動［1］。一般的振動試驗設備如單個或多個組合的激振器、振動臺通常只能模擬1～3自由度的振動。Stewart并聯(lián)機構通常利用動平臺的六自由度運動，可實現(xiàn)精確指向、減隔振、空間對接等功能，在航天領域有著廣泛的應用［2］。例如基于Stewart并聯(lián)機構的飛行模擬器［3］，小型六支鏈精確指向平臺［4］等。根據(jù)達朗貝爾原理，Stewart平臺也可以利用定平臺輸出六自由度的力/力矩，即實現(xiàn)安裝面的六自由度振動模擬。其中，6－PUS并聯(lián)機構作為Stewart并聯(lián)機構的一種構型，具有更低的運動支鏈質(zhì)量、更小的轉動慣量、更快的響應速度。根據(jù)上述分析，本文提出了一種微振動試驗的新思路，即采用6－PUS并聯(lián)機構來模擬六自由度的微振動試驗。

Yang［5］等人在忽略支鏈轉動慣量的條件下，研究了Stewart并聯(lián)機構的逆動力學問題。Dasgupta［6－7］等人通過矢量投影等方法提高了動力學模型的運算效率，并進一步給出了相應的控制算法。Geng［8］等人給出了形式較為簡單整齊的Stewart并聯(lián)機構的動力學模型。黃真［9］等人采用影響系數(shù)法研究了并聯(lián)機構的運動與受力，并建立了動力學模型。上述研究主要是圍繞驅動力與動平臺運動之間的關系建立動力學模型，并未涉及定平臺的輸出力/力矩。

本文基于Newton－Euler法，針對定平臺輸出力/力矩問題，研究了六自由度微振動模擬平臺的運動學、動力學特性，建立了微振動模擬平臺的動力學模型，從而得到定平臺輸出力/力矩與驅動力的關系。在SimMechanics模塊中對所需輸出力/力矩對應的驅動力進行了計算，將計算結果代入機械系統(tǒng)模型中，仿真此時的輸出力/力矩，并對所需輸出值與實測輸出值進行了比較，驗證了建模方法的正確性以及6－PUS并聯(lián)機構用作微振動試驗模擬平臺的可行性。

2 動力學建模方法

六自由度微振動試驗模擬平臺由定平臺、六條支鏈、動平臺3部分組成。平臺采用立方體構型，即六條支鏈的初始位置為正方體的六條棱，依次將各條支鏈編號，如圖1所示。每條支鏈分為3部分，即下支鏈、中支鏈、上支鏈。下支鏈下端與定平臺固連，下支鏈上端用移動副與中支鏈下端相連，中支鏈上端用萬向節(jié)與上支鏈下端相連，上支鏈上端用球鉸與動平臺相連，其中移動副為驅動副。

為了方便描述六自由度微振動模擬平臺的立方體構型，并簡化支鏈的坐標表示，建立絕對坐標系O－xyz，即｛O｝，如圖1所示，3條坐標軸分別對應立方體的3條正交棱。由于輸出力/力矩方向是相對于定平臺描述的，建立定平臺坐標系OB－xByBzB，即｛OB｝，OB可以認為是定平臺力/力矩輸出點。建立動平臺的固連坐標系OP－xPyPzP，即｛Op｝，Op為動平臺中心。

由于各條支鏈結構相同，位置對稱，具有相同動力學方程，因此下文的支鏈動力學中不區(qū)分具體支鏈。六自由度微振動模擬平臺的位置逆解、運動學逆解較為復雜，此處不再展開論述，下文推導中涉及到的相關變量直接作為已知量處理。

2．1 支鏈動力學

如圖2所示，萬向節(jié)的角速度始終在u1、u2所在平面內(nèi)，因此萬向節(jié)對上支鏈的約束力矩大小為MU，方向為u3，約束力為FU。移動副對中支鏈的約束力為FC，約束力矩為MC；驅動力大小為FA，方向矢量為n1。

分別以中支鏈、上支鏈為研究對象，可知：

式中：mu、md，au、ad分別為上支鏈、中支鏈質(zhì)量和質(zhì)心加速度，g為重力加速度，為萬向節(jié)加速度，F(xiàn)S為動平臺對上支鏈的約束力。

由于中支鏈被移動副約束，不存在轉動，根據(jù)動量矩定理，外力對下支鏈移動副中心取矩得

式中：L2為移動副中心指向萬向節(jié)中心的矢量。將上支鏈所受外力對萬向節(jié)中心取矩：

式中：x為FS沿n3的分量大小，C為FS非n3方向的分量。

圖2 中支鏈與上支鏈之間的萬向節(jié)Fig．2 Universal joint between middle and upper part of the leg

2．2 平臺動力學

動平臺除了受重力、球鉸的支持力之外，沒有其它外載荷，因此力/力矩平衡方程為

式中：m為動平臺質(zhì)量，a為動平臺質(zhì)心加速度，ωp、α分別為動平臺角速度、角加速度，X為動平臺對球鉸的約束力矢量，由各條上支鏈軸線上的分量組成，為動平臺在｛O｝中相對質(zhì)心的轉動慣量，JP為與動平臺對應的雅克比矩陣。

由于振動模擬平臺采用了立方體構型，且微振動幅值較小，動平臺的位姿變化很小，雅克比矩陣JP始終可逆，由式（6）可解得X，代入式（5），可以求得動平臺對上支鏈的約束力FS，將FS代入式（1）～（4）中，得到每條支鏈各運動副的約束力與約束力矩。

在｛OB｝中定義輸出力/力矩：FB、MB，可得各支鏈驅動力組成的矢量為

式中：ROB為定平臺坐標系到絕對坐標系的坐標變換矩陣，mAi為支鏈驅動裝置（固連在定平臺上）的質(zhì)量；FCi為移動副對下支鏈的約束力，Bi為定平臺中心到各下支鏈下端的矢量，L3i為下支鏈下端指向移動副中心的矢量，其中i為支鏈編號，JB為與定平臺對應的雅克比矩陣。

3 SimMechanics機械系統(tǒng)仿真

應用MATLAB軟件中的SimMechanics模塊，可以建立模塊化的機械系統(tǒng)模型［10］。本文對六自由度微振動模擬平臺動力學模型的驗證，就是通過理論計算結果與SimMechanics模塊中建立的機械系統(tǒng)模型運行結果相比較。

按照第2節(jié)所述的關節(jié)順序，將各支鏈分別與定平臺、動平臺相連；設定各構件的運動、運動約束、坐標系統(tǒng)，初始化系統(tǒng)的運動狀態(tài)；在移動副處設置驅動模塊，提供所需的驅動力；在動平臺處添加傳感器模塊，仿真其位移、速度、加速度，以及角度、角速度、角加速度，為第2章建立的動力學模型提供輸入；在定平臺中心點設置力傳感器，仿真該點處力/力矩的輸出，組成六自由度微振動模擬平臺機械系統(tǒng)，如圖3所示，上方的三角形為動平臺，中間的六根線為6條支鏈，下方的三角形為定平臺。

SimMechanics模塊與任何Simulink軟件設計的控制器及其它動態(tài)系統(tǒng)相連，從而可以進行綜合仿真分析。因此，可以在Simulink軟件中搭建第2節(jié)所述的動力學模型，將該動力學模型引入到Sim－Mechanics模塊中建立的六自由度微振動模擬平臺機械系統(tǒng)模型，驗證動力學模型的正確性。

4 仿真結果與動力學模型分析結果對比

假設支鏈初始總長度為200mm，動平臺質(zhì)量為3kg，上、中支鏈質(zhì)量均為0．03kg，下支鏈即驅動裝置質(zhì)量為0．5kg，在SimMechanics模塊中建立振動模擬平臺的機械系統(tǒng)模型。將規(guī)定的定平臺輸出代入到動力學模型中，求解振動模擬平臺的移動副的驅動力，通過仿真定平臺的輸出力是否與所需的定平臺輸出力一致，來檢驗動力學模型的正確性。

以某CMG的微振動試驗數(shù)據(jù)為例，該CMG的轉速為6000r/min，即微振動的一倍頻為100Hz。在｛OB｝中定義微振動模擬平臺的3種工況：工況1為一自由度微振動輸出，工況2為三自由度微振動輸出，工況3為六自由度微振動輸出，如表1所示。

表1 微振動模擬平臺的3種工況Table 1 Three working conditions of the micro－vibration simulation platform

表1中，F(xiàn)x、Mx，F(xiàn)y、My，F(xiàn)z、Mz分別為沿｛OB｝各坐標軸方向輸出力/力矩。ω為振動頻率，大小為100Hz；G為動平臺、支鏈和驅動裝置所受的重力之和，大小為－62．3916N。

4．1 工況1分析

根據(jù)工況1中的輸出要求，求解動力學方程得到各支鏈的驅動力，如圖4（a）所示，各支鏈驅動力的頻率、相位、幅值均相同，產(chǎn)生z向同頻率的余弦力，且均有一個正向偏差，可以克服重力。測量定平臺的輸出力/力矩，如圖4（b）所示，其中z軸的輸出與工況一相符。所需輸出力/力矩減去測量得到的實際定平臺輸出力/力矩，得到振動模擬平臺輸出誤差，如圖4（c）所示，最大的誤差為10－7量級，可以忽略。

4．2 工況2分析

根據(jù)工況2中的輸出要求，求解得到各支鏈的驅動力，如圖5（a）所示，1、2、3支鏈與6、5、4支鏈相位相差π，可以產(chǎn)生y軸方向的力矩和x軸方向的合力。測量定平臺的輸出力/力矩，如圖5（b）所示，其中x、z軸的輸出力和y軸的輸出力矩與工況2相符。如圖5（c）所示，振動模擬平臺的輸出誤差量級為10－14，可以忽略。

4．3 工況3分析

根據(jù)工況3中的輸出要求，求解得到各支鏈的驅動力，如圖6（a）所示。測量定平臺的輸出力/力矩，如圖6（b）所示，其中各軸的輸出力與輸出力矩與工況3相符。如圖6（c）所示，振動模擬平臺的最大輸出誤差量級為10－14，可以忽略。

圖6 工況3仿真結果Fig．6 Simulation results of the third working condition

3個工況中，各支鏈驅動力、定平臺輸出力/力矩與規(guī)定的工況相符，可以滿足微振動輸出的要求，證明了動力學模型的正確性。同時表明，6－PUS并聯(lián)機構具備單自由度/多自由度力/力矩的輸出能力，可以作為微振動模擬平臺來模擬CMG的六自由度微振動。

5 結束語

相對于現(xiàn)有的振動試驗設備，本文研究的6－PUS并聯(lián)機構的六自由度微振動模擬平臺可以更全面地模擬CMG六自由度的微振動。同時振動模擬平臺的振動幅值、頻率在一定范圍內(nèi)可調(diào)，可以充分地檢驗減隔振裝置抑制不同大小、不同頻率微振動的能力。由于振動產(chǎn)生的原理不同，在試驗過程中振動模擬平臺起振速度更快，節(jié)約了等待CMG升降速的時間，可以顯著地提高試驗效率、降低試驗成本。

本文通過建立6－PUS微振動模擬平臺的動力學模型，給出了輸出力/力矩與驅動力之間的關系，并通過構型、支鏈運動副順序的選擇，簡化了微振動模擬平臺的動力學模型；使用MATLAB軟件相關模塊求得了與定平臺輸出力/力矩對應的各支鏈驅動力，并對振動模擬平臺的典型工況進行了驗證，結果表明理論計算值與仿真值相符，證明了采用6－PUS微振動模擬平臺新思路的可行性，為進一步的微振動模擬平臺詳細設計打下了基礎，并可為同類平臺動力學與控制的研究提供參考。

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［1］R A Masterson，D W Miller，R L Grogan．Development of empirical and analytical reaction wheel disturbance moels［C］//Structures，Structural Dynamics and Materials Conference and Exhibit．St．Louis：American Institute of Aeronautics and Astronautics，1999：1－12

［2］楊建中．Stewart并聯(lián)機器人在航天器上的應用［C］//全國第十二屆空間及運動體控制技術學術會議．北京：中國自動化學會，2006：426－431 Yang Jianzhong．Applications of the stewart parallel manipulator on space vehicles［C］//The 12thNational Space and Motion Control Technology Conference．Beijing：Chinese Association of Automation，2006：426－431（in Chinese）

［3］D Stewart．A platform with six degrees of freedom［J］．Proc．Inst．Mech．Engrs．，1965，180（15）：371－386

［4］Brown，Alan S．Six－axis positioner has nanoscale resolution［J］．Mechanical Engineering，2010，5（5）：19－19

［5］W Q D Do，D C H Yang．Inverse dynamic analysis and simulation of a platform type of robot［J］．Journal of Robotic Systems，1988，5（3）：209－227

［6］B Dasgupta，T S Mruthyunjaya．A newton－euler formulation for the inverse dynamics of the stewart platform manipulator［J］．Mech．Mach．Theory，1998，33（8）：1135－1152

［7］B Dasgupta，T S Mruthyunjaya．Closed－form dynamic equations of the general stewart platform through newton－euler approach［J］．Mech．Mach．Theory，1998，33（7）：993－1012

［8］Z Geng，L S Haynes，J D Lee，et al．The dynamic model and kinematic analysis of a class stewart platforms［J］．Robotics and Autonomous Systems，1992，9（4）：237－254

［9］黃真，趙永生，趙鐵石．高等空間機構學［M］．2版．北京：高等教育出版社，2014 Huang Zhen，Zhao Yongsheng，Zhao Tieshi．Advanced spatial mechanism［M］．2nd ed．Beijing：Higher Education Press，2014（in Chinese）

［10］薛定宇，陳陽泉．基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術與應用［M］．北京：清華大學出版社，2011 Xue Dingyu，ChenYangquan．System simulation technology and application based on MATLAB/Simulink［M］．Beijing：Tsinghua University Press，2011（in Chinese）

（編輯：李多）

Dynamic Analysis of a 6－DOF Micro－vibration Simulation Platform

ZHANG Puzhen1YANG Jianzhong1，2CONG Qiang1ZHANG Xiaodong1
（1Beijing Institute of Spacecraft System Engineering，Beijing 100094，China）
（2College of Aerospace Engineering，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China）

Based on the analysis of micro－vibration performance，a new method that the 6－PUS parallel mechanism is used as a micro－vibration simulator is presented to satisfy the demand of spacecraft＇s control moment gyroscope micro－vibration test．The analysis of 6－PUS parallel mechanism dynamics problem and the dynamic model between the force of the fixed platform and the power of the actuators are given based on the Newton－Euler approach．The comparison and analysis of simulation results of MATLAB and the required output prove the validity of the dynamics model，which has reference value for the study of dynamics and controls of similar micro－vibration simulators．

spacecraft；dynamics；parallel mechanism；micro－vibration；vibration simulation

TH112

A

10．3969/j．issn．1673－8748．2016．02．004

2015－12－01；

2016－01－13

國家重大科技專項工程

張樸真，男，碩士研究生，研究方向為航天器結構與機構。Email：zpz．1989@163．com。