高一三角函數(shù)求值問題解題技巧小結(jié)

鄒慧妤

摘 要：三角函數(shù)問題歷來(lái)是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一，它要求記憶的公式很多，公式之間的聯(lián)系又很緊密，學(xué)生只要一個(gè)環(huán)節(jié)學(xué)不好，在解題的過程中就會(huì)出現(xiàn)“短路”現(xiàn)象。同時(shí)，三角函數(shù)在高考中也占有非常重要的地位，常與向量、函數(shù)、不等式等知識(shí)結(jié)合，在高考中以選擇題、填空題和解答題的形式出現(xiàn)。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；求值；解題技巧

三角函數(shù)是高一數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，教學(xué)生學(xué)好這一塊知識(shí)尤為重要。在平時(shí)的教學(xué)過程中，筆者也發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在處理三角函數(shù)的有關(guān)習(xí)題時(shí)，存在許多小問題，有的是公式誤用，有的是計(jì)算失誤，有的是雖然做對(duì)了，但是方法很繁瑣。下面就針對(duì)三角函數(shù)求值的這一題型，談?wù)勊膸讉€(gè)解題技巧：

一、巧用勾股數(shù)，快速求三角函數(shù)值

任意角的三角函數(shù)公式告訴我們，若已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（x，y），則其正弦值sinα=■，余弦值cosα=■（其中r=■），正切tanα=■，（其中x≠0）。從公式中我們發(fā)現(xiàn)其實(shí)這里的三個(gè)數(shù)|x|，|y|，r恰好符合勾股定理，如果能靈活運(yùn)用這一性質(zhì)，再結(jié)合三角函數(shù)的符號(hào)，我們處理如下的題型就會(huì)比較方便、快速。

例1.已知sinα=-■，且α是第三象限角，求cosα，tanα.

分析：因?yàn)閟inα=■，而cosα=■，在此我們不妨認(rèn)為r=5，|y|=4，則|x|=3，又因?yàn)棣潦堑谌笙藿?，所以余弦取?fù)值，正切取正值，故很快知道cosα=-■，tanα=■。如果利用更一般的方法來(lái)做，可能很多學(xué)生會(huì)從角三角函數(shù)的基本關(guān)系來(lái)解，由于知道余弦為負(fù)值，故cosα=-■。對(duì)于數(shù)據(jù)比較簡(jiǎn)單的題目，兩種方法花費(fèi)的時(shí)間都差不多，但是若題中的數(shù)據(jù)比較大，又剛好可以用到勾股數(shù)時(shí)，巧用勾股數(shù)明顯會(huì)更省時(shí)。

二、巧用配湊法

在一些三角函數(shù)的求值問題中，有時(shí)會(huì)有一個(gè)題目中出現(xiàn)多個(gè)角的情況，這時(shí)就需要我們學(xué)會(huì)尋找目標(biāo)角與已知角、特殊角之間的關(guān)系，巧妙地配湊，而不是死算、硬算。

例2.已知（■+α）=5，求（■-α）的值。

分析：仔細(xì)觀察題中的兩個(gè)角易發(fā)現(xiàn)：（■+α）+（■-α）=π

解：∵（■+α）+（■-α）=π

∴tan（■-α）=tan[π-（■-α）]=-tan（■+α）=-5

例3.已知cosxcosy+sinxsiny=■，sin2x+sin2y=■，求sin（x+y）的值。

分析：在淡化和差化積、積化和差要求的前提下，讓學(xué)生解這樣的一道題，其實(shí)有一定的難度，很多學(xué)生看到這道題目會(huì)無(wú)從下手。在本題中，我們?nèi)菀字纁osxcosy+sinxsiny=cos（x-y）=■，而目標(biāo)是要求sin（x+y）的值，如果把這里的（x-y），（x+y）看成一個(gè)整體，除了這兩個(gè)角以外，還有2x，2y這兩個(gè)角，為了求解這道題，我們必須要想辦法找到這四個(gè)角之間的關(guān)系，其中（x+y）是必須保留的，于是我們就會(huì)想把2x，2y表示（x-y），（x+y）組合的形式，從而發(fā)現(xiàn)其實(shí)2x=（x+y）+（x-y），2y=（x+y）-（x-y），于是我們可以這樣解這道題：

解：∵sin2x+sin2y=■

∴sin[（x+y）+（x-y）]+sin[（x+y）-（x-y）]=■

即：sin（x+y）cos（x-y）+cos（x+y）sin（x-y）+sin（x+y）cos（x-y）-

cos（x+y）sin（x-y）=■

即：2sin（x+y）cos（x-y）=■

又∵cosxcosy+sinxsiny=cos（x-y）=■

∴sin（x+y）=■

三、靈活運(yùn)用“1”，利用奇次式求值

例4.已知tanα=2，求2sinαcosα+sin2α的值。

解法一：∵tanα=2>0

∴α為第一象限或第三象限角。

若α為第一象限角，

∵sin2α+cos2α=1，■=tanα=2

∴sinα=■，cosα=■

將其值代入上式有：2sinαcosα+sin2α=2×■×■+（■）2=2×■+■=■

解法二：2sinαcosα+sin2α=■

=■

=■=■=■

分析：從計(jì)算的過程來(lái)看，法二靈活運(yùn)用“1”，利用奇次式求值，明顯比法一更快、更簡(jiǎn)便.

當(dāng)然，三角函數(shù)在高考中的解題技巧非常多，本文只針對(duì)高一學(xué)生，列舉了一些常見的解題技巧。相信通過適當(dāng)?shù)挠?xùn)練，讓學(xué)生掌握一些解題技巧，對(duì)于提高學(xué)生的觀察能力、分析能力、想象力及學(xué)習(xí)興趣是有極大幫助的。