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    高一三角函數(shù)求值問題解題技巧小結(jié)

    2013-04-29 07:48:02鄒慧妤
    新校園·中旬刊 2013年7期
    關(guān)鍵詞:三角函數(shù)解題技巧

    鄒慧妤

    摘 要:三角函數(shù)問題歷來(lái)是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一,它要求記憶的公式很多,公式之間的聯(lián)系又很緊密,學(xué)生只要一個(gè)環(huán)節(jié)學(xué)不好,在解題的過程中就會(huì)出現(xiàn)“短路”現(xiàn)象。同時(shí),三角函數(shù)在高考中也占有非常重要的地位,常與向量、函數(shù)、不等式等知識(shí)結(jié)合,在高考中以選擇題、填空題和解答題的形式出現(xiàn)。

    關(guān)鍵詞:三角函數(shù);求值;解題技巧

    三角函數(shù)是高一數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,教學(xué)生學(xué)好這一塊知識(shí)尤為重要。在平時(shí)的教學(xué)過程中,筆者也發(fā)現(xiàn),學(xué)生在處理三角函數(shù)的有關(guān)習(xí)題時(shí),存在許多小問題,有的是公式誤用,有的是計(jì)算失誤,有的是雖然做對(duì)了,但是方法很繁瑣。下面就針對(duì)三角函數(shù)求值的這一題型,談?wù)勊膸讉€(gè)解題技巧:

    一、巧用勾股數(shù),快速求三角函數(shù)值

    任意角的三角函數(shù)公式告訴我們,若已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x,y),則其正弦值sinα=■,余弦值cosα=■(其中r=■),正切tanα=■,(其中x≠0)。從公式中我們發(fā)現(xiàn)其實(shí)這里的三個(gè)數(shù)|x|,|y|,r恰好符合勾股定理,如果能靈活運(yùn)用這一性質(zhì),再結(jié)合三角函數(shù)的符號(hào),我們處理如下的題型就會(huì)比較方便、快速。

    例1.已知sinα=-■,且α是第三象限角,求cosα,tanα.

    分析:因?yàn)閟inα=■,而cosα=■,在此我們不妨認(rèn)為r=5,|y|=4,則|x|=3,又因?yàn)棣潦堑谌笙藿?,所以余弦取?fù)值,正切取正值,故很快知道cosα=-■,tanα=■。如果利用更一般的方法來(lái)做,可能很多學(xué)生會(huì)從角三角函數(shù)的基本關(guān)系來(lái)解,由于知道余弦為負(fù)值,故cosα=-■。對(duì)于數(shù)據(jù)比較簡(jiǎn)單的題目,兩種方法花費(fèi)的時(shí)間都差不多,但是若題中的數(shù)據(jù)比較大,又剛好可以用到勾股數(shù)時(shí),巧用勾股數(shù)明顯會(huì)更省時(shí)。

    二、巧用配湊法

    在一些三角函數(shù)的求值問題中,有時(shí)會(huì)有一個(gè)題目中出現(xiàn)多個(gè)角的情況,這時(shí)就需要我們學(xué)會(huì)尋找目標(biāo)角與已知角、特殊角之間的關(guān)系,巧妙地配湊,而不是死算、硬算。

    例2.已知(■+α)=5,求(■-α)的值。

    分析:仔細(xì)觀察題中的兩個(gè)角易發(fā)現(xiàn):(■+α)+(■-α)=π

    解:∵(■+α)+(■-α)=π

    ∴tan(■-α)=tan[π-(■-α)]=-tan(■+α)=-5

    例3.已知cosxcosy+sinxsiny=■,sin2x+sin2y=■,求sin(x+y)的值。

    分析:在淡化和差化積、積化和差要求的前提下,讓學(xué)生解這樣的一道題,其實(shí)有一定的難度,很多學(xué)生看到這道題目會(huì)無(wú)從下手。在本題中,我們?nèi)菀字纁osxcosy+sinxsiny=cos(x-y)=■,而目標(biāo)是要求sin(x+y)的值,如果把這里的(x-y),(x+y)看成一個(gè)整體,除了這兩個(gè)角以外,還有2x,2y這兩個(gè)角,為了求解這道題,我們必須要想辦法找到這四個(gè)角之間的關(guān)系,其中(x+y)是必須保留的,于是我們就會(huì)想把2x,2y表示(x-y),(x+y)組合的形式,從而發(fā)現(xiàn)其實(shí)2x=(x+y)+(x-y),2y=(x+y)-(x-y),于是我們可以這樣解這道題:

    解:∵sin2x+sin2y=■

    ∴sin[(x+y)+(x-y)]+sin[(x+y)-(x-y)]=■

    即:sin(x+y)cos(x-y)+cos(x+y)sin(x-y)+sin(x+y)cos(x-y)-

    cos(x+y)sin(x-y)=■

    即:2sin(x+y)cos(x-y)=■

    又∵cosxcosy+sinxsiny=cos(x-y)=■

    ∴sin(x+y)=■

    三、靈活運(yùn)用“1”,利用奇次式求值

    例4.已知tanα=2,求2sinαcosα+sin2α的值。

    解法一:∵tanα=2>0

    ∴α為第一象限或第三象限角。

    若α為第一象限角,

    ∵sin2α+cos2α=1,■=tanα=2

    ∴sinα=■,cosα=■

    將其值代入上式有:2sinαcosα+sin2α=2×■×■+(■)2=2×■+■=■

    解法二:2sinαcosα+sin2α=■

    =■

    =■=■=■

    分析:從計(jì)算的過程來(lái)看,法二靈活運(yùn)用“1”,利用奇次式求值,明顯比法一更快、更簡(jiǎn)便.

    當(dāng)然,三角函數(shù)在高考中的解題技巧非常多,本文只針對(duì)高一學(xué)生,列舉了一些常見的解題技巧。相信通過適當(dāng)?shù)挠?xùn)練,讓學(xué)生掌握一些解題技巧,對(duì)于提高學(xué)生的觀察能力、分析能力、想象力及學(xué)習(xí)興趣是有極大幫助的。

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