例析高考數(shù)學(xué)選擇題的解題方法與技巧

馬多濂

高考數(shù)學(xué)選擇題占總分值的五分之二，其解答特點(diǎn)是“四選一”，怎樣才能快速、準(zhǔn)確、無(wú)誤地選擇好這個(gè)“一”呢？選擇題和其它題型相比，解題思路和方法有著一定的區(qū)別，原因在于它有與其它題型明顯不同的特點(diǎn)：①立意新穎、構(gòu)思精巧、迷惑性強(qiáng)，題材內(nèi)容相關(guān)相近、真假難分；②技巧性高、靈活性大、概念性強(qiáng)，題材內(nèi)容多變、解法奇特；③知識(shí)面廣、跨度較大、切入點(diǎn)多、綜合性強(qiáng).因此，只要抓住了選擇題的如上特點(diǎn)，就能很好的完成選擇題的解答.本文例析解答選擇題的幾種方法，以期對(duì)大家有所幫助.

一、直接法

直接從題目條件出發(fā)，運(yùn)用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識(shí)，通過(guò)嚴(yán)密推理和準(zhǔn)確計(jì)算，從而得出正確結(jié)論，然后對(duì)照題目所給出的選擇支“對(duì)號(hào)入座”.涉及概念、性質(zhì)的辨析或運(yùn)算較簡(jiǎn)單的題目，常用此法.

例1 關(guān)于函數(shù)f（x）=sin2x-（23）|x|+12，看下面四個(gè)結(jié)論： ①f（x）是奇函數(shù)；

②當(dāng)x>2015時(shí)，f（x）>12恒成立； ③f（x）的最大值是32； ④f（x）的最小值是-12.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）.

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

解析 f（x）=sin2x-（23）|x|+12=1-cos2x2-（23）|x|+12=1-12cos2x-（23）|x|

∴f（x）為偶函數(shù)，①錯(cuò).∵當(dāng)x=1000π時(shí)，x>2015， sin21000π=0，

∴f（1000π）=12-（23）1000π<12，②錯(cuò).又∵-1≤cos2x≤1，∴12≤1-12cos2x≤32，從而1-12cos2x-（23）|x|<32，③錯(cuò).又∵sin2x≥0，-（23）|x|≥-1，∴f（x） ≥-12，

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，可知④正確.故應(yīng)選A.

題后反思 直接法是解答選擇題最常用的基本方法，中、低檔選擇題可用此法迅速求解，直接法運(yùn)用的范圍很廣，只要運(yùn)算正確必能得到正確答案.

二、特例法

也稱(chēng)特值法、特形法，就是運(yùn)用滿(mǎn)足題設(shè)條件的某些特殊值、特殊關(guān)系或特殊圖形對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)或推理，從而得到正確選項(xiàng)的方法，常用的特例法有特殊的數(shù)值、數(shù)列、函數(shù)、圖形、角、位置等.

例2 設(shè)函數(shù)f（x）=2-x-1，x≤0

x（1/2），x>0，若f（x0）>1，則x0的取值范圍為（ ）.

A.（-1，1） B.（-1，+∞）

C.（-∞，-2）∪（0，+∞）

D.（-∞，-1）∪（1，+∞）

解析 ∵f（12）=22<1， ∴12不符合題意，∴排除選項(xiàng)A、B、C，故應(yīng)選D.

圖1例3 已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d的圖像如圖1所示，則b的取值范圍是（ ）.

A.（-∞，0） B.（0，1）

C.（1，2） D.（2， +∞）

解析 設(shè)函數(shù)f（x）=x（x-1）（x-2）=x3-3x2+2x.此時(shí)a=1， b=-3， c=2， d=0. 故應(yīng)選A.

題后反思 這類(lèi)題目若是腳踏實(shí)地來(lái)求解，不僅運(yùn)算量大，而且很容易出錯(cuò)，但通過(guò)選擇特殊值進(jìn)行運(yùn)算，則既快又準(zhǔn).當(dāng)然，所選值必須滿(mǎn)足已知條件.

三、排除法

排除法也叫篩選法或淘汰法，使用排除法的前提條件是答案唯一，具體做法是采用簡(jiǎn)捷有效的手段對(duì)各個(gè)備選答案進(jìn)行“篩選”，將其中與題干相矛盾的干擾支逐一排除，從而獲得正確結(jié)論.

例4 直線ax-y+b=0與圓x2+y2-2ax+2by=0的圖像可能是（ ）.

解析 由圓的方程知圓必過(guò)原點(diǎn)，∴排除A、C選項(xiàng).因圓心為（a，-b），由B、D兩圖中的圓可知a>0，-b>0.而直線方程可化為y=ax+b，故應(yīng)選B.

題后反思 用排除法解選擇題的一般規(guī)律是：①對(duì)于干擾支易于淘汰的選擇題，可采用排除法，能剔除幾個(gè)就先剔除幾個(gè)；②允許使用題干中的部分條件淘汰選擇支；③如果選擇支中存在等效命題，因答案唯一，故等效命題應(yīng)該同時(shí)排除；④如果選擇支存在兩個(gè)相反的或互不相容的，則其中至少有一個(gè)是假的；⑤如果選擇支之間存在包含關(guān)系，須據(jù)題意定結(jié)論.

四、驗(yàn)證法

又叫代入法，就是將各個(gè)選擇支分別代入條件去驗(yàn)證命題，能使命題成立的就是應(yīng)選答案.

例5 在下列四個(gè)函數(shù)中，滿(mǎn)足性質(zhì)：“對(duì)于區(qū)間（1，2）上的任意x1，x2（x1≠x2），|f（x1）-f（x2）|<|x1-x2|恒成立”的只有（ ）.

A.f（x）=1x B.f（x）=|x|

C.f（x）=2x D. f（x）=x2

解析 當(dāng)f（x）=1x時(shí)，|f（x1）-f（x2）||x1-x2|=1|x1x2|<1. ∴|f（x1）-f（x2）|<|x1-x2|恒成立. 故選A.

例6 若圓x2+y2=r2 （r>0）上恰有相異兩點(diǎn)到直線4x-3y+25=0的距離等于1，則r的取值范圍是（ ）.

A.[4，6] B.[4，6） C.（4，6] D.（4，6）

解析 圓心到直線4x-3y+25=0的距離為5，則當(dāng)r=4時(shí)，圓上只有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，當(dāng)r=6時(shí)，圓上有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，故應(yīng)選D.

題后反思 代入驗(yàn)證法適用于題設(shè)復(fù)雜、結(jié)論簡(jiǎn)單的選擇題，這里把選項(xiàng)代入驗(yàn)證，若第一個(gè)恰好滿(mǎn)足題意就沒(méi)有必要繼續(xù)驗(yàn)證了，大大提高了解題速度.

五、數(shù)形結(jié)合法

“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，對(duì)于一些具體幾何背景的數(shù)學(xué)題，如能構(gòu)造出與之相應(yīng)的圖形進(jìn)行分析，則能在數(shù)形結(jié)合、以形助數(shù)中獲得形象直觀的解法.

例7 若函數(shù)y=f（x） （x∈R）滿(mǎn)足f（x+2）=f（x）， 且x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=|x|，則函數(shù)y=f（x） （x∈R）的圖像與函數(shù)y=log3|x|的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.無(wú)數(shù)個(gè)

圖2解析 如圖2，在同一直角坐標(biāo)系中，做出函數(shù)y=f（x）及y=log3|x|的圖像，由圖像可得其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4個(gè)，故選C.

例8 設(shè)函數(shù)f（x）=2-x-1，x≤0，

x1/2，x>0.若f（x0）>1，則x0的取值范圍為（ ）.

A.（-1，1）

B. （-∞，-2）∪（0，+∞）

C.（-1，+∞）

D. （-∞，-1）∪（1，+∞）

圖3解析 如圖3，在同一直角坐標(biāo)系中，做出題設(shè)函數(shù)f（x） 和直線y=1的圖像，它們相交于（-1，1）和（1，1）兩點(diǎn)，則要使f（x0）>1，只要x0<-1或x0>1. 故選D.

題后反思 這種數(shù)形結(jié)合的解題策略，在解答有些選擇題時(shí)非常簡(jiǎn)便有效，但一定要熟悉有關(guān)函數(shù)圖像、方程曲線、幾何圖形等，否則錯(cuò)誤的圖像反會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)選.

六、邏輯分析法

分析法就是根據(jù)結(jié)論的要求，通過(guò)對(duì)題干和選擇支的關(guān)系進(jìn)行觀察分析、尋求充分條件，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而做出正確判斷的一種方法.分析法可分為定性分析法和定量分析法.

例9 若定義在區(qū)間（-1，0）內(nèi)的函數(shù)f（x）=log2a（x+1）滿(mǎn)足f（x）>0，則a的取值范圍是（ ）.

A.（0，12） B.（0， 12]

C.（12，+∞） D.（0， +∞）

解析 要使f（x）>0成立，只要2a和x+1同時(shí)大于1或同時(shí)小于1成立，

當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，x+1∈（0，1），則2a∈（0，1），故選A.

題后反思 分析法對(duì)能力要求較高，在解題過(guò)程中須保持平和心態(tài)，仔細(xì)分析，認(rèn)真驗(yàn)證.

七、極端值法

從有限到無(wú)限，從近似到精確，從量變到質(zhì)變，應(yīng)用極端值法解決某些問(wèn)題，可以避開(kāi)抽象、復(fù)雜的運(yùn)算，降低難度，優(yōu)化解題過(guò)程.

例10 對(duì)任意θ∈（0，π2），都有（ ）.

A.sin（sinθ）

B.sin（sinθ）>cosθ>cosθ（cosθ）

C.sin（cosθ）

D.sin（cosθ）

解析 當(dāng)θ→0時(shí)，sin（sinθ）→0， cosθ→1，cosθ（cosθ）→cos1， 故排除A、B；當(dāng)θ→π2， cos（sinθ）→cos1， cosθ→0， 故排除C， ∴選D.

例11 設(shè)a=sinα+cosα， b=sinβ+cosβ，且0<α<β<π4， 則（ ）.

A.a

B.a

C.a

D.a2+b22

解析 ∵0<α<β<π4，若令α→0，則a→1，b→2，a2+b22→32，易知：1<1.5<2<1.5.∴應(yīng)選A.

題后反思 有一類(lèi)比較大小的問(wèn)題，使用常規(guī)方法難以奏效（或過(guò)于繁雜），又無(wú)特殊值可取，在這種情況下，取極限往往會(huì)收到意想不到的效果.

八、估值法

由于選擇題提供了唯一正確的選擇支，解答又無(wú)需過(guò)程，因此可通過(guò)猜測(cè)、合情推理、估算而獲得答案，這樣往往可以減少運(yùn)算量，避免“小題大做”.