二項式定理在遺傳學(xué)問題中的應(yīng)用

蔡秀清 劉進平 莊南生

摘 要 分析大學(xué)遺傳學(xué)教學(xué)中有關(guān)二項式定理在解決遺傳學(xué)問題方面的相關(guān)內(nèi)容，將問題分類并解答示范，為加深學(xué)生對該內(nèi)容的理解和掌握，以及教師的課堂教學(xué)提供幫助和參考。

關(guān)鍵詞 二項式定理 ；遺傳學(xué)問題 ；遺傳學(xué)教學(xué)

中圖分類號 G634.91

Abstract The application of the binomial theorem in solving the problem in genetics is discussed and demonstrated. Teaching with the contents in this article will deepen students' understanding of genetics and it will thus provide a reference for teachers' teaching.

Key words binomial theorem ； genetics problem ； genetics teaching

遺傳學(xué)是生物學(xué)、生物技術(shù)、醫(yī)學(xué)、農(nóng)學(xué)、林學(xué)、園藝、植物保護、畜牧獸醫(yī)等專業(yè)的一門重要專業(yè)基礎(chǔ)課，學(xué)生普遍反映是最難學(xué)習(xí)和掌握的一門課程。不少遺傳學(xué)問題的解決不僅需要縝密的推理和思考，而且往往需要利用一定的數(shù)學(xué)知識，尤其是概率論和統(tǒng)計學(xué)知識，這對于不少學(xué)生來說較為吃力，其中有關(guān)二項式定理的應(yīng)用就是如此。筆者在教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，該內(nèi)容在經(jīng)典遺傳學(xué)教學(xué)中不僅是一個重點，也是一個難點。

二項式定理是指事件以穩(wěn)定的概率進行重復(fù)試驗時，如果事件A的概率為p，另一事件B的概率為q，p+q=1，那么，在n次試驗中，事件A出現(xiàn)r次，事件B出現(xiàn)n-r次的概率為[n！/r?。╪-r）！]prqn-r。以下就遺傳學(xué)中有關(guān)二項式定理應(yīng)用方面的一些問題進行論述。

1 嬰兒性別與拋硬幣問題

在出生嬰兒性別問題方面，盡管每一次嬰兒出生時，可能是男孩或女孩的概率均為1/2，但具體某次出生嬰兒性別不受以前或以后出生嬰兒性別的影響，即連續(xù)出生嬰兒性別問題是相互獨立的事件，相當(dāng)于重復(fù)試驗；另外，通常要么是男孩，要么是女孩，不可能出現(xiàn)兩性人。在嬰兒性別分布問題上，可以使用二項式定理。

問題1：有一對夫婦，希望男孩女孩至少各有一個。如果他們有4個孩子，能夠滿足這種愿望的概率是多少？

在這個問題中，p=1/2，q=1/2，n=4，r=男孩出生的個數(shù)，n-r=女孩出生的個數(shù)。在4個孩子中的性別分布問題上，有4個全是男孩、3男1女，2男2女，1男3女，全是女孩5種可能性，其概率分別為（1/2）4、（4！/3！1?。?/2）3（/2）1、（4！/2！2?。?/2）2（1/2）2、（4！/1！3?。?/2）1（1/2）3、（1/2）4、因而能夠滿足“男孩女孩至少各有一個”這種愿望的概率為1-（1/2）4-（1/2）4=7/8，或 （4！/3！1?。?/2）3（/2）1+（4！/2！2！）（1/2）2（1/2）2+（4！/1！3?。?/2）1（1/2）3=7/8。

此外，硬幣向上拋若干次后，正面朝上與反面朝上的概率也可利用二項式定理。這種情況下，每次拋擲正面朝上與反面朝上的概率都等于1/2，也就是說p=q=1/2，連續(xù)拋擲次數(shù)為n，r=正面朝上次數(shù)，n-r=反面朝上次數(shù)，代入二項式定理即得。

2 雜種后代F2群體中基因型分布問題

在完全顯性的情況下，雜種后代F2群體中基因型分布問題也可以使用二項式定理來解決，因為每一對雜合基因在形成配子，產(chǎn)生帶有顯性基因的配子與隱性基因的配子的概率均為1/2，而多對基因組合相當(dāng)于獨立的重復(fù)事件。解決此類問題時，顯性基因出現(xiàn)的概率p=1/2，隱性基因出現(xiàn)的概率q=1/2，n=雜種基因的個數(shù)，r=顯性基因出現(xiàn)的個數(shù)，n-r=隱性基因出現(xiàn)的個數(shù)。另外，由于在測雜后代中顯性個體與隱性個體出現(xiàn)的概率也均為1/2，所以也可應(yīng)用于預(yù)測Ft群體中的表現(xiàn)型分布問題。

問題2：試問雜種AaBbCc的F2群體中，4個顯性基因與2個隱性基因的基因型個體出現(xiàn)的頻率是多少？

在這個問題中，p=1/2，q=1/2，n=6，r=4，n-r=2，所以4個顯性基因與2個隱性基因的基因型個體出現(xiàn)的頻率為（6！/4！2！）（1/2）4（1/2）2，即等于15/64。

3 雜種后代F2群體中表現(xiàn)型的分布問題

同樣，在完全顯性的情況下，雜種后代F2群體中表現(xiàn)型分布問題也可以使用二項式定理來解決，只不過由于每一對基因F2代產(chǎn)生的顯隱性表現(xiàn)型比例為（3/4）：（1/4），多對基因組合產(chǎn)生的表現(xiàn)型組合相當(dāng)于多次重復(fù)試驗，所以p=3/4，q=1/4，n=雜合基因的對數(shù)，r=顯性性狀出現(xiàn)的個數(shù)，n-r=隱性性狀出現(xiàn)的個數(shù)。

問題3：試問雜種AaBbCc的F2群體中，2個顯性性狀與1個隱性性狀的表現(xiàn)型個體出現(xiàn)的頻率是多少？

該問題中，p=3/4，q=1/4，n=3，r=2，n-r=1，所以2個顯性性狀與1個隱性性狀的表現(xiàn)型個體出現(xiàn)的頻率為（3！/2！1！）（3/4）2（1/4）1，即等于27/64。

問題4：豌豆豆莢中平均包含7粒豆子，圓粒對皺粒為顯性，圓粒雜合體植株自花授粉后代中，豆莢中全部都是圓粒的概率是多少？5個圓粒2個皺粒的概率是多少？

該問題實質(zhì)與雜種后代F2群體中表現(xiàn)型分布問題類似。因此，豆莢中全部都是圓粒的概率是（3/4）7=2 187/16 384或13.5 %；5個圓粒2個皺粒的概率是（7！/5！×2?。（3/4）5（1/4）2]= 31.2 %。

4 三倍體的結(jié)實率問題

在三倍數(shù)體性母細胞減數(shù)分裂時，3個一組的同源染色體在前期聯(lián)會時，形成一個二價體與一個單價體；單價體隨機趨向一極，而二價體可正常分離，分別趨向兩極，因而形成二倍體配子與單倍體配子的概率均為1/2，產(chǎn)生平衡二倍體配子與單倍體配子的概率均為 （1/2）（2n/3）。因而三倍體并非絕對無籽，只是結(jié)實率極低而已。

問題5：食用西瓜二倍體為2n=22，為什么稱三倍體西瓜為無籽西瓜，是否絕對沒有種子？

三倍體西瓜結(jié)實率很低，所以稱無籽西瓜，原因同上。但其結(jié)實率為[（1/2）11+（1/2）11]2=1/220，因而不是絕對沒有種子。

5 非整倍體雜交后代的基因型或表現(xiàn)型頻率問題

非整倍體如三體的基因型有三式（AAA）、復(fù)式（AAa）、單式（Aaa）和零式（aaa）4種，其中雜合基因型AAa和Aaa在以染色體隨機分離的情況下，產(chǎn)生的配子比例為6AA：8Aa：1aa：10A：5a和1AA：8Aa：6aa：5A：10a。四體的基因型有四式（AAAA）、三式（AAAa）、復(fù)式（AAaa）、單式（Aaaa）和零式（aaaa）5種，雜合基因型AAAa、AAaa和Aaaa在染色體隨機分離的情況下，產(chǎn)生的配子比例分別為1AA：1Aa、1AA：4Aa：1aa和1Aa：1aa。它們的自交與雙體測交中基因型或表現(xiàn)型的分布也可用二項式定理計算。

問題6：已知某植物四體AAaa中，A對a為顯性，A-a基因按染色體隨機分離，用它與aa雙體雜交，問在雜交子代任意5株[A]表型的植株中，2株為復(fù)式基因型的概率為多少？

已知某植物四體AAaa產(chǎn)生配子比類及種類為：1AA：4Aa：1aa（按染色體隨機分離），與雙體aa雜交產(chǎn)生[A]表型的植株中，復(fù)式基因型與單式基因型比例為：1AAa：4Aaa。因而雜交子代任意5株[A]表型的植株中，2株為復(fù)式基因型的概率為：C52（1/5）2（4/5）3 =128/375。