《4.2證明（一》教學(xué)案例

張利芬

摘要：本節(jié)是探索證明（文字組成）的基本格式，課本通過觀察、操作，說明學(xué)習(xí)證明的必要性，探索文字組成的命題的證明格式和由幾何圖形組成命題的證明的聯(lián)系，并突出研究了由純粹文字組成的命題的證明。

關(guān)鍵詞：證明；格式；聯(lián)系

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）05-0106

一、教學(xué)課程

九年制義務(wù)教育八年級(jí)數(shù)學(xué)（浙教版）下冊(cè)第四章第二節(jié)“證明”第一課時(shí)。

1. 學(xué)習(xí)方式

本節(jié)是探索證明（文字組成）的基本格式，課本通過觀察、操作，說明學(xué)習(xí)證明的必要性，探索文字組成的命題的證明格式和由幾何圖形組成命題的證明的聯(lián)系，并突出研究了由純粹文字組成的命題的證明。在本節(jié)的設(shè)計(jì)中，充分體現(xiàn)了學(xué)生觀察、猜測(cè)、歸納的作用，用轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)研究由純粹文字組成命題的證明的格式，使學(xué)生明確證明的格式。

2. 學(xué)生任務(wù)分析

充分利用教科書提供的素材和活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生從事觀察、測(cè)量、折疊、平移、旋轉(zhuǎn)、推理證明等活動(dòng)，幫助學(xué)生有意識(shí)地積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，獲得成功的體驗(yàn)。教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦和交流，充分展示“觀察、操作——猜想、探索——說理（有條理地表達(dá)）”的過程，使學(xué)生能在直觀的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)說理，體現(xiàn)合情推理和演繹推理的融合，促進(jìn)學(xué)生形成科學(xué)地、能動(dòng)地認(rèn)識(shí)世界的良好品質(zhì)。

3. 學(xué)生的認(rèn)識(shí)起點(diǎn)分析

學(xué)生已具備觀察問題和分析問題的能力，學(xué)生通過前面的學(xué)習(xí)，如公理、定理、定義等認(rèn)識(shí)了推理的依據(jù)，積累了一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。特別是說明幾何命題成立的理由，為這節(jié)課打下了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

4. 教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與能力目標(biāo)：通過一些簡單命題的證明，初步訓(xùn)練學(xué)生的邏輯推理能力；通過證明步驟中由命題畫出圖形，寫出已知、求證的過程，繼續(xù)訓(xùn)練學(xué)生由幾何語句正確畫出幾何圖形的能力。

過程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷觀察、猜想的偏差，體驗(yàn)證明的必要性；通過實(shí)例，說明推理過程中要步步有據(jù)。

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：體驗(yàn)證明的必要性，理解證明的作用。

5. 教學(xué)重點(diǎn)

證明的含義及證明的基本格式——畫、寫、證。

6. 教學(xué)難點(diǎn)

探索純粹由文字組成的命題的證明的基本格式。

教學(xué)過程：創(chuàng)設(shè)情景，引入新課

導(dǎo)入：我們通常用眼睛觀察世界，人們常說“耳聽為虛，眼見為實(shí)”，是真的嗎？

“考一考眼力”：如圖，線條a、b是直線還是曲線？

師：直觀判斷結(jié)論如何？操作驗(yàn)證結(jié)論又如何？有什么體會(huì)？

觀察得到的結(jié)論不一定正確。

【教法說明】通過本環(huán)節(jié)，讓學(xué)生觀察圖形，得出結(jié)論，發(fā)現(xiàn)眼見不一定為實(shí)，這就需要我們對(duì)此進(jìn)行驗(yàn)證，從幾何方面說明推理的必要性。

“考一考耐力”：當(dāng)n=0，1，2，3時(shí)，代數(shù)式-n2+2n+11的值分別是11，12，11，8，它們都是正數(shù)，那么，命題“當(dāng)n=4時(shí)，代數(shù)式-n2+2n+11的值是正數(shù)”及“當(dāng)n≥4時(shí)，代數(shù)式-n2+2n+11的值都是正數(shù)”和“當(dāng)n≥5時(shí)，代數(shù)式-n2+2n+11的值都是負(fù)數(shù)”真命題，對(duì)此你是怎么想的？

簡單歸納所得結(jié)論也不一定正確。

【教法說明】本環(huán)節(jié)設(shè)置，是為了讓學(xué)生嘗試檢驗(yàn)得出一些值，并進(jìn)行猜想，得出猜想不一定正確，此時(shí)就有必要驗(yàn)證說明，但是由于數(shù)的概念，不能一一進(jìn)行驗(yàn)證，這時(shí)就需要引出證明。這是從代數(shù)方面說明推理的必要性。

可見，對(duì)觀察和猜想歸納得到的結(jié)論要進(jìn)行進(jìn)一步的證實(shí)，怎樣證實(shí)呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——4.2證明（一）（板書）

二、新課

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，你用過證明嗎？請(qǐng)舉例說明。

比如：已知：如圖，∠1+∠2=180°，說明a∥b成立的理由。

解：∵∠1+∠2=180°（已知）

∠2+∠3=180°（平角的定義）

∴ ∠1=∠3（同角的補(bǔ)角相等）

∴ a∥b（同位角相等，兩直線平行）

可見，要判斷一個(gè)命題是真命題，往往要從命題的條件出發(fā)，根據(jù)已有的定義、定理、公理，一步一步推得結(jié)論成立，這樣的推理過程叫做證明。

【教法說明】通過上面這個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)置，主要是為了讓學(xué)生回顧以前所學(xué)的知識(shí)，讓他們了解本節(jié)課與前面所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，以便更好的理解證明的含義和書寫證明過程的格式。同時(shí)讓學(xué)生明白說理時(shí)要以定義，定理和公理為依據(jù)，進(jìn)行一步一步得出結(jié)論成立，從而提出了證明的含義。

認(rèn)識(shí)了證明之后，在以后的解題中就把“說明什么成立的理由”，寫成“求證什么”，把“解”寫成“證明”。

想一想：從直觀上看，命題“兩直線平行，同位角相等”與上述命題的不同點(diǎn)？你能把這個(gè)命題轉(zhuǎn)化為上述命題的形式嗎？

【教法說明】讓學(xué)生在比較中，了解說明文字命題的真假，讓學(xué)生對(duì)證明的基本書寫格式有一個(gè)感性的認(rèn)識(shí)，為下面例題的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

分析命題的條件和結(jié)論，畫出圖形，用數(shù)學(xué)語言寫出已知和求證。

“兩直線平行，同位角相等”

練習(xí)：畫出和寫出命題“在同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊”的圖形、已知和求證。

純粹由文字語言組成的命題應(yīng)如何證明呢？

例1. 證明“一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，且方向相同，則這兩個(gè)角相等”是真命題。

學(xué)生活動(dòng)：由學(xué)生分組討論以上命題的證明過程，按自己的理解說出證明一個(gè)命題都需要哪幾步。

在總結(jié)步驟時(shí)，學(xué)生所說的層次邏輯性不強(qiáng)，或不太嚴(yán)密，教師要注意引導(dǎo)，使學(xué)生分清命題證明幾個(gè)步驟的先后層次。

根據(jù)學(xué)生討論，回答結(jié)果。教師歸納小結(jié)，師生共同得出證明命題的步驟（出示投影）：

第一步，畫出命題的圖形。

先根據(jù)命題的題設(shè)即已知條件，畫出圖形，再把命題的結(jié)論即求證的內(nèi)容在圖上標(biāo)出，還要根據(jù)證明的需要，在圖上標(biāo)出必要的字母或符號(hào)，以便于敘述或推理過程的表達(dá)。

第二步，結(jié)合圖形寫出已知、求證。

把命題的題設(shè)化為幾何符號(hào)的語言寫在已知中，命題的結(jié)論轉(zhuǎn)化為幾何符號(hào)的語言寫在求證中。

第三步，經(jīng)過分析，找出由已知推得求證的途徑，寫出推理的過程。

例2. 已知：如圖，AC與BD交于點(diǎn)O，AO=CO，BO=DO，說明AB∥CD的理由

【教法說明】通過這個(gè)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生明白當(dāng)一個(gè)幾何命題已經(jīng)包含相應(yīng)的圖形，已知和求證，則只需在表述中寫出推理過程。同時(shí)，要注意證明時(shí)要做到步步有據(jù)。

三、練習(xí)

練習(xí)1：證明命題“兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么同位角也相等”是真命題。

學(xué)生活動(dòng)；獨(dú)立作業(yè)，同桌交流，作業(yè)展示，評(píng)價(jià)修正，證明應(yīng)注意什么？

練習(xí)2：已知：如圖，BC⊥AC于點(diǎn)C，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠EBC=∠A，求證：BE∥CD獨(dú)立作業(yè)，你是怎樣思考的？作業(yè)展評(píng)修正。

練習(xí)3：證明：“當(dāng)n≥5時(shí)，代數(shù)式-n2+2n+11的值都是負(fù)數(shù)”是真命題。

四、課堂小結(jié)

今天我們學(xué)習(xí)了證明，請(qǐng)你談?wù)勀愕捏w會(huì)與收獲？

補(bǔ)充練習(xí)：完成下列證明，并在括號(hào)內(nèi)填寫理由：

已知：如圖，AB∥DE，∠1=∠2

求證：AE ∥DC

證明：∵ AB ∥DE （ ）

∴∠1=∠AED （ ）

∵∠1=∠2 （ ）

∴∠___=∠___ （ ）

∴ AE∥DC（ ）

1. 分析下列命題的條件和結(jié)論，畫出圖形，寫出已知和求證全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線相等。

2. 如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，若AC=BD，AO=BO，求證：AB∥CD

五、作業(yè)布置：必做題：作業(yè)本（1）書上A組2，3題

選做題：書上B組4題，5題

六、板書設(shè)計(jì)：4.2證明（1）

1. 證明的格式：

（1）畫出符合題意的圖形

（2）分析命題的條件和結(jié)論，

在“已知”中寫出條件，在“求證“中寫出結(jié)論。

（3）在“證明”中寫出推理過程注意點(diǎn)：證明時(shí)要做到步步有據(jù)。

2. 思想：轉(zhuǎn)化思想。

（作者單位：浙江省瑞安市場(chǎng)橋中學(xué) 325200）