小概率事件的原理及應用

李昀鴻

摘 要：小概率事件原理是概率論與數理統(tǒng)計這門學科中的一個基本原理。然而正確理解小概率事件的原理及其推斷方法，并能辯證地分析、處理、應用小概率事件對人們的生活有著非凡的實際意義。本文主要是圍繞小概率事件及其應用展開相關研究與討論：首先，對概率論的起源以及小概率事件的定義、原理進行闡釋與推理；其次，對小概率事件原理與小概率事件推斷方法進行了較為詳細的介紹與歸納，并闡述了小概率事件 與不可能事件 之間的區(qū)別與聯(lián)系；最后，本研究針對生活與生產實踐中的小概率事件作了深層次的說明，并結合實例，在深刻剖析小概率事件原理及其在實踐中應用的基礎上，對小概率事件原理的實用價值與實踐意義做了詳細闡述，并為人們加深對小概率事件的科學認識與有效把握與采取正確、合理的態(tài)度來對待小概率事件提出了一些參考建議。

關鍵詞：小概率事件 假設檢驗 統(tǒng)計推斷

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2016）06（a）-0000-00

1 緒論

小概率事件又被稱作為"黑天鵝”事件，是指就理論而言由事件存在發(fā)生的條件與可能性，但在現(xiàn)實情況下，事件發(fā)生的可能性很小，小到幾乎可以忽略不計。在我們的現(xiàn)實生活中，到處都存在著小概率事件，只是因為其發(fā)生的可能性小，從而不易引起我們的注意?；趯π「怕适录@種在理論上可能發(fā)生，而現(xiàn)實中又幾乎可以認為它不可能發(fā)生的認知，不少人經常會對小概率事件持著兩種完全相反的立場：一種是徹底忽略小概率事件，就把它劃歸于不可能事件來處理；另一種則是承認小概率事件的存在，終日提心吊膽。對于有些人來講，大概一輩子也碰不到一次，但也有那么一些人可能多次碰到。比如前幾年的四川地震，在汶川大地震后，過了五年，四川蘆山又發(fā)生了大地震，使得兩個地域交界的居民在短短的幾年內接連受到兩次特大地震的影響。從這個例子可以看出，小概率事件很是很難發(fā)生一次，但是我們不能忽視小概率事件會發(fā)生的這一事實，而且一般而言，小概率事件一旦發(fā)生其引發(fā)的反響都不小。

事實上，在概率論與數理統(tǒng)計的研究范圍領域中，對小概率事件的存在與發(fā)生已經有了科學且嚴謹的認識與論述。在前人研究的基礎上，本文嘗試利用辯證思維方法對小概率事件及其原理進行闡釋，并通過實例如工、農業(yè)生產中存在的質量管理問題，醫(yī)學中的醫(yī)療效果推斷問題，運動員比賽狀態(tài)推斷問題以及保險管理中的危險事件發(fā)生概率推斷問題等，來說明小概率事件在現(xiàn)實生活中的重要意義與價值，以期加深人們對小概率事件的科學認識與有效把握，進而促使人們采取一種正確、合理的態(tài)度來對待小概率事件。我們之所以研究小概率事件，歸根結底不是設法研究如何避免小概率事件發(fā)生的方法，而是想充分的利用小概率事件所包含的信息來研究事件本身的特征，為事件及其相關事件的后期發(fā)展作出預測。

2 小概率事件原理

2.1 小概率事件的定義

在概率統(tǒng)計理論中，我們用數值 來具體量化隨機事件 發(fā)生的可能性，它滿足如下特征：

（1）對于任何事件 ，則有： ；

（2）對于不可能事件 與必然事件 ，則有： ；

（3）對于數個個事件 兩兩互不相容，則有：

。

定義2.1 對于某件事發(fā)生的概率無限趨近于1，那么它的對立事件發(fā)生的概率也就無限趨近于0。而在概率論中，一般把概率無限趨近于0的事件稱之為小概率事件。

2.2 小概率事件的原理

定理2.1（伯努利大數定律） 在 次獨立重復的實驗中，記事件A發(fā)生的次數為 ， 是事件 發(fā)生的概率。則對于任意正數 ，則有：

或

根據伯努利大數定律，在大量重復實驗中事件出現(xiàn)的頻率無限接近于它們的概率。也即是說反復做相同試驗的情況下，事件 出現(xiàn) 的頻率與概率值 呈現(xiàn) 正相關，若 的值很小為 ，則 則出現(xiàn)的頻次就很少，量化情況下就是1000次相同的隨機事件下才出現(xiàn)1次。因此，發(fā)生概率極其低的一個事件在偶然一次實驗中出現(xiàn)實際上基本是不可能的。因此對于實際應用方面，也稱這樣的事件為實際不可能事件。下面我們給出一定的理論推導。設事件 對于某一個隨即試驗而言出現(xiàn)的概率為 ，因為為小概率事件，所以其對應的概率值 可以認為是一個任意小的正數。而 表示“ 在第 次隨機試驗中出現(xiàn)”，則有： ， 。故在前 次相互獨立的試驗中事件 一次都不出現(xiàn)的概率為：

那么，在前 次相互獨立的隨機試驗中 至少出現(xiàn)一次的概率 為：

由于 是一個任意小的正數，因此有

從上面的理論及公式推導，可以發(fā)現(xiàn)單次隨即試驗下不可能發(fā)生的事件并不是一直都不發(fā)生，一直都不可能發(fā)生的事件是不可能事件 ，而隨著實驗次數的增加，增加到一個很大程度上時，小概率事件就會發(fā)生。

3 小概率事件原理的應用

3.1 經典小概率事件的研究

在城市街頭巷尾經常能見到一類叫“摸球游戲”的游戲。這個游戲的規(guī)則是：在一袋有16個大小，形狀，光滑程度相同的玻璃球，總共8紅8白。玩家可以從中隨意的摸出8個球，當所摸出的球的顏色比例（紅色：白色）滿足表1中所列比例情況時，則可以獲得相應比例情況下給出的獎金。

解：這個游戲表面看起來非常具有吸引力的。一方面，給出的5種比例性中居然有4種可以獲得獎金，而僅只有一種要被扣錢，而且最高獎10元，扣錢才2元，從表面上來看，感覺是一個穩(wěn)賺不賠的賭博。另一方面，由于五種賭注情況下對應的賭資金額不大，從學生到成年人都能拿出錢來玩。從這兩方面可以說明這個游戲的吸引力大，而且參與人數多，進而說明這個游戲反復玩的次數肯定多，對應與概率中的術語就是，此隨機實驗能反復進行多少次。

可是，玩的人少之又少，到底是什么原因呢？事實上，這是概率知識的一個具體應用：從16個球中任意取出8個，所有可能的取出方法為 種。事件總數是一個固定值，并且是選球是隨機抽取，這是個等可能性的事件，符合典型的古典概型要求?，F(xiàn)在假定已經進行了2000次的這種摸球實驗，則通過概率的計算公式，可以得出上述5種顏色比例結果對應的概率及出現(xiàn)的次數如下表1-2所示。

從表2的數據，可以得出該攤主預期可得：

（元）

這個例子的結果可能會讓人很驚訝，沒想到中獎10元的概率是這么的小，他只有0.0001554的概率，這顯然是一個小概率事件，也可以說是一個表面上看中獎可能性大的陷阱。

在我們的生活中，有很多類似的例子，比如彩票等。許多人喜歡買彩票，并且因此一夜暴富，成為一個富翁。事實上，人們應該知道彩票中獎是一個小概率事件。但畢竟這是一個福利事業(yè)，要以獻愛心為目的，中獎自然是好事，但不要妄想去中獎。

3.2 小概率事件原理在商業(yè)保險中的應用

現(xiàn)有一家保險公司，有2500個年齡相近、處于相同社會階層的人購買了公司某保險，從社會的數據可知，每個人在一年內死亡的概率是0.002。每一個被投保人在1月1日支付12元，如果他在這一年內死亡，公司將會向他的家屬發(fā)放2000元的保險費。求此保險公司虧本的概率。

解：根據題目可知保險公司的保費收入為30000元，假定被投保人死亡數為 ，則保險公司每年需要支付 元。那額保險公司的虧本數計算方法為 ，即 。由于此問題可以看成是2500重伯努利實驗，則根據泊松定理可得投保人中一年內出現(xiàn)15人死亡的概率為

從結果來看，出現(xiàn)虧本完全是一個小概率事件。而且保險公司也是企業(yè)，企業(yè)的最大經營目的是盈利，包括銀行在內沒有一家企業(yè)是會甘愿坐賠本買賣的。而且實際上，可以計算出如果保險公司的盈利出現(xiàn)在10000元以下的概率只有0.014，這顯然也是一個小概率事件，所以可以推斷保險公司針對這一保單的盈利不會低于10000元。

通過具體的數學計算我們可以論證保險公司實際上就是一個玩小概率事件的盈利企業(yè)，保險公司在推出每一款保險之前，都是由精算師進行了大量的數據論證與分析，而這些的目的是在于確保保險公司的盈利性，而且是確保的最大盈利模式。但是也不得不說明，人們不能因為這個原因以及人為認為判斷小概率事件不可能在自己身上發(fā)生而直接忽略購買合適的保險。

3.3 小概率事件原理在假設檢驗中的應用

假設檢驗是數學統(tǒng)計理論的重要發(fā)展，是一種統(tǒng)計推斷理論。其核心思想是基于小概率反證法來研究樣本間存在差異性的原因。而反證法的思路則是先提出假設檢驗 ，然后運用適當的統(tǒng)計方法求解該檢驗成立的概率。通過概率計算判斷，如果概率很小，是一個小概率事件的話，則最開始提出的假設就不成立。下面通過舉例來進行簡單介紹。

某工廠有一批總計200個的產品，產品需經檢驗合格后方能出廠銷售。針對此產品國家制定的合格標準是不合格率不得大于1%。如今任取5個產品，發(fā)現(xiàn)5個產品內包含有次品。 現(xiàn)在來論證這批產品能否順利出廠銷售。

解：設這批產品的次品率是 ，則要判斷產品是否達到合格標準就是要驗證是否存在 。

首先假設 成立，那么這批共計200件產品只能出現(xiàn)2個次品。那么從200個中任取5個，會出現(xiàn)如下三種可能，即 ：“沒有抽到一個次品”， ： “抽到了一個次品”， ：“抽到了2個次品”。

因此任抽5個，出現(xiàn)次品的概率

上述結果表明在一次抽查中就遇到事件“任取5個，且出現(xiàn)次品”這樣的概率非常小。因此，假設是不可接受的。這只能說明次品率超過0.01，因此，這批產品不能出廠。

前面已經論述，在無限次的獨立重復試驗中，小概率事件是會在其中的某一次試驗中發(fā)生的。所以，假設檢驗中，可能會有兩類錯誤：第一類錯誤是在實際的成立的條件下，我們認為它不成立，即就犯了“棄真”的錯誤。第二類錯誤是如果它本來是不成立的，然而事實上它被判斷成了成立，也就是我們犯了“采偽”。就從人們的主觀意愿來說，自然是要使這兩種錯誤盡可能不犯，就是讓這倆小概率事件的概率盡可能的小。但是，事實是，當樣本容量確定下來后，兩種錯誤的概率并不可能同時減少，減少一個，那么另外一個就會增加。只有增加樣本容量，才能使它們倆同時減少。在實際應用中，統(tǒng)計人員一般把“棄真”看的比“采偽”重要，是為了控制第一類錯誤發(fā)生的概率，這就是顯著性檢驗。

假設檢驗的基本方法一般是以采樣的樣本值為依據，通過記錄一個“小概率事件”在一次采樣中是否發(fā)生從而對總體進行判斷某件事（最初的假設是否是正確的）。具體做法是：為了檢驗一個假設成立與否，第一步要先假設它成立，如果得出了小概率事件（小于顯著性水平），就認為這是“反證法”推出了矛盾，因此要否定它，反之則接受。

4 研究成果與展望

4.1 研究成果

本文經過大量查閱文獻資料，對小概率事件原理的理論進行學習研究，并對其原理進行推導。然后詳細論述了小概率事件與不可能事件的異同點，以期幫助大學深刻認識兩者的區(qū)別，不要產生混淆。最后結合典型實例來論述小概率事件在現(xiàn)實生活中的應用，加深大家對小概率事件的認知與理解。

4.2 展望

在如今的生活中有無數的例子表明人們通常喜歡忽略小概率。從行為經濟學的角度來看，這也是一種過度自信現(xiàn)象，比如司機過于相信自己的駕駛技術和忽略對事故發(fā)生的可能性，人們似乎很少去擔心小概率事件發(fā)生的危險性。但是，換一個思路將，擔心歸擔心，但我們并不需要把關注的重心一直停留在小概率事件的極端個別現(xiàn)象。總之，如果我們掌握了小概率原理，在實際生活中，我們可以避害就利，科學地選擇好的方面，也盡量去避免不好的方面，讓這個神奇的小概率事件掌握在我們的手中。

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