顯式模型預(yù)測控制的在線迭代學(xué)習(xí)策略研究

陳 宇，劉 雪，陳 晶

（華中科技大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，湖北 武漢 430074）

0 引 言

模型預(yù)測控制（MPC）是在已知系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上求解一個最優(yōu)控制，根據(jù)計算方法的不同可劃分為在線MPC 和顯式MPC。在線MPC 是在控制過程中進行最優(yōu)控制變量的求解，但由于計算量大，不適用于控制周期極短的電力電子變換器。與在線MPC 相比，顯式MPC首先離線計算出優(yōu)化控制規(guī)律的集合，再將該集合存儲于控制器中，供在線查詢與計算使用，因而有效減少了在線求解時間[1]。

顯式MPC 的控制律集合是由大量參數(shù)表述的。實時控制時，首先需要根據(jù)實時狀態(tài)反饋查找合適的控制規(guī)律，再計算出控制參數(shù)，查找和計算時間仍然較長。為此，通常事先將連續(xù)的狀態(tài)空間進行離散，將離散值代入相應(yīng)的控制律中，計算得到對應(yīng)的控制變量，從而構(gòu)成以狀態(tài)空間為輸入、控制變量為輸出的表格。將該表格存儲在控制器中，就可根據(jù)反饋狀態(tài)直接查詢得到控制變量[2?3]。

顯式MPC 在負載投切等工作點小范圍變化工況下控制性能較好，但在啟動過程等工作點大范圍變化工況下控制性能不佳。為解決這一問題，本文設(shè)計了一種在啟動過程中對表格進行迭代修改的方法。該方法借鑒了迭代學(xué)習(xí)的思想[4?9]，即首先讓電力電子變換器在已有控制規(guī)律下運行一輪，將運行一輪過后的波形與期望波形進行比較，對控制規(guī)律進行若干修正。這一過程不斷迭代進行，使實際波形與期望波形的誤差不斷減小。

本文以Buck 變換器[10?11]為例展示顯式MPC 的在線迭代學(xué)習(xí)策略。該策略在Buck 變換器啟動過程中不斷對控制表進行修改，在不降低負載投切控制性能的同時，有效提升了啟動過程的控制性能。仿真結(jié)果亦證明了所提方法的有效性。

1 MPC 的工作原理簡述

1.1 Buck 變換器簡述

Buck 變換器如圖1 所示，其中，S，D 分別為開關(guān)管和續(xù)流二極管；L，C和Ro分別為電感、電容和負載電阻。當(dāng)開關(guān)管S 導(dǎo)通時，電感電流iL線性上升，電能經(jīng)電感L供給電容C與負載電阻Ro，同時電感L儲存能量；當(dāng)開關(guān)管S 關(guān)斷時，電感電流iL經(jīng)D 續(xù)流構(gòu)成回路，iL線性下降，電感L中儲存的磁能轉(zhuǎn)化為電能繼續(xù)供給電容C與負載電阻Ro。為便于下文論述與討論，Buck 變換器的參數(shù)如表1 所示。

圖1 Buck 變換器

表1 Buck 變換器參數(shù)

1.2 顯式MPC 簡述

為展開顯式MPC 設(shè)計，需首先得到Buck 變換器的狀態(tài)空間平均模型：

式中vo為輸出電壓。

本文中顯式MPC 的控制目標是將vo在LPH步內(nèi)調(diào)節(jié)到參考電壓vref，首先定義目標函數(shù)：

式中：LPH為預(yù)測的步長，文中設(shè)定LPH=20，即希望vo可在20 步以內(nèi)達到給定值；vo（k+l|k）表示第k步采樣值下，基于一組輸入量所計算的第k+l個狀態(tài)量，在本文的設(shè)計中，通過試探法將加權(quán)系數(shù)[12]設(shè)置為q=100。

此外，顯式MPC 還允許定義狀態(tài)變量vo和iL，以及控制參數(shù)dBuck的相關(guān)約束，使其不超過其物理限制，例如令：

式中：ILmax為使電感磁芯飽和的電流值。本文中設(shè)為ILmax=10 A；Vmax的設(shè)置是為了避免輸出電壓超調(diào)，本文中設(shè)為Vmax=30 V。

為使成本函數(shù)J的值最小，借助多參數(shù)線性規(guī)劃工具箱（MPT）[13]，可方便地離線生成所需的控制律，在此不詳細展開敘述。控制律會將狀態(tài)空間分割成圖2 所示的大量區(qū)域，當(dāng)狀態(tài)變量vo和iL落入該區(qū)域時，根據(jù)對應(yīng)區(qū)域的增益矩陣與偏置矩陣計算得到dBuck。

式中：Ar和Br為第r個區(qū)域的增益矩陣和偏置矩陣，由MPT 生成。

圖2 MPC 控制律的區(qū)域劃分

按式（6）進行計算需要大量檢索與計算時間。為簡化計算，在實際應(yīng)用時通常將vo和iL均勻劃分成N等份（在本文中取N=60），則整個求解區(qū)域被劃分成N×N的區(qū)間，取每個區(qū)間中點的vo和iL代入式（6）計算出相應(yīng)的dBuck，從而將求解區(qū)域離散成一張60×60 的控制表，當(dāng)狀態(tài)變量vo和iL落入某區(qū)間時，即用該dBuck實施控制。存儲該表需要3 600 個存儲單元，但免去了查找區(qū)域，取出增益矩陣、偏置矩陣以及進行計算的時間，實時性得到極大提升。為便于下文進一步討論，以vo為x軸，iL為y軸，dBuck為z軸，將離散后的表格繪制成如圖3 所示的三維圖，由圖3 可直觀地看出，在不同的（vo，iL）組合下，查找得到的dBuck均不相同，且由dBuck組成的曲面基本光滑，保證了調(diào)節(jié)過程的連續(xù)性。

依上述設(shè)計，可得圖4 虛線框所示的MPC 系統(tǒng)。在每一個開關(guān)周期內(nèi)，控制系統(tǒng)均對vo和iL進行采樣，經(jīng)AD 轉(zhuǎn)換單元送入控制器，在控制器里依圖3 控制表的x軸與y軸進行定位，取出對應(yīng)z軸的占空比dBuck，經(jīng)PWM 單元產(chǎn)生開關(guān)管S 的驅(qū)動信號，形成閉環(huán)反饋。

圖3 離散化的控制表

圖4 Buck 變換器控制示意圖

2 在線迭代學(xué)習(xí)策略

本文提出的在線迭代學(xué)習(xí)策略可在已有顯式MPC控制系統(tǒng)中增加，如圖4 所示。首先，在Buck 變換器啟動過程中記錄vo和iL的運動軌跡；其次，以vo軌跡逼近期望軌跡vref為目標，將啟動過程所經(jīng)過的運動軌跡對應(yīng)的占空比dBuck進行修改；最后，將修改過的控制表用卷積運算進行平滑處理，并將平滑處理后的控制表用于下一輪迭代。下面將對上述過程進行詳細論述。

2.1 啟動過程運動軌跡記錄

圖5 給出了Buck 變換器在MPC 下的啟動波形。其中，圖5a）為vo隨時間變化的波形，由圖可見啟動過程較慢，且有超調(diào)；圖5b）為iL隨時間變化的波形；圖5c）為vo和iL的運行軌跡，即圖3 控制表中的x?y平面。在Buck變換器啟動前，vo和iL均為0，處于圖中的A點，依該狀態(tài)查表，可得到對應(yīng)的占空比dBuck，該占空比作用于Buck變換器上，使vo和iL產(chǎn)生變化，如此循環(huán)直到Buck 變換器的輸出電壓vo達到vref。本設(shè)計中，從A點到B點，共計記錄M=90 個點的運行軌跡。

圖5 Buck 變換器的運行軌跡

2.2 控制表的修改

定義一個迭代周期內(nèi)輸出誤差的總和E：

式中：vref[k]和vo[k]為第k個開關(guān)周期的期望電壓和輸出電壓；以E為基礎(chǔ)修改運行軌跡對應(yīng)的占空比dBuck，修改原則是使E盡可能小。首先定義懲罰函數(shù)Q[k]：

式（8）的意義是：若當(dāng)前vo[k]出現(xiàn)超調(diào)，即高于vref[k]時，Q[k]給出一定懲罰量，強度由超調(diào)量和kp1調(diào)整系數(shù)給出；否則Q[k]=0。基于Q[k]設(shè)計占空比dBuck的修改法則：

由于電路具有遲滯性，所以k拍的輸出，是由k-1 拍的占空比決定的。式（9）右邊第一項dBuck[k-1]為上一拍（即iL[k-1]，vo[k-1]）對應(yīng)的占空比。第二項加上E乘以調(diào)整系數(shù)kp2和（M-k）后，對經(jīng)過軌跡上的占空比進行調(diào)整，以加快動態(tài)響應(yīng)。（M-k）的作用是在啟動初始階段k較小時使dBuck增加的幅度較大，從而使vo上升的速度較快，而隨著k增大，使dBuck的增加幅度變小，以便vo可更快趨于穩(wěn)定。第三項為懲罰函數(shù)，可在超調(diào)出現(xiàn)前及時減小占空比，抑制超調(diào)的出現(xiàn)。按式（9）修改一輪后的控制表如圖6 所示。在曲面上突起的點，即為運行軌跡被修改過的dBuck值[14]。

圖6 修改運行軌跡后的控制表

2.3 控制表的卷積

圖6 中可見，本輪迭代修改了此次運行軌跡上的占空比。在下一次啟動過程中，由于第k-1 拍占空比已修改，將造成k拍運行軌跡的改變。因此，新運行軌跡與原運行軌跡必將有所偏差。為將本次迭代學(xué)習(xí)的效果擴大到控制表中本次運行軌跡附近的位置，以對下次運行起作用，需對控制表進行平滑處理，為此對控制表進行二維卷積。卷積定義為：

式中：A為卷積核；B為被卷積的二維變量（即控制表）；p和q會遍歷所有可得到的A(p,q)和B(j-p+1,i-q+1)合法下標的值?，F(xiàn)以式（11）為例展示卷積的效果。設(shè)卷積核A中的所有元素均為，B中僅有對角線元素為1，其他元素為0。將A和B的卷積結(jié)果與B相比可見，卷積結(jié)果的對角線附近的數(shù)值都有所增大，即對二維變量進行了空間上的平滑處理[15]。

在本文的設(shè)計中，A為一個5×5 的二維變量，元素的總加權(quán)系數(shù)為1，B為上述修改過的控制表。用A對該控制表做卷積后，所得的控制表如圖7 所示，可見控制表已經(jīng)得到了平滑處理。

圖7 經(jīng)卷積運算后的控制表

2.4 下一輪迭代學(xué)習(xí)

在完成本次迭代后，將更新后的控制表重新用于Buck 變換器的控制中，得到下次啟動過程的運行軌跡，如圖8 所示。由圖8a）可見：vo的啟動過程較上一輪更快，超調(diào)量也更??；由圖8b）可知，對應(yīng)的iL也與上一輪所有不同；由圖8c）可見：啟動過程的運行軌跡亦與上一輪有所不同。由于對控制表進行了卷積平滑，新的運行軌跡上的對應(yīng)占空比亦已被修改，因此可保證連續(xù)平穩(wěn)的運行。

圖8 迭代后的運行軌跡

3 仿真驗證

3.1 仿真參數(shù)設(shè)定

本文通過Matlab 軟件仿真，對基于迭代學(xué)習(xí)的Buck 變換器進行了仿真驗證。仿真參數(shù)與表1 一致。

3.2 仿真結(jié)果分析

在迭代開始時，首先將控制表應(yīng)用于Buck 變換器的控制中，得到迭代學(xué)習(xí)的過程如圖9 所示，起始時間為0，輸出電壓vo從0 開始啟動并穩(wěn)定在24 V，然后將dBuck置0，模擬電力電子變換器停機，后續(xù)電壓從24 V 下跌并穩(wěn)定至0。在啟動過程中對控制表進行修改并不斷迭代，從而得到圖9 中電壓不斷上升和下跌的波形。

由圖9 可看出，在第1 個迭代周期內(nèi)，vo超調(diào)較大，此時由于懲罰函數(shù)Q[k]的作用，在第2 個迭代周期超調(diào)已經(jīng)有所減小，至第5 個迭代周期超調(diào)已基本消失，在控制表的三維圖像里表現(xiàn)為曲面內(nèi)有一處凹陷。同時，kp2（M-k）E項使經(jīng)過軌跡上的dBuck增大，在圖9 中表現(xiàn)為曲面內(nèi)運行軌跡經(jīng)過的地方凸起，其中，第11 個迭代周期的凸起程度較第2，5，8 個迭代周期都有所增加。由于（M-k）的作用，軌跡起始階段凸起較高，后續(xù)凸起較低。

若迭代學(xué)習(xí)過程中超調(diào)再次出現(xiàn)，則Q[k]將重新發(fā)揮作用將其消除。最終E值達到動態(tài)平衡，迭代結(jié)束。

圖9 迭代學(xué)習(xí)的過程

迭代學(xué)習(xí)完成后的啟動控制性能如圖10 所示，相比于未修改前的響應(yīng)曲線，輸出電壓的暫態(tài)響應(yīng)明顯增加且基本上無超調(diào)。圖11 給出Buck 變換器穩(wěn)定運行后從半載突加滿載的波形，可見采用文中所提出的迭代學(xué)習(xí)方法并不會對負載投切的控制性能造成影響。

圖10 迭代前后啟動過程的vo曲線

4 結(jié) 論

本文提出一種顯式MPC 控制表的迭代學(xué)習(xí)方法，以提高啟動過程的控制性能。以Buck 變換器為例，首先對Buck 變換器進行數(shù)學(xué)建模，生成相應(yīng)控制表，再給出啟動過程中控制表的修改方法，最后通過仿真驗證了方法的準確性。從仿真中可見，在迭代學(xué)習(xí)的過程中，Buck 變換器啟動過程的動態(tài)響應(yīng)不斷加快，同時超調(diào)也得到了有效抑制，并且該方法可推廣于各類采用了顯式MPC 的電力電子變換器中。

圖11 迭代前后負載投切的vo曲線