中國(guó)科舉“五級(jí)百分”計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)研究

黃裕泉 干有成 劉立云 趙霖

摘 要 群體考試成績(jī)?nèi)绾斡?jì)量，時(shí)至今日仍屬研究領(lǐng)域。美國(guó)大學(xué)入學(xué)考試、托福、GRE、雅思英語(yǔ)考試、中國(guó)國(guó)際漢語(yǔ)等級(jí)考試、中國(guó)大學(xué)招生考試、各級(jí)學(xué)校學(xué)生的學(xué)期考試等， 其計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)和方法都不相同！中國(guó)國(guó)家計(jì)量法要求計(jì)量應(yīng)建立國(guó)家統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)量要有統(tǒng)一的計(jì)量單位和統(tǒng)一的計(jì)量基準(zhǔn)、計(jì)量還必須有統(tǒng)一的監(jiān)管 。我國(guó)古代 科舉考試“五級(jí)百分”計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)是古今中外最科學(xué)簡(jiǎn)便精準(zhǔn)的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)。

關(guān)鍵詞 計(jì)量單位 計(jì)量基準(zhǔn) 計(jì)量原理 幾何量數(shù)學(xué)模型

中圖分類(lèi)號(hào)：TB921 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.06.012

1 計(jì)量單位（Unit of measurement）

單位制①的形成和發(fā)展與科技的進(jìn)步、生產(chǎn)的發(fā)展密切相關(guān)；各種單位制的并存不僅對(duì)事物性質(zhì)的界定有阻礙作用，而且也不利于民間科學(xué)文化的交流，因此，統(tǒng)一單位制已成為世界各國(guó)的共同要求。

我國(guó)古代傳統(tǒng)的考試成績(jī)計(jì)量單位，是實(shí)行的“五級(jí)、百分”計(jì)量單位制，簡(jiǎn)稱為“五級(jí)百分制”。根據(jù)試卷答對(duì)題數(shù)的多少，每答對(duì)一題得一分，統(tǒng)計(jì)出的總得分?jǐn)?shù)，即為考試成績(jī)的“原始分”，再對(duì)照五級(jí)百分單位制，轉(zhuǎn)換成統(tǒng)一的“五級(jí)百分”單位的“標(biāo)準(zhǔn)分”。據(jù)文獻(xiàn)記載，五級(jí)分制起始于隋朝（公元607年），至今已有1500余年歷史，后逐步發(fā)展成五級(jí)、百分制，即100分為最高分、60分為及格分，故有“60分萬(wàn)歲”的戲稱，因?yàn)?0分是及格的下限，不需要補(bǔ)考或重讀而得名；60-70為及格、70-80為中等、80-90為良好、90-100為優(yōu)等；五級(jí)、每一級(jí)10分，滿10分晉升一級(jí)，從不及格到及格、從及格到中級(jí)、從中級(jí)到良級(jí)、從良級(jí)到最高優(yōu)級(jí)，由量的積累變化（量變）而到質(zhì)級(jí)的升級(jí)變化（質(zhì)變），這是中國(guó)古代的一大發(fā)明。

2計(jì)量基準(zhǔn)（criterion），泛指標(biāo)準(zhǔn)（Measurement standard）

基準(zhǔn)按幾何形式可分為：面基準(zhǔn)、線基準(zhǔn)、點(diǎn)基準(zhǔn)。

“五級(jí)百分制”量的界定，巧妙地利用人人都有的五個(gè)手指形體或手指面（界面），作為基準(zhǔn)，用來(lái)表達(dá)群體考試成績(jī)的五級(jí)；伸出大拇指為“優(yōu)”、 伸出小拇指為“差”，其它三個(gè)手指依次為“良”、”中”、”及”格，俗稱“五指計(jì)量”基準(zhǔn)（圖1）。這是我國(guó)古代了解認(rèn)識(shí)群體智力水平的最樸素而形象、直觀的一種表達(dá)方式。將五個(gè)手指數(shù)的自然數(shù)和量（0-1-2-3-4-5），定為計(jì)量基準(zhǔn)。擴(kuò)大10倍為（0～50），再將（0～50）變?yōu)椋?0～100），100分為群體中的最高分，60分為群體中的及格分，這是我國(guó)古代在群體考試成績(jī)表達(dá)上的一大發(fā)明！這個(gè)發(fā)明每級(jí)為十進(jìn)制，頂級(jí)為100分，巧妙地將正確率100%和名次序列第一名統(tǒng)一了起來(lái)。人的五個(gè)手指長(zhǎng)短量不同，大致可分為三種類(lèi)型，中指最長(zhǎng)、大拇指和小拇指最短、食指和無(wú)名指次之。大拇指最短（數(shù)量最少），但是量最重（高），中指最長(zhǎng)（數(shù)量最多），其量為中等，小拇指和大拇指對(duì)稱數(shù)量最少，其量最輕（低）。

到了1262年我國(guó)數(shù)學(xué)家楊輝，在“詳解九章算法中，用三角數(shù)表的形式展示出二項(xiàng)式展開(kāi)的系數(shù)分布規(guī)律，即楊輝三角數(shù)表（圖2）。手指的長(zhǎng)度三種類(lèi)型的比，可用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布頻數(shù)的五級(jí)比（1：4：6：4：1）來(lái)表達(dá)，“優(yōu)”級(jí)為（1/16）、良“級(jí)”為（4/16）“中級(jí)”為“6/16”、”及格”為“4/16”、“差級(jí)”為“1/16”）；分別對(duì)應(yīng)于量表（1、2、3、4、5）。這就是楊輝三角標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，頻數(shù)比（1：4：6：4：1）與對(duì)應(yīng)的量表數(shù)（1、2、3、4、5）二者合一，就是群體考試成績(jī)計(jì)量的基準(zhǔn)（標(biāo)準(zhǔn)）（圖3）。

3 計(jì)量原理和公式：（ Measurement principle and Statistical formula）

3.1 基準(zhǔn)正態(tài)分布幾何量數(shù)學(xué)模型（Mathematical model of geometric quantity）

幾何量計(jì)量又稱長(zhǎng)度計(jì)量，是對(duì)各種物體的幾何尺寸和幾何形狀的測(cè)量，以及為使幾何量量值的準(zhǔn)確和統(tǒng)一必須進(jìn)行的計(jì)量工作。

群體考試的目的是“測(cè)量參與群體考試中每一個(gè)成員的考試成績(jī)，在該群體的“基準(zhǔn)正態(tài)分布幾何量量表分上的定位和名次序列及百分位頻數(shù)比序列上的定位”。由于考試的實(shí)施是通過(guò)考試試卷試題實(shí)現(xiàn)的，不同的試卷試題就是不同的考試標(biāo)尺，考試成績(jī)就會(huì)產(chǎn)生不同的分布幅度和不同的名次序列以及不同的頻數(shù)分布，所以必須選擇一個(gè)基準(zhǔn)（標(biāo)準(zhǔn)）作為參照，進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換的定位與定量，即將考試成績(jī)的原始分轉(zhuǎn)換為真正意義上的基準(zhǔn)分即標(biāo)準(zhǔn)分。③

楊輝三角標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的五個(gè)頻數(shù)比（1：4：6：4：1）和量表五個(gè)數(shù)（1、2、3、4、5）（圖3），在不同的坐標(biāo)上就會(huì)有不同的均數(shù)、中位數(shù)和眾位數(shù)。在測(cè)量上首先要定“基準(zhǔn)點(diǎn)-原點(diǎn)”，在計(jì)量上也即是“起點(diǎn)-原點(diǎn)”。將楊輝三角標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布頻數(shù)比和量表五個(gè)數(shù)置于“0”為起點(diǎn)的二維坐標(biāo)上，量表五個(gè)數(shù)（1、2、3、4、5）就變成了量表五級(jí)分 “0-1-2-3-4-5”；頻數(shù)16，以16個(gè)相同的長(zhǎng)方塊代表，按照頻數(shù)累積就構(gòu)成了正態(tài)分布塔型圖，④這個(gè)塔型圖就是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布幾何量數(shù)學(xué)模型圖（圖3）。

3.2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布幾何量計(jì)算公式：縱軸頻數(shù)/頻數(shù)總數(shù)：（1、2、3、…16）/16

古代“兩求斤”的16字口訣：“一退625（量表分1）、二125、三1875、四25、五3125（量表分2）、六375、七4375、八作5（量表分2.5）、九5625、十625、十一6875（量標(biāo)分3）、十二75、十三8125、十四875、十五9375（量表分4）、十六為1（量表分1-5）”。該口訣起始于1262年我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家楊輝的“日用算法”一書(shū)，完成于1299年我國(guó)元朝數(shù)學(xué)家朱世杰的“算學(xué)啟蒙”。他將楊輝的八句口訣推進(jìn)成完整的流傳至今的16句口訣，它就是“個(gè)數(shù)位”的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值。它同時(shí)也為“優(yōu)、良、中、及格與不及格”五級(jí)分的界定，奠定了計(jì)量學(xué)的依據(jù)：“1/16為優(yōu)、4/16為良、6/16為中、4/16為及格1/16為差”；累加百分率分別為，“6.25%以上的考試成績(jī)?cè)挤譃閮?yōu)、31.25%以上為良、68.75%以上為中、93.75%以上為及格，以下的為差”。

分辨率提高一個(gè)數(shù)量級(jí)，即擴(kuò)大10倍成“五十分位數(shù)”的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值，分辨率提高兩個(gè)數(shù)量級(jí)，即擴(kuò)大100倍成“五百分位數(shù)”的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值，以此類(lèi)推（表1）。

因?yàn)椋?：4：6：4：1），它是經(jīng)過(guò)無(wú)限次的概率實(shí)驗(yàn)才能接近的概率極限值，即是概率的約定真值。依據(jù)“兩求斤”16字口訣，計(jì)算出的函數(shù)值表

4 計(jì)量方法和程序：（Measurement methods and procedures）

4.1 依據(jù)基準(zhǔn)頻數(shù)比（1：4：6：4：1），實(shí)現(xiàn)定性（定級(jí)）轉(zhuǎn)換

首先統(tǒng)計(jì)原始分成績(jī)；然后將原始分從高分到低分依次排序；統(tǒng)計(jì)原始分的頻數(shù)；⑤用頻數(shù)/總數(shù)，得百分位；以原始分的最高分為起點(diǎn)，向下依次消除原始分中非連續(xù)分布的空白分，每消除一個(gè)空白分后續(xù)分依次增加一分，將非連續(xù)分布的原始分轉(zhuǎn)換成連續(xù)分布的“中轉(zhuǎn)分”；依據(jù)四個(gè)閾值點(diǎn)的百分位將群體分為五級(jí)（跨越6.25%以上的中轉(zhuǎn)分定為D級(jí)、以下的定為E級(jí)；跨越31.25%以上低于68.75%以下的中轉(zhuǎn)分為C級(jí)、跨越68.75%以上低于93.75%以下的中轉(zhuǎn)分為B級(jí)、跨越93.75%以上的中轉(zhuǎn)分為A級(jí)。因?yàn)槭菍?duì)稱分布，所以反向亦然（圖3）。

4.2 依據(jù)基準(zhǔn)量表分，實(shí)現(xiàn)量表分定量（定分）六點(diǎn)等值轉(zhuǎn)換

因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)分每級(jí)為10分，六個(gè)等值點(diǎn)為（50、60、70、80、90、100）； A級(jí)最高分H=100、最低分L=90；B級(jí)最高分H=90、最低分L=80；C級(jí)最高分H=80、最低分L=70；D級(jí)最高分H=70、最低分L=60；E級(jí)最高分H=60、最低分L=50；將每級(jí)的原始分與每級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)10分進(jìn)行六點(diǎn)線性等值轉(zhuǎn)換，其轉(zhuǎn)換公式：

經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換而成的五級(jí)百分標(biāo)準(zhǔn)分，三學(xué)科原始分的第一名都是100分，合法合情合理，因?yàn)槭菍W(xué)校認(rèn)可的考試，故是合法的，因?yàn)槎际堑谝幻允呛锨楹侠淼?；若以原始分劃分，A學(xué)科第一名86分則屬良級(jí)，這顯然不合法不合情不合理；再?gòu)摹皟?yōu)”級(jí)統(tǒng)計(jì)，A學(xué)科“優(yōu)”級(jí)學(xué)生人數(shù)為“0”，而B(niǎo)學(xué)科“優(yōu)”級(jí)生人數(shù)有38人，C學(xué)科“優(yōu)”級(jí)生人數(shù)為7人，這顯然也是不合法不合情不合理的！再以“良”級(jí)為例，以原始分劃分，A學(xué)科“良”級(jí)以上的人數(shù)為8人，B學(xué)科為48人，C學(xué)科為24人?？荚嚦煽?jī)不能以原始分劃分等級(jí)不能以原始分報(bào)分，⑥這似乎在國(guó)際范圍已成共識(shí)。以（1：4：6：4：1）的比例劃分等級(jí)，這是極其簡(jiǎn)單而科學(xué)的方法，中國(guó)古代人的發(fā)明，可是現(xiàn)代人卻把它遺忘了！另?yè)?jù)新聞報(bào)道，2015年英國(guó)數(shù)學(xué)高考試卷太難，故原始分成績(jī)太低，數(shù)以萬(wàn)計(jì)的學(xué)生在網(wǎng)上請(qǐng)?jiān)?，后?lái)官方宣布原始分60分為A級(jí)，34分為及格；無(wú)獨(dú)有偶，而2015年中國(guó)江蘇小高考考試成績(jī)?cè)挤肿呦蛄硪粯O端，4A人數(shù)暴漲！因?yàn)闆](méi)有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，所以混亂是必然會(huì)產(chǎn)生！

5 結(jié)論

通過(guò)楊輝三角基準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)學(xué)模型（理論）和三學(xué)科原始分轉(zhuǎn)換成的中國(guó)傳統(tǒng)的五級(jí)分百分制的標(biāo)準(zhǔn)分實(shí)際應(yīng)用證明，中國(guó)傳統(tǒng)五級(jí)分百分單位制的量表（50～100）在各種類(lèi)型的量表中，它是唯一的五級(jí)、百分、十進(jìn)制自然數(shù)的單位制；基準(zhǔn)量表五級(jí)分與基準(zhǔn)頻數(shù)五級(jí)比（1/16：4/16：6/16：4/16：1/16）固定的量數(shù)對(duì)應(yīng)值；可以用每人的五個(gè)手指作為計(jì)量基準(zhǔn)，就能將非正態(tài)分布的原始分，簡(jiǎn)便而準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)換成中國(guó)傳統(tǒng)的五級(jí)百分制標(biāo)準(zhǔn)分；因?yàn)樗哂猩鐣?huì)公用計(jì)量單位的基本屬性，所以它能為“群體考試成績(jī)社會(huì)公用計(jì)量的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)和國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)提供科學(xué)依據(jù)。