淺談高中放縮法在數(shù)列與不等式中的運(yùn)用

官一宏

【摘要】數(shù)列與不等式是高中數(shù)學(xué)課程的精華，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位.其中，不等式的主要教學(xué)特點(diǎn)是通過對不等式本質(zhì)的分析與講解，充分利用不等式的實(shí)際應(yīng)用特點(diǎn)處理生活問題，從而讓學(xué)生感受到數(shù)列與不等式的優(yōu)越性，提升學(xué)生將理論結(jié)合實(shí)際的應(yīng)變能力.為此，本文就通過筆者自身經(jīng)驗(yàn)，突出以放縮法作為探討對象，通過對高中數(shù)列與不等式的分析，闡述放縮法在其中的巧妙應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】放縮法高中數(shù)列不等式運(yùn)用

高中數(shù)列與不等式通常是指包含有an，sn或者是帶有n前綴的式子，數(shù)列不等式的命題在高考知識(shí)點(diǎn)中發(fā)揮著關(guān)鍵作用，也必定是熱點(diǎn)考察知識(shí)的重要體現(xiàn).但是，數(shù)列與不等式是一項(xiàng)綜合性的知識(shí)鏈接，應(yīng)用的范圍和要求基礎(chǔ)較高，也具有相當(dāng)靈活的變換特點(diǎn)，因此就具備了一定的學(xué)習(xí)難度.在數(shù)列與不等式的學(xué)習(xí)過程中，利用放縮法去解決應(yīng)用問題既是便捷途徑，卻也是困難途徑，諸多學(xué)生在實(shí)際的學(xué)習(xí)處理過程中感到吃力，對解題思路和放縮法的理解不到位.

一、對放縮法的應(yīng)用把握

對放縮法的應(yīng)用把握就是指對放縮力度的大小，以及放縮精細(xì)的程度，以達(dá)到預(yù)定的標(biāo)準(zhǔn).通過對題目類型的把握，迅速的找到解題突破口，逐漸培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎寄芰蛯W(xué)習(xí)興趣，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中數(shù)列不等式的內(nèi)在魅力，認(rèn)識(shí)到放縮法在解決此類問題中的有效性.

1.分組的放縮形式

在實(shí)際計(jì)算中可以通過分組的放縮形式來達(dá)到預(yù)期結(jié)果，例如在使用放縮法處理多項(xiàng)式的過程中，就可以采用分組的放縮形式來進(jìn)行結(jié)果運(yùn)算.

2.部分的放縮形式

為了避免在放縮過程中出現(xiàn)超出預(yù)期效果的大小范圍，就采用了一部分不動(dòng)，另一部分進(jìn)行相應(yīng)變化的部分放縮形式.

3.逐步放縮的形式

假如面臨的是多個(gè)不同樣式的放縮結(jié)果，并且出現(xiàn)了結(jié)果之間的互異性，最簡便的辦法就是對計(jì)算逐步進(jìn)行，這種放縮方式可以最大限度的提升放縮的精度大小.

4.宏觀的放縮形式

宏觀放縮主要就是說如果運(yùn)算過程中存在可以推導(dǎo)得出的等式，或是已經(jīng)存在的等式，就可以對存在組合性質(zhì)的元素進(jìn)行等式重構(gòu)，并對殘留的部分執(zhí)行放縮過程.宏觀上的放縮形式最大的優(yōu)勢就是對精度的提升，方便解題的準(zhǔn)確性和便捷性.

二、單調(diào)的函數(shù)放縮法形式

參照具體的題目類型和所提供的信息，對等式架構(gòu)進(jìn)行重構(gòu)，得到新的單調(diào)函數(shù)，并對其進(jìn)行下一步放縮，從而得到結(jié)果.比如說：在某例題中為求任何正整數(shù)對于等式都成立的問題，就可以對其進(jìn)行單調(diào)函數(shù)放縮，因?yàn)橹苯幼霾睿y以找到切入點(diǎn).而得到該函數(shù)的單調(diào)性能卻是比較容易的，定義域的范圍為正整數(shù)范圍，排除導(dǎo)數(shù)的可能性，通過計(jì)算可以找到解題思緒，但是依然困難重重，很難下手.但是，數(shù)列有著特殊的函數(shù)性質(zhì)，它呈現(xiàn)的是一種單調(diào)狀態(tài)，就會(huì)得到函數(shù)存在的單調(diào)特點(diǎn).

三、放縮形式存在的效果

防縮變形在根本上區(qū)別于恒等變形，放縮變形無論是在形式上，還是空間上都給人們提供了更多的可能性，可以自由的創(chuàng)造更大空間和添加更多計(jì)算的局部內(nèi)容.使得放縮后的計(jì)算形式達(dá)到簡化效果，結(jié)構(gòu)明了，具體一定的規(guī)律性，從而很好的解決問題，實(shí)現(xiàn)放縮形式作用的最大化.本文以下題為例講述：{bn}在符合b1大于等于1，bn+1=bn的平方減去n-2的值乘以bn加三，Tn+3+1比b1的值加上3加1比b2的值，一直加到1比3加bn的值，問題是求證tn小于二分之一.因?yàn)閎n加三等于bn乘以bn減去n的值，再加上2乘以bn加三的值，又因?yàn)閎n大于等于n的值，所以得出bn+1加3大于等于2乘以bn+3的值，n屬于正整數(shù)，運(yùn)用跌乘計(jì)算得出bn加三的大于等于2n-1乘以b1+3大于等于2n+1.所以1比bn+3的值小于等于1比2n+1.n屬于正整數(shù)，因此得出結(jié)論：Tn小于等于1比2的二次的值加上1比二的三次的值，再加上1比2的四次的值，一直加到1比2的N次值之比等于二分之一減去1比2的n+1次的值，值數(shù)小于二分之一.由此看出，把握題目特征對其進(jìn)行變形，接著刪掉其中一個(gè)正項(xiàng)，這種計(jì)算手法是放縮在不等式中最常用的技法，假如此題在放縮計(jì)算后進(jìn)行分裂項(xiàng)，進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納等是無法實(shí)現(xiàn)的，這也說明了放縮形式中的很多問題.

四、采用放縮形式的注意事項(xiàng)和計(jì)算方法

首先要對放縮的大小方向做到心中有數(shù)，無論是放大縮小都必須針對結(jié)論而言，針對的大小數(shù)值呈現(xiàn)反向動(dòng)作，也就是計(jì)算結(jié)果大于標(biāo)準(zhǔn)項(xiàng)則進(jìn)行縮小，小于標(biāo)準(zhǔn)項(xiàng)則進(jìn)行擴(kuò)大.除此之外，針對放縮的項(xiàng)數(shù)可以從第一二三項(xiàng)分別開始，也大可不必是對所有的存在項(xiàng)進(jìn)行統(tǒng)一放縮.在放縮法的一般形式與常用技巧中，其一是對于根式的放縮形式，其二是對于分式分子分母的大小縮放，適用的規(guī)律一般為真分?jǐn)?shù)分子分母一塊減掉同樣的正數(shù)，呈現(xiàn)變大趨勢，假分?jǐn)?shù)的分子分母一塊減掉某個(gè)正數(shù)，呈現(xiàn)的是遞減趨勢.其三是在傳統(tǒng)不等式的基礎(chǔ)上進(jìn)行放縮操作，其四是對于二項(xiàng)式的定理收縮形式，其五是針對特殊情況采用舍棄添加某些項(xiàng)數(shù).

結(jié) 語

綜上所述，正確掌握收縮尺度的大小，對于放縮法的正確運(yùn)用具有重要意義.必須通過不斷的思考鍛煉，認(rèn)識(shí)到題目本質(zhì)的考察方向特性，才能對計(jì)算流程有一個(gè)足夠的認(rèn)識(shí)，把復(fù)雜的解題過程規(guī)?；?比如說在構(gòu)建函數(shù)的過程中，如果前后的不等號(hào)出現(xiàn)差別，無法對其單調(diào)性進(jìn)行準(zhǔn)確判斷，這時(shí)運(yùn)用單調(diào)函數(shù)去解決該類問題就顯得不合時(shí)宜.進(jìn)行略微的調(diào)整，在同樣的中心問題下，可以用不同的具體方式進(jìn)行解決.

參考文獻(xiàn)

[1]朱國宏.探析數(shù)列型不等式證明中“放縮法”的妙用[J]，高中數(shù)理化，2014，（09）：04-08.