解析高中數(shù)學(xué)中的基本函數(shù)

彭勇

【摘 ? ?要】基本初等函數(shù)，是高中學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容之一，同時(shí)，也是高中學(xué)習(xí)的重點(diǎn)之一?；境醯群瘮?shù)包括：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，三大函數(shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別便是學(xué)生要掌握的要點(diǎn)。數(shù)學(xué)老師在函數(shù)的教學(xué)計(jì)劃中都分配了較多的課時(shí)，誠然，函數(shù)的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，那么解析基本初等函數(shù)就能在一定程度上幫助學(xué)生更加深入的理解數(shù)學(xué)理論。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) ?基本初等函數(shù) ?解析 ?考點(diǎn) ?理論

中圖分類號(hào)：G4 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2016.03.084

函數(shù)是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，其運(yùn)算的復(fù)雜性讓很多學(xué)生難以掌握，對(duì)學(xué)生的全面發(fā)展造成了一定的影響。在此，我將結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)對(duì)高中的基本函數(shù)進(jìn)行相關(guān)的解析，希望對(duì)大家有所幫助。

一、初等函數(shù)的學(xué)習(xí)要求

1.能進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)的關(guān)系，刻畫函數(shù)概念中的作用。此外，了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域。同時(shí)，了解與學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，也要了解映射的概念，這樣觸類旁通式的學(xué)習(xí)，才能讓數(shù)學(xué)的教學(xué)變得更加簡(jiǎn)捷。

2.學(xué)生能在實(shí)際情景中，根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ā＠?，圖像法、列表法、解析法等表示函數(shù)，會(huì)求解函數(shù)的基本表達(dá)式，以及表達(dá)式中參數(shù)所表示的意義。

3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)的定義、形式、結(jié)構(gòu)，并且能根據(jù)已經(jīng)了解到的知識(shí)，進(jìn)行具體的實(shí)際操作。

4.能夠通過已經(jīng)學(xué)習(xí)過的函數(shù)，特別是像二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值以及它們的幾何意義，還能結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義。

5.學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)既是解決問題的方法，同時(shí)，也是解決問題的手段，面對(duì)不同的問題，會(huì)有不一樣的方法來解決。一般能用函數(shù)解決的問題，都會(huì)是用函數(shù)來解決，不僅因?yàn)楹瘮?shù)的直觀可見，而且函數(shù)能形象地將問題反映在一張圖表上。讀者想要的答案，就在圖表隱藏的位置，只要稍微地動(dòng)動(dòng)腦筋，答案便就出來了。誠然，函數(shù)的學(xué)習(xí)是重要的。教師培養(yǎng)學(xué)生看圖、讀圖、解圖“三步走”的能力，同時(shí)，也是培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)換思維的能力。

二、指數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)是數(shù)學(xué)中重要的函數(shù)之一。它的一般的形式為：y=a^x（a>0且a≠1）（x∈R）。此外，還會(huì)應(yīng)用到e上的這個(gè)函數(shù)寫為exp（x），還可以等價(jià)寫為e，這里的e是數(shù)學(xué)常數(shù)，就是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，近似等于2.718281828，稱為歐拉數(shù)。下面是指數(shù)函數(shù)的圖像：

對(duì)于初等函數(shù)中指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)，特別要掌握指數(shù)函數(shù)的圖形，以及它的基本表達(dá)式的寫法，因?yàn)?，指?shù)函數(shù)的圖像是屬于比較復(fù)雜的一類。由上圖可知：它的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，不同a的大小，圖形曲線的表達(dá)形式也不一樣。需要分類討論即：

1.由指數(shù)函數(shù)y=a^x與直線x=1相交于點(diǎn)（1，a）。在y軸的右側(cè)，圖像從下到上相應(yīng)的底數(shù)由小變大。

2.由指數(shù)函數(shù)y=a^x與直線x=-1相交于（-1，1＼a）。在y軸左側(cè)，圖像從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小。

3.指數(shù)函數(shù)的a一定是大于零，當(dāng)a>1時(shí)，指數(shù)函數(shù)對(duì)于x的負(fù)數(shù)值非常平坦，對(duì)于x的正數(shù)值迅速攀升，在x等于0的時(shí)候y等于1。

當(dāng)然，指數(shù)函數(shù)只是一種解決問題的方法或者稱為手段，歸為本質(zhì)的便是：回歸課本，解決課本中的問題，卷子的試題，解決在實(shí)際生活中遇到的數(shù)學(xué)問題。最主要的還是，學(xué)生自身對(duì)知識(shí)的不斷積累與拓展，最終使得自己在同一學(xué)習(xí)環(huán)境中出類拔萃，同時(shí)在高考中出類拔萃，斬獲高分。

對(duì)此，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用能幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)函數(shù)的具體應(yīng)用，在教師的教學(xué)中，學(xué)生也能配合教師的教學(xué)計(jì)劃，將課堂更好地利用。指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用是非常廣泛的。例如，細(xì)胞的分裂、考古中所用的c的衰減、藥物在人體內(nèi)殘留量的變化等。具體的問題具體分析，對(duì)于不同的實(shí)際問題，學(xué)生要學(xué)會(huì)歸納與總結(jié)，將同一類的問題歸一為一個(gè)具體的模型，以便以后再遇到此問題時(shí)，能很快速地解決問題。

三、對(duì)數(shù)函數(shù)

一般如果a（a大于0，且a不等于1）的b次冪等于N（N>0），那么數(shù)b就叫做以a為底N的對(duì)數(shù)。記作logaN=b。對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像為：

對(duì)數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用沒有指數(shù)函數(shù)那么多，相反的，對(duì)數(shù)函數(shù)的題型更多的是，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，會(huì)利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，解決變形的題目，達(dá)到邏輯思維的高度訓(xùn)練;不斷鍛煉學(xué)生自己縝密的解題思路，從而做到細(xì)節(jié)完美化。

對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是高中函數(shù)教學(xué)計(jì)劃中必須掌握的內(nèi)容。對(duì)數(shù)函數(shù)最多的題型是：利用其性質(zhì)轉(zhuǎn)換題型，然后解題。誠然，性質(zhì)的學(xué)習(xí)、理解、掌握是第一步，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可以很快速地得出兩個(gè)函數(shù)值之間的大小關(guān)系。如果底數(shù)一樣，真數(shù)越大，函數(shù)值越大。（a>1時(shí)）如果底數(shù)一樣，真數(shù)越大，函數(shù)值越小。（0

當(dāng)a>0且a≠1時(shí)，M>0，N>0，那么：

（1）log（a）（MN）=log（a）（M）+log（a）（N）;

（2）log（a）（M/N）=log（a）（M）-log（a）（N）;

（3）log（a）（M^n）=nlog（a）（M） （n∈R）.

四、冪函數(shù)

冪函數(shù)的基本形式為：y=x^a（a為常數(shù)），即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)，不外乎就是將底數(shù)與指數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，因此，指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的聯(lián)系最為密切，通過指數(shù)函數(shù)的圖像，可以類比推出冪函數(shù)的圖像。對(duì)于每一個(gè)函數(shù)的學(xué)習(xí)，圖像是能直觀與形象地展示函數(shù)性質(zhì)的最好的表達(dá)形式之一，誠然，圖像的學(xué)習(xí)也是在教學(xué)大綱中，被教師經(jīng)常提及的。以下便是冪函數(shù)的圖像：

對(duì)于冪函數(shù)，教師較為注重的是：冪函數(shù)的常數(shù)a，因?yàn)椴煌腶對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖形存在差異，因此，冪函數(shù)的圖像是三個(gè)初等函數(shù)中，最為復(fù)雜的一個(gè)。同時(shí)，冪函數(shù)的應(yīng)用最多的也是不同a值所對(duì)應(yīng)的圖形，然后利用圖形解決變換問題。

五、三者之間的解析

對(duì)于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，不僅是難度的加深，深度的變廣，范圍的擴(kuò)大，更是一種思維的訓(xùn)練。像數(shù)學(xué)中的集合、空間幾何體、點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系、圓與方程等等知識(shí)的范圍越來越多。學(xué)習(xí)的難度越來越深，對(duì)于函數(shù)的學(xué)習(xí)，也是如此。正確把握函數(shù)之間的關(guān)系與邏輯思維，掌握解題的思路與技巧，函數(shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別，將函數(shù)的模型運(yùn)用到實(shí)際的生活問題當(dāng)中來，無論是指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)還是冪函數(shù)，它們的運(yùn)用價(jià)值都是極其大。

將指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖像，進(jìn)行分析、對(duì)比然后總結(jié)出各個(gè)圖像之間存在的差異，以及它們之間的聯(lián)系，會(huì)從它們基本的形式結(jié)構(gòu)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、連續(xù)性、凹凸性等不同的指標(biāo)，正確分析每一個(gè)函數(shù)的特點(diǎn)，然后能準(zhǔn)確掌握，并運(yùn)用。

近幾年，隨著課改腳步的推進(jìn)，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)越發(fā)變得緊張。高中面臨的問題，畢竟是高考，所以教師需要在了解改革體制的同時(shí)，加強(qiáng)教育教學(xué)模式，不斷進(jìn)取、不斷創(chuàng)新、不斷開拓，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供更加優(yōu)秀的教學(xué)計(jì)劃。