三類數(shù)學(xué)解題思想方法在教學(xué)中的應(yīng)用

張孝安

數(shù)學(xué)解題思想，就是在解答數(shù)學(xué)試題中，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)的靈魂。數(shù)學(xué)解題思想方法是從數(shù)學(xué)解題中提煉出來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓，是將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的橋梁。

初中數(shù)學(xué)知識(shí)整體結(jié)構(gòu)覆蓋了辯證思想的理念，凸顯出數(shù)學(xué)基本概念和知識(shí)所代表的實(shí)體，與抽象的數(shù)學(xué)思想方法之間的相互關(guān)系。數(shù)學(xué)教材各單元之間相互滲透的關(guān)系，升華為具有普遍意義的一般規(guī)律，便形成相對(duì)的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)解題思想方法確立后，可以及時(shí)調(diào)整具體結(jié)論的數(shù)學(xué)試題，并以其為指引將數(shù)學(xué)試題靈活地運(yùn)用到一切適合的范疇中去解決問(wèn)題。它不僅會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)、數(shù)學(xué)審美活動(dòng)起著指導(dǎo)作角，而且會(huì)對(duì)個(gè)體的世界觀、方法論產(chǎn)生深刻影響，實(shí)現(xiàn)思維能力和思想素質(zhì)的飛躍。

初中數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含多種的數(shù)學(xué)思想方法，突出這些基本解題思想方法，就狠狠抓住了初中數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓。本文以實(shí)例說(shuō)明數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化三類最基本的數(shù)學(xué)解題思想方法在教學(xué)過(guò)程中的巧用。

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，其應(yīng)用廣泛，靈活巧妙。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授說(shuō)，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形無(wú)數(shù)時(shí)難入微，這是對(duì)數(shù)形結(jié)合的作用進(jìn)行了高度的概括。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多定律、定理及公式等?？梢杂脠D形來(lái)描述，而利用圖形的直觀，則可以由抽象變具體，模糊變清晰，使數(shù)學(xué)問(wèn)題的難度下降，從而可以從圖形中找到有創(chuàng)意的解題思路。

例題：如圖，M、N、P、R分別是數(shù)軸上四個(gè)整數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，其中有一點(diǎn)是原點(diǎn)，并且MN=NP=PR=1，數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在M與N之間，數(shù)b對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在P與R之間，∣A∣+∣B∣=3若 ，則原點(diǎn)可能是（ ）。

A.M或R B.N或P C.M或N D.P或R

析解：若原點(diǎn)為M點(diǎn)，由題意知 0有理性的排除是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。本題利用數(shù)形結(jié)合思想，先假設(shè)某種情況正確，經(jīng)過(guò)推理得結(jié)論，當(dāng)然本題也可以利用特殊值來(lái)解決。

二、分類討論思想

分類討論思想是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類的數(shù)學(xué)思想，對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分類，可以降低學(xué)習(xí)難度，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的針對(duì)性。因此，在教學(xué)中應(yīng)啟發(fā)學(xué)生按不同的情況去對(duì)同一對(duì)象進(jìn)行能夠分類，幫助學(xué)生掌握好分類的方法原則，形成分類的思想。

例題：已知方程 m2x2+（2m+1）x+1=0有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍。

析解（1）當(dāng) m2=0時(shí)，即m=0時(shí)，方程為一元一次方程x+1=0，有實(shí)數(shù)根x=-1 ；

（2）當(dāng) m2≠0時(shí)，方程為一元二次方程，根據(jù)有實(shí)數(shù)根的條件可得

△=（2m+1）2-4m2=4m+1≥0，即m≥-14且 ，m2≠0

綜（1）、（2）可得， m≥-14。

在解題時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)，很多同學(xué)會(huì)從（2）直接開(kāi)始而且會(huì)忽略 m2≠0的條件。因此，字母系數(shù)的取值范圍是否要討論，要看清題目的條件。一般設(shè)置問(wèn)題的方式有兩種（1）前置式，即二次方程；（2）后置式，即兩實(shí)數(shù)根，這都是表明是二次方程，不需要討論，但切不可忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為零的要求，本題是根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)是否為零進(jìn)行討論的。

三、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種最基本的數(shù)學(xué)思想。在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們通常是將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。轉(zhuǎn)化的內(nèi)涵非常豐富，已知與未知、數(shù)量與圖形、圖形與圖形之間都可以通過(guò)轉(zhuǎn)化來(lái)獲得解決問(wèn)題的轉(zhuǎn)機(jī)。

解新定義運(yùn)算的關(guān)鍵是理解新運(yùn)算符號(hào)的含義，按照新定義的運(yùn)算規(guī)律、法則，把陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題進(jìn)行解決。

從上述實(shí)例可見(jiàn)，數(shù)學(xué)解題思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)和精髓，而數(shù)學(xué)方法則使數(shù)學(xué)思想得以具體實(shí)施，二者相輔相成。雖然課本上沒(méi)有專門(mén)的章節(jié)介紹數(shù)學(xué)解題思想方法，但是它隱含在概念的形成、公式的推導(dǎo)、法則的論證及習(xí)題的解決等過(guò)程中。初中學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)比較貧乏，抽象思想能力也較為薄弱，只要能將數(shù)學(xué)知識(shí)作為載體，把數(shù)學(xué)解題思想方法的教學(xué)滲透到數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中，教師把握好滲透的契機(jī)，重視數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出、形成、發(fā)展等過(guò)程，有意識(shí)地潛移默化地啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)之中的種種數(shù)學(xué)解題思想方法，可以比較順利地完成解題的過(guò)程。因而學(xué)生要用數(shù)學(xué)解題思想方法武裝自己，使自己真正成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主人。